§1 变化的快慢与变化率
授课提示：对应学生用书第13页
[自主梳理]
一、函数的平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为________．
通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作________，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即____________．
二、瞬时变化率
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝________＝__________.
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数______________．
[双基自测]
1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．一质点的运动方程为s＝2t2，则此质点在时间[1,1＋Δt]内的平均速度为( )
A．4＋Δt
B．2＋(Δt)2
C．4Δt＋1
D．4＋2Δt
3．函数y＝f(x)＝3x2－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)从x1到x1＋Δx的平均变化率为________．
[自主梳理]一、 Δx Δy ＝ 二、 在一点处变化的快慢[双基自测]1．D2．D ＝＝4＋2Δt.3．17.5 Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(3＋Δx)－f(3)＝f(3.5)－f(3)＝8.75，所以＝＝17.5.
授课提示：对应学生用书第13页
探究一 平均变化率问题
[例1] 求函数y＝2x2＋5在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率；并计算当Δx＝时，平均变化率的值．
[解析] 因为Δy＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋2(Δx)2，所以平均变化率为＝8＋2Δx.
当Δx＝时，平均变化率的值为8＋2×＝9.
求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增加Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率＝.
1．已知一次函数y＝kx＋b，求其在区间[m，n]上的平均变化率．
解析：＝＝＝k，
∴函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为k.
探究二 求瞬时变化率
[例2] 质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2
s时的瞬时速度．
[解析] 当t从2
s变到(2＋Δt)s时，函数值从2×22＋3×2变到2(2＋Δt)2＋3(2＋Δt)，函数值s(t)关于t的平均变化率为
＝
＝2Δt＋11(cm/s)．
当t趋于2
s，即Δt趋于0
s时，平均速度趋于11
cm/s，所以质点M在t＝2
s时的瞬时速度为11
cm/s.1．Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越小，能取任意小的时间间隔，但始终不能为零．2．Δt在变化中越趋近于0，Δy与Δx的比值趋近于一个确定的常数．
2．求y＝在x＝1处的瞬时变化率．
解析：Δy＝－1，
＝＝.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，故函数在x＝1处的瞬时变化率为.
对两“变化率”理解错误而致误
[例3] 若一物体的运动方程如下(位移单位：m；时间单位：s)：
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0.
[解析] (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
所以物体在t＝0时的瞬时速度为－18
m/s.
即物体的初速度v0为－18
m/s.
[错因与防范] 解答(1)时易出现用t＝5与t＝3时的瞬时速度的平均值来求平均速度；解答(2)时易颠倒s(t0＋Δt)－s(t0)中s(t0＋Δt)和s(t0)的顺序．平均速度应利用位移的改变量与时间段的比值来计算，方法要记牢．解答有关瞬时速度的问题时，需谨记分子与分母的顺序要保持一致，切忌上下颠倒．
PAGE2 导数的概念及其几何意义
授课提示：对应学生用书第15页
[自主梳理]
一、导数的概念
当Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在________的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在__________的导数，通常用符号____________表示，记作f′(x0)＝li
＝________________.
二、导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点______处的切线的________．函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率反映了导数的几何意义．
[双基自测]
1．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝( )
A．－1
B.
C．1
D.
2．设f(x)在x＝1处有导数且满足li
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
D．1
3．已知f(x)＝2x2－x，则f′(x)＝__________，f′(1)＝________.
4．曲线f(x)＝x3－2在处切线的倾斜角为________．
[自主梳理]一、固定的值 x0 x0点 f′(x0) li
二、(x0，f(x0)) 斜率[双基自测]1．C 因为f′(－1)＝li
＝li[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3，所以a＝1.2．B li
＝li
＝li
＝f′(1)＝－1.3．4x－1 3 因为Δy＝2(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(2x2－x)＝4xΔx－Δx＋2(Δx)2，所以＝＝4x－1＋2Δx.故f′(x)＝li
＝li
(4x－1＋2Δx)＝4x－1.所以f′(1)＝4×1－1＝3.4．45° 因为k＝li
＝li
＝li
＝li
＝1，所以直线的倾斜角为45°.
