1 直线与直线的方程
1．1 直线的倾斜角和斜率
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握直线的倾斜角的概念．2.掌握直线的斜率的概念，并理解斜率与倾斜角之间的关系．3.能熟练地运用斜率的定义及两点斜率公式求直线的斜率.
重点：直线倾斜角的概念及斜率的概念与计算．难点：倾斜角的范围与斜率的范围之间的转化．疑点：直线的倾斜角与斜率之间的关系.
授课提示：对应学生用书第34页
[自主梳理]
一、直线的倾斜角
1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．
2．当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0°.
3．当直线l和y轴平行时，它的倾斜角为90°.
4．倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
5．直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度．
二、直线的斜率
1．定义：对于倾斜角不是直角的直线，它的倾斜角的正切值叫作直线的斜率，记作k＝tan_α.
2．倾斜角为90°的直线的斜率不存在．
3．斜率的求法
(1)定义法：已知倾斜角α(α≠90°)，k＝tan_α.
(2)两点法：在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，则斜率k＝.
[双基自测]
1．下面四种说法正确的个数是( )
①直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，而直线的斜率不能表示直线的倾斜程度；
②直线的倾斜角越大其斜率就越大；
③直线的斜率越大其倾斜角就越大；
④任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：只有④正确．
答案：B
2．直线y＝1的倾斜角为( )
A．0°
B．90°
C．180°
D．不存在
解析：直线y＝1平行于x轴，倾斜角为0°.
答案：A
3．过点A(1，－3)和点B(2,4)的直线的斜率为( )
A.
B．－
C．7
D．－7
解析：k＝＝7.
答案：C
4．给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条，为x轴；
④倾斜角为60°的直线有无数条，它们的斜率为.
其中正确命题的序号为________．
解析：由倾斜角的定义可知每条直线都有唯一的倾斜角，①正确；倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，不可能是负角，②不正确；倾斜角为0°的直线有无数条，它们是互相平行的，故③不正确；④正确．
答案：①④
5．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，则＝2且＝－2，∴x＝1，y＝6.
答案：(1,6)
授课提示：对应学生用书第34页
探究一 直线的倾斜角问题
[典例1] (1)如图，△AOB为等腰直角三角形，则直线OA，OB，AB的倾斜角分别为________；
(2)直线l经过坐标原点，且倾斜角为120°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，则l1的倾斜角为________．
[解析] (1)因为△AOB为等腰直角三角形，所以∠AOB＝∠ABO＝45°，
因此直线OA的倾斜角为45°，直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°，
又直线OB与x轴重合，所以其倾斜角为0°.
(2)依题意知，将x轴绕原点逆时针旋转120°时，得到直线l，再逆时针旋转30°得到直线l1，故l1的倾斜角为120°＋30°＝150°.
[答案] (1)45°，0°，135° (2)150°
(1)求直线的倾斜角时，要依据题意画出图形，然后根据直线倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正方向的夹角，即得直线的倾斜角．
(2)结合图形求倾斜角时，要注意充分运用平面几何中的相关知识，如三角形内角和定理及其推论等．
1．求图中各直线的倾斜角．
解析：(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的斜倾角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
探究二 求直线的斜率
[典例2] (1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；
(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．
[解析] (1)直线的斜率分别为k1＝tan
60°＝，k2＝tan
135°＝－1；
(2)直线AB的斜率kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线AC的斜率kAC＝＝＝1.
(3)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；
当m≠2时，直线AB的斜率kAB＝＝.
1．求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率的定义，即k＝tan
α求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求得．
2．使用斜率公式k＝求斜率时，要注意其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在．
2．(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率．
解析：(1)由于两点的横坐标不相等，所以直线存在斜率，根据直线的斜率公式，得直线的斜率为k＝＝4.
(2)直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，
所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，
即l′的斜率k′＝
tan
135°＝－1.
探究三 斜率的应用
[典例3] 已知P(3，－1)，M(5,1)，N(1,1)，直线l过P点且与线段MN相交，求：
(1)直线l的倾斜角α的取值范围；
(2)直线l的斜率k的取值范围．
[解析] 因为kPM＝＝1，所以直线PM的倾斜角为45°.又kPN＝＝－1，所以直线PN的倾斜角为135°.