授课提示：对应学生用书第15页
探究一 求函数在某点处的导数
[例1] 求函数y＝f(x)＝在x＝2处的导数．
[解析] ∵Δy＝－＝－1
＝－，∴＝－.
∴f′(2)＝li
＝－li
＝－1.
由导数的定义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝li
.
1．求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－1＝
＝，
∴＝－.
当Δx无限趋近于0时，1＋Δx无限趋近于1，
∴无限趋近于－，
∴f′(1)＝－.
探究二 求曲线的切线方程
[例2] 求曲线y＝2x2＋1在点P(1,3)处的切线方程．
[解析] 曲线y＝f(x)＝2x2＋1在点P(1,3)处的斜率为：
k＝li
＝li
＝li
＝4.
∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.
求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．已知f(x)＝x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标及切线方程．
解析：设点P的坐标为(x0，x)，
∴斜率k＝li
＝li
＝li
＝li[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x.
∴3x＝3，x0＝±1.
∴P点的坐标是(1,1)或(－1，－1)，则切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即为3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
探究三 导数几何意义的综合应用
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[解析] 设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx趋于零时，趋于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴切线的斜率为tan
45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴切线的斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴切线的斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．
3．求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．
由f′(x0)＝li
＝li
＝li
＝－.
故所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
由点(2,0)在所求的直线上，得xy0＝2－x0，
再由P(x0，y0)在曲线y＝上，得x0y0＝1，
联立可解得x0＝1，y0＝1，
所以直线方程为x＋y－2＝0.
因对导数的概念理解不透彻而致误
[例4] 已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则
li
＝________.
[解析] li
＝li
＝2
li
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
[答案] 8
[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x0的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，解决此类问题关键是变形分母中x0的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为
c
li
(c，k为常数且kc≠0)的形式．
PAGE3 计算导数
授课提示：对应学生用书第17页
[自主梳理]
一、计算函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
1．通过自变量在x0处的改变量Δx，确定函数在x0处的改变量：Δy＝________________.
2．确定函数y＝f(x)在x0处的平均变化率：
＝________________.
3．当Δx趋于0时，得到导数：
f′(x0)＝________________.
二、导函数
一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝____________，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的________，通常也简称为________．
三、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝xα(α是实数)
y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln
a特别地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝特别地(ln
x)′＝
y＝sin
x
y′＝cos
x
y＝cos
x
y′＝－sin
x
y＝tan
x
y′＝
y＝cot
x
y′＝－
[双基自测]
1．若f(x)＝，则f′(x)等于( )
A.
B.
C.
D.
2．f(x)＝0的导数是( )
A．0
B．1
C．不存在
D．不确定
3．若f(x)＝cos，则f′(x)＝( )
A．－sin
B．sin
C．0
D．－cos
4．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若y＝，则y′＝－2x－3；
④若y＝f(x)＝3x，则f′(1)＝3；
⑤若y＝cos
x，则y′＝sin
x；
⑥若y＝sin
x，则y′＝cos
x.
其中正确的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
5．若函数f(x)＝xn在x＝2处的导数值为12，则n＝________.
[自主梳理]一、1.f(x0＋Δx)－f(x0) 2. 3.
二、
导函数 导数[双基自测]1．B f(x)＝x，∴f′(x)＝x－1＝x－＝
.2．A 常数函数的导数为0，故选A.3．C f(x)＝cos＝，故f′(x)＝0.4．B 由求导公式可知，①③④⑥正确．5．3 f′(2)＝n·2n－1＝12，所以n＝3.
授课提示：对应学生用书第18页
探究一 利用导函数定义求导数
[例1] 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．
[解析] f′(x)＝
＝
＝
(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算
Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝
.
1．利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3)．
解析：f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，＝0.
Δx趋于0时，趋于0.
所以f′(x)＝0.
所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0.
探究二 利用导数公式求导数
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝；(3)y＝log2x.
[解析] (1)y′＝(x8)′＝8x7.
(2)y′＝()′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.
(3)y′＝(log2x)′＝.
1．用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较烦琐．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝2e3；(4)y＝2cos
x.
解析：(1)y′＝(x)′＝x.
(2)y′＝()′＝(x－)′＝－x－.
(3)y′＝(2e3)′＝0.
(4)y′＝(2cos
x)′＝2(cos
x)′＝－2sin
x.
探究三 导数的综合应用
[例3] 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解析] 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点
(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，
即f′(x0)＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，
即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．
3．已知直线y＝kx是y＝ln
x的一条切线，求k的值．
解析：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝ln
x，∴y′＝.∴f′(x0)＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln
x上，
∴把k＝代入①式得y0＝1，
再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.
利用分类讨论思想处理两曲线的公切线问题
[例4] 求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率．
[解析] (1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝.
①当x＝0时，2x＝3x2＝0；
②当x＝时，2x＝3x2＝.此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝.显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去．
(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y1′＝2x1，y2′＝3x，
因为AB的斜率为kAB＝，
所以有2x1＝3x＝.
由2x1＝3x，得x1＝x，代入3x＝中，解得x2＝，x1＝.
此时公切线的斜率为2x1＝.
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，.
[感悟提高] 解答此类问题，应考虑切点是否相同，从而应分类讨论：切点同与不同两种情况．对于切点相同时，应先求出两函数的导数，令两导数相等，求出切点坐标，写出切线方程、并检验两方程是否相同；对于切点不同时，可设出两切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据kC1＝kC2＝kAB，列出关于x1，x2的方程(组)，解出x1，x2，求出公切线的斜率．
PAGE4 导数的四则运算法则
授课提示：对应学生用书第20页
[自主梳理]
一、导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的________，即
[f(x)＋g(x)]′＝________________，
[f(x)－g(x)]′＝________________.
二、导数的乘法与除法法则
若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝______________，
[]′＝________________.
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝________.
[双基自测]
1．函数y＝3x－4的导数是( )
A．3
B．－4
C．－1
D．12
2．设y＝－2exsin
x，则y′等于( )
A．－2excos
x
B．－2exsin
x
C．2exsin
x
D．－2ex(sin
x＋cos
x)
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A.
B.
C.
D.
4．函数y＝的导数是( )
A．－
B．－sin
x
C．－
D．－
5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0＝______.
[自主梳理]一、和(差) f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) 二、f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x)[双基自测]1．A y′＝(3x－4)′＝3.2．D y′＝－2exsin
x－2excos
x＝－2ex(sin
x＋cos
x)．3．B 因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝.4．C y′＝′＝＝＝－.5. 因为f(x)＝，所以f′(x)＝′＝＝＝.所以f′(x0)＝＝－，解得x0＝.
授课提示：对应学生用书第20页
探究一 利用导数的运算法则求导
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x2·sin
x；
(3)y＝.
[解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′
＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(x2)′·sin
x＋x2·(sin
x)′
＝2x·sin
x＋x2·cos
x.
(3)y′＝
＝＝.
理解和掌握求导法则及公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则的实质，特别是商的求导法则；求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素．从本题可看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确、有效地进行求导运算．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2＋6；
(2)y＝sin
x－3ln
x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
解析：(1)y′＝(x4－3x2＋6)′＝(x4)′－(3x2)′＋6′
＝4x3－6x.
(2)y′＝(sin
x－3ln
x)′＝(sin
x)′－(3ln
x)′＝cos
x－.
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2
＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′
＝3x2＋12x＋11.
(4)y′＝()′
＝
＝＝.
探究二 导数与曲线的切线问题
[例2] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为
y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
求曲线在某点处的切线方程的步骤：
2．已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．
解析：f′(x)＝1－，由导数的几何意义得f′(2)＝3，
于是a＝－8.