(1)由图可知，直线l过P点且与线段MN相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
(2)当l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在，所以直线l的斜率k的取值范围是k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解．
3．(1)a为何值时，过点A(2a,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？
(2)若直线l的倾斜角α>120°，且tan
120°＝－，求其斜率的取值范围；
(3)若直线l的斜率k≥1，求其倾斜角的取值范围．
解析：(1)当过点A，B的直线的倾斜角是锐角时，
kAB>0，根据斜率公式得kAB＝＝>0，所以a>1；
同理，当倾斜角为钝角时，kAB<0，即<0，所以a<1.
当倾斜角为直角时，A，B两点的横坐标相等．
即2a＝2，所以a＝1.
(2)由于α>120°，所以120°<α<180°，即l的倾斜角是比120°大的钝角，而120°角对应的斜率为tan
120°＝－，故斜率的取值范围是－
(3)由于直线l的斜率k≥1，所以其倾斜角一定是锐角，又当k＝1时，其倾斜角为45°，所以其倾斜角的取值范围是45°≤α<90°.
数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用
[典例] 已知A(－3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点P的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解析] 如图所示，由题意可知，
kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．
[感悟提高] (1)已知一条线段AB的端点及线段外一点P，过点P的直线l与线段有交点的情况下，求直线l斜率的范围的方法：①连接PA、PB；②由k＝(x1≠x2)，求出kPA，kPB；③结合图形，写出满足条件的直线l斜率的范围．
(2)数形结合思想是一种重要的数学思想，在解析几何中经常用到，借助图形的直观性很容易阐明数与数之间的关系，而且也会使复杂的问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快速得到解决．
[随堂训练] 对应学生用书第36页
1．给出以下说法：①任何直线都有唯一的倾斜角；②任何直线都有唯一的斜率；③倾斜角是0°的直线只有一条；④直线的倾斜角可以是－60°.其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由直线倾斜角的定义知①正确；由斜率的定义知②错误；倾斜角是0°的直线有无数条，它们都与x轴平行或重合，③错误；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故④错误．
答案：B
2．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
解析：由图知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1＜0.又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，
∴0＜k3＜k2，∴k1＜k3＜k2.
答案：D
3．经过两点M(3,2)，N(4,6)的直线的斜率等于________．
解析：kMN＝＝4.
答案：4
4．已知直线l经过点P(1,2)和Q(x,0)．
(1)若l的倾斜角为45°，求x的值；
(2)若l的倾斜角为钝角，求x的取值范围．
解析：(1)l的倾斜角为45°，则kl＝tan
45°＝1，亦即kPQ＝1，于是＝1，解得x＝－1.
(2)l的倾斜角为钝角，则kl<0，亦即kPQ＝<0，因此x>1.
PAGE1．2 直线的方程
1．2.1 直线方程的点斜式
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解直线方程的含义．2.掌握并能熟练应用直线的点斜式方程及使用条件.3.掌握并能熟练应用直线的斜截式方程及使用条件.
重点：熟练求出满足已知条件的直线方程．难点：常与函数、方程等结合命题．方法：待定系数法求直线方程.
授课提示：对应学生用书第36页
[自主梳理]
一、直线方程的点斜式和斜截式
方程名称
已知条件
直线方程
示意图
应用范围
点斜式
直线l上一点P(x1，y1)及斜率k
y－y1＝k(x－x1)
直线不与x轴垂直
斜截式
直线l的斜率k及在y轴上的截距b
y＝kx＋b
直线不与x轴垂直
二、直线l的截距
1．在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的b；
2．在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的a.
[双基自测]
1．直线方程y－y0＝k(x－x0)( )
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．
答案：D
2．若直线方程为y－3＝(x＋4)，则在该直线上的点是( )
A．(4,3)
B．(－3，－4)
C．(－4,3)
D．(－4，－3)
解析：由点斜式方程知该直线经过(－4,3)．
答案：C
3．直线y＝(x＋4)在y轴上的截距为________．
解析：方程可化为y＝x＋2，故直线在y轴上的截距等于2.
答案：2
4．经过点(－2,1)，且斜率与直线y＝－2x－1的斜率相等的直线方程为________．
解析：直线y＝－2x－1的斜率为－2.故所求直线的斜率为－2，又经过点(－2,1)，故所求直线方程为y－1＝－2(x＋2)，可化为2x＋y＋3＝0.
答案：2x＋y＋3＝0
5．已知直线l的方程为kx－y＋2k＋2＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l在y轴上的截距为4，求k的值．
解析：(1)证明：直线l的方程可化为y－2＝k(x＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k的直线，故直线过定点(－2,2)．
(2)令x＝0，得y＝2k＋2，依题意有2k＋2＝4，故k＝1.
授课提示：对应学生用书第36页
探究一 直线的点斜式方程
[典例1] 根据下列条件，写出直线的点斜式方程：
(1)斜率为－，且过点(2，－2)；
(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－5；
(4)过点B(－1,0)，D(4，－5)；
(5)过点C(－2,3)，与x轴垂直．
[解析] (1)所求直线的斜率为－，又过点(2，－2)，故所求方程为y＋2＝－(x－2)．
(2)设直线的倾斜角为α，
因为α＝45°，k＝tan
α＝tan
45°＝1，
所以所求直线的点斜式方程为y－1＝x－3.
(3)由直线与x轴交点的横坐标为－5，得直线过点(－5,0)．
又斜率为，由直线的点斜式方程得y－0＝[x－(－5)]，
即y＝(x＋5)．
(4)直线的斜率为k＝＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)，
即y＝－(x＋1)．
(5)由于直线与x轴垂直，所以斜率不存在，又过点(－2,3)，故方程为x＝－2.
1．用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．若直线过点P(x0，y0)且斜率不存在，则直线方程为x－x0＝0.
2．求直线的点斜式方程的步骤：(1)确定直线所经过的一个点(x0，y0)；(2)求出直线的斜率k；(3)根据点斜式写出直线方程．
1．根据条件写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；
(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．
解析：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan
45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan
135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，直线的斜率k＝tan
0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0(x＋1)．
探究二 直线的斜截式方程
[典例2] 根据下列条件求直线的斜截式方程：
(1)斜率为3，在y轴上的截距等于－1；
(2)在y轴上的截距为－4，且与x轴平行．
[解析] (1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝3x－1；
(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为－4，所以所求的直线方程为y＝－4.
1．直线l与x轴的交点的横坐标称为直线l的横截距；与y轴交点的纵坐标称为直线l的纵截距．注意截距不是距离，截距可以为正，可以为负，也可以为零，距离不能为负．
2．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
3．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．
4．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.
2．(1)已知直线方程为y－2＝3(x＋3)，则它在y轴上的截距为________；
(2)已知直线的斜率为2，在y轴上的截距m为________时，该直线经过点(1,1)．
解析：(1)由y－2＝3(x＋3)可得y＝3x＋11.对照斜截式方程可知直线在y轴上的截距b＝11.
(2)由已知可得直线方程为y＝2x＋m，又直线经过点(1,1)，
所以1＝2＋m，得m＝－1.
答案：(1)11 (2)－1
探究三 直线方程的简单应用
[典例3] 已知直线l的斜率为2，且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长．
[解析] 由于直线l的斜率为2，故设l的方程为y＝2x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.
由已知得·|b|·＝36，
解得|b|＝12.
即b＝±12，
所以l的方程为y＝2x＋12或y＝2x－12.
当b＝12时，l在x轴、y轴上的截距分别为－6,12；
当b＝－12时，l在x轴、y轴上的截距分别为6，－12.
故三角形的周长为6＋12＋＝18＋6.
1．求直线方程时，通常采用待定系数法，即先设出参数，然后利用条件求得参数值，即得方程．如果直线的斜率已知，通常设直线方程的斜截式，这时方程中含参数b；如果直线所经过的某个点的坐标已知，则可设点斜式，这时方程中含参数k.