由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，
可得f(2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
函数与方程思想在导数中的应用
[例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax与函数g(x)＝3a2ln
x＋b，(a，b∈R)．设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式．
[解析] 因为y＝f(x)与y＝g(x)(x＞0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝.
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即
解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)，
b＝a2－3a2ln
a.
[感悟提高] 本题的最终目的是建立b关于a的函数关系式，如何用a表示b是关键．本题中通过建立方程组，消去a，b之外的变量，得到关于a，b的关系式，这是函数与方程思想的具体应用．
PAGE5 简单复合函数的求导法则
授课提示：对应学生用书第21页
[自主梳理]
一、复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b.给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作________，其中________为中间变量．
二、复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数为：
y′(x)＝[f(φ(x))]′＝________.
[双基自测]
1．函数y＝(3x－4)2的导数是( )
A．4(3x－2)
B．6x
C．6x(3x－4)
D．6(3x－4)
2．函数y＝e2x－4在x＝2处的切线方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0
D．ex＋y＋2e－1＝0
3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．函数y＝cos的导数为________．
5．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．
[自主梳理]
一、y＝f(φ(x)) u 二、f′(u)φ′(x)
[双基自测]
1．D y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．
2．A y′＝(e2x－4)′＝e2x－4·(2x－4)′＝2e2x－4，
所以k＝2e2×2－4＝2.
把x＝2代入y＝e2x－4，得y＝1，
所以切点为(2,1)．
所以函数y＝e2x－4在x＝2处的切线方程为y－1＝2(x－2)，所以2x－y－3＝0.
3．D f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4.
4．3sin y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin.
5．10 f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 复合函数的导数运算
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1；(4)y＝；
(5)y＝sin(3x－)；(6)y＝cos2x.
[解析] (1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)
＝18x－12.
(2)y′＝·(6x＋4)′＝.
(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.
(4)y′＝·(2x－1)′＝
.
(5)y′＝cos(3x－)·(3x－)′＝3cos(3x－)．
(6)设y＝u2，u＝cos
x，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－sin
x)＝－2sin
xcos
x＝－sin
2x.
复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝sin
x2；
(3)y＝sin2(2x＋)；(4)y＝
.
解析：(1)令u＝1－3x，则y＝u－4，y′＝y′u·u′x＝－4u－5·(1－3x)′＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，则y＝sin
u，所以y′＝cos
u·u′＝cos
x2·2x＝2xcos
x2.
(3)令y＝u2，u＝sin
v，v＝2x＋，
则y′＝y′u·u′v·v′x
＝2u·cos
v·2
＝2sin(2x＋)·cos(2x＋)·2
＝2sin(4x＋)．
(4)令u＝1＋x2，则y＝＝u，
∴y′＝u－·(1＋x2)′＝
.
探究二 复合函数导数的综合问题
[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[解析] 设f(x)＝3sin
x，x＝φ(t)＝t＋.
由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos
x·＝cos.
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．
它表示当t＝18
h时，潮水的高度上升的速度为
m/h.
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln
2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克
B．75ln
2太贝克
C．150ln
2太贝克
D．150太贝克
解析：∵M′(t)＝－M02－·ln
2，
∴M′(30)＝－×M0ln
2＝－10ln
2，
∴M0＝600.
∴M(t)＝600×2－，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
答案：D
对复合函数求导因层次不清而致误
[例3] 函数y＝sinnxcos
nx的导数为________．
[解析] y′＝(sinnx)′cos
nx＋sinnx(cos
nx)′
＝nsinn－1x(sin
x)′cos
nx＋sinnx(－sin
nx)·(nx)′
＝nsinn－1xcos
x·cos
nx－sinnxsin
nx·n
＝nsinn－1x(cos
xcos
nx－sin
xsin
nx)
＝nsinn－1xcos[(n＋1)x]．
[答案] nsinn－1xcos[(n＋1)x]
[错因与防范] 本题解答过程中对cos
nx求导时，易漏掉对nx求导而导致求导错误．对较复杂函数求异时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明．
PAGE