2．截距不是距离，在求解有关周长、面积的问题时，注意二者的区别，必要时应通过绝对值进行转化．
3．如图，光线自点M(2,3)射到y轴上的点N(0,1)后被y轴反射，求反射光线的方程．
解析：入射光线经过点M、N，其斜率k＝＝1，
∴倾斜角为45°，即∠MNP＝45°，
由物理学知识得∠M′NP＝45°，即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1，
∵点N(0,1)在反射光线上，
∴反射光线的方程为y－1＝(－1)(x－0)，
即x＋y－1＝0.
对截距概念理解不到位致误
[典例] 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为________．
[解析] 设直线方程为y＝x＋b，
则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得
·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，所以b＝±1.
故所求直线的方程为y＝x＋1或y＝x－1.
[答案] y＝x＋1或y＝x－1
[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线y＝kx＋b在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是直线与y轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．
[随堂训练] 对应学生用书第38页
1．下列说法：
①任何一条直线在y轴上都有截距；
②直线在y轴上的截距一定是正数；
③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．③
解析：因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．
答案：D
2．直线y＝x－1的斜率等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：由直线方程的斜截式知其斜率为.
答案：C
3．若直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析：直线方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，因此直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
答案：D
4．已知一条直线经过点P(1,2)，且其斜率与直线y＝2x＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．
解析：由题意知该直线的斜率为2，又该直线经过点P(1,2)，∴该直线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：y＝2x
5．直线y＝3kx－3k＋6经过定点P，则点P的坐标为________．
解析：直线方程可化为y－6＝3k(x－1)，由点斜式可知该直线经过定点P(1,6)．
答案：(1,6)
1．2.2 直线方程的两点式和一般式
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握直线方程的两点式和一般式．2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示．3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围.
重点：利用直线的两点式和一般式求直线方程．难点：直线方程几种形式的选择．疑点：直线方程中的隐含条件易被忽略.
授课提示：对应学生用书第38页
[自主梳理]
直线方程的两点式、截距式和一般式
方程名称
已知条件
直线方程
示意图
应用范围
两点式
直线l上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)
＝
直线l不与坐标轴平行或重合
截距式
直线l在坐标轴上的两截距：横截距a与纵截距b
＋＝1
直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点
一般式
二元一次方程系数A、B、C的值
Ax＋By＋C＝0
平面内任一条直线
[双基自测]
1．有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；
②直线方程＝也可写成＝；
③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．
其中正确说法的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程＝与＝的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线，③显然正确．
答案：D
2．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( )
A.＋＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.＋＝0
解析：由方程的截距式易知直线方程为＋＝1，即－＝1.
答案：B
3．若直线mx＋2y－1＝0的斜率等于2，则它在y轴上的截距为________．
解析：由已知得－＝2，所以m＝－4，此时直线的方程为－4x＋2y－1＝0，可化为y＝2x＋，所以直线在y轴上的截距为.
答案：
4．若直线2x＋3y＋m＝0经过第一、二、四象限，则m的取值范围是________．
解析：2x＋3y＋m＝0可化为y＝－x－，依题意应有－>0，所以m<0.
答案：m<0
5．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)，AC的中点D的坐标为(－4,2)．
求：(1)边AC所在直线的方程；
(2)BD所在直线的方程．
解析：(1)因为A(0,4)，C(－8,0)，所以由直线的截距式方程，得＋＝1，即为x－2y＋8＝0.
所以边AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)由直线的两点式方程得BD所在直线的方程为＝，
即为2x－y＋10＝0.
故BD所在直线的方程为2x－y＋10＝0.
授课提示：对应学生用书第39页
探究一 直线方程的两点式方程和截距式
[典例1] 求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；
(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5；
(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
[解析] (1)由两点式得＝，化简得2x＋3y－5＝0.
(2)由截距式得＋＝1.化简为5x－4y－20＝0.
(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1.
因为直线过点P(2,3)，所以＝1，即a＝5.
直线方程为y＝－x＋5.
所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．
1．已知直线l：＋＝1.
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
解析：(1)易知直线l过点(m,0)，(0,4－m)，
则k＝＝2,
m＝－4.
(2)由m＞0,4－m＞0，得0＜m＜4，
则S＝＝，
易知当m＝2时，S有最大值2，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
探究二 直线方程的一般式
[典例2] 设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值；
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
[解析] (1)因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，
由题意得－＝－1，解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为＋＝1，
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
1．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0；
2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．
2．当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1；
(1)倾斜角为45°；
(2)在x轴上的截距为1?
解析：(1)因为直线的倾斜角为45°，
所以此直线的斜率是1，所以－＝1，
所以
解得所以m＝－1.
(2)因为直线在x轴上的截距为1，
所以令y＝0，得x＝，所以＝1，
所以
解得
所以m＝－或m＝2.
探究三 直线方程的综合应用
[典例3] 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
[解析] (1)证明：将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
所以直线l的斜率为a，且过定点A(，)，而点A(，)在第一象限，故不论a为何值，直线l恒过第一象限．
(2)要使l不经过第二象限，则它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，所以a≥3.
1．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，直线的斜率存在，且k＝－，这时直线方程可化为点斜式或斜截式；当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式．
2．直线在平面直角坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y轴上的截距确定，若直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则
条件
直线的位置
k>0，b>0k>0，b<0k<0，b>0k<0，b<0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限
3．求经过点A(2,1)，B(6，－2)的直线的两点式方程，再把它化为一般式、点斜式、截距式和斜截式方程，并画出图形．
解析：直线AB经过点A(2,1)，B(6，－2)，则两点式方程为＝.去分母，整理得3x＋4y－10＝0，这就是一般式方程．
直线AB的斜率k＝＝－，
所以点斜式方程为y－1＝－(x－2)．
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝，
所以截距式方程为＋＝1.
直线AB的斜率k＝－，在y轴上的截距为，
所以直线AB的斜截式方程为y＝－x＋.
直线AB与x轴、y轴分别相交于点(，0)与(0，)，经过这两点作直线，就得到直线AB，如图所示．
直线方程的实际应用
[典例] (本题满分12分)某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC＝210
m，CD＝240
m，DE＝300
m，EA＝180
m，∠C＝∠D＝∠E＝90°)
[规范解答] 以BC边所成直线为x轴，AE边所成直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．①
由已知可得A(0,60)，B(90,0).……………………………………3分
所以AB所在直线方程为
＋＝1，即y＝60－x………………………………….5分
从而可设线段AB上一点P，
其中0≤x≤90，
所以所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y).
…………………………………7分
故S＝(300－x)＝－x2＋20x＋54
000＝－(x－15)2＋54
150(0≤x≤90)．②…………………………………9分
所以当x＝15，y＝60－×15＝50时，
Smax＝54
150
m2.
…………………………………11分
因此点P距直线AE
15
m，距直线BC
50
m时所开发的面积最大，最大面积为54
150
m2.③…………………………………12分
[规范与警示] (1)解答本题的3个关键步骤如下：
一是根据条件建立适当的坐标系①是将几何问题转化成代数问题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定x和y的关系后，在②处要根据实际情况确定出x的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错误解答．
三是在解答③处的结论一定不能漏掉，否则解题步骤不完整，造成没必要的失分．
(2)解决该类问题应注意以下两点：
一是利用坐标法解决实际生活问题时，首先要建立适当的坐标系，再借助已知条件寻找x和y的关系．要求一定准确、恰当，否则给后面的运算化简带来麻烦．
二是利用二次函数知识探求最大值是解答这类问题常用的方法，因此要求转化正确，不能漏掉自变量的范围，而且步骤一定要完整、规范．
[随堂训练] 对应学生用书第40页
1．经过点和的直线的方程为( )
A．x＝－1
B．x＝2
C．x＝
D．y＝
解析：因直线的斜率不存在，∴直线的方程为x＝.
答案：C
2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．－2 D．2
解析：分析知a≠0，直线l的方程可化为＋＝1，所以由＝2，得a＝1，故选A.
答案：A
3．若mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，则m，n的值分别是( )
A．4,3
B．－4,3
C．4，－3
D．－4，－3
解析：mx＋ny＋12＝0化为截距式为＋＝1，所以所以
答案：C
4．直线4x－y－8＝0在x轴上的截距等于________．
解析：令y＝0，得x＝2，所以直线在x轴上的截距为2.
答案：2
5．若方程mx＋(m2－m)y＋1＝0表示一条直线，则m的取值范围是________．
解析：要使方程表示直线，需m和m2－m不同时为0，因此m≠0.
答案：m≠0
PAGE1.3 两条直线的位置关系
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2.能根据两条直线平行或垂直，求直线方程.
重点：利用两条直线平行或垂直的条件解题．难点：常与直线方程的求解结合命题．方法：直线斜率不存在时，两直线位置关系的判定用分类讨论的思想方法.
授课提示：对应学生用书第40页
[自主梳理]
一、两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
二、两条直线垂直
图示
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1与l2两直线的斜率一个不存在，另一个为0时，则l1与l2的位置关系是垂直
[双基自测]
1．经过点P(2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( )
A．4
B．3
C．1或3
D．1或4
解析：kPQ＝＝1，解得m＝3.
答案：B
2．下列说法正确的是( )
A．若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2
B．若直线l1∥l2，则k1＝k2
C．若直线l1，l2的斜率不存在，则l1∥l2
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
解析：A、C中有可能l1与l2重合；B中斜率有可能不存在．
答案：D
3．直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝，若l1与l2互相垂直，则实数a的值为( )
A．－1
B．1或－
C．±1
D．－
解析：由题意，得k1k2＝×＝－1，解得
a＝－或1(舍去)．
答案：D
4．与直线x－2y－3＝0平行，且在y轴上的截距等于－3的直线的方程为________．
解析：由已知可得所求直线的斜率为，又直线在y轴上的截距等于－3，故其方程为y＝x－3，即x－2y－6＝0.
答案：x－2y－6＝0
5．经过点B(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为____________．
解析：因为直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，所以所求直线的斜率为，
则所求直线方程为y＝(x－3)，即x－2y－3＝0.
答案：x－2y－3＝0
授课提示：对应学生用书第41页
探究一 两条直线平行与垂直的判断
[典例1] 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
[解析] (1)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝－x＋；l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝x＋；l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.
(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法
(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2.
(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；
(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直．
1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
解析：(1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan
60°＝，k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
探究二 平行与垂直条件的应用
[典例2] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
[解析] (1)设直线l的斜率为k，
∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－.
又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
(2)设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
解决此类问题方法有二种：
①点斜式求方程；
②设出满足条件的直线系方程．
2．已知平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形．
解析：(1)设D(a，b)，则kAB＝kCD，kAD＝kBC，
即，解得，
所以D(－1,6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，
故平行四边形ABCD为菱形．
探究三 方程中含参数的直线的平行与垂直
[典例3] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
[解析] 设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.
又k1＝，则＝－，∴a＝1或a＝6.
经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2.
①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意．
②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝.
∵k2＝－.∴由k1k2＝－1，
可得a＝3或a＝－4.所以，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
1．已知两条直线平行，求方程中的参数时，通常有两种方法：(1)讨论两条直线的斜率是否存在，分斜率存在和不存在两种情况，并结合截距是否相等进行分析求解；(2)直接将直线方程化为一般式，根据条件A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1建立关于参数的方程(组)进行求解．
2．由两条直线垂直求直线方程中的参数时通常有两种方法：一是根据k1k2＝－1建立方程求解，但应讨论斜率不存在的情况；二是直接利用条件A1A2＋B1B2＝0求解．
3．已知直线l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．
解析：当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－.∵l1⊥l2，∴a·＝－1，即a＝1.
当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两条直线垂直．
综上所述，a＝0或a＝1.
利用两直线平行求参数时漏解或增解致误
[典例] 已知直线l1：ax＋(a2－1)y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，若l1∥l2，则实数a的值为________．
[解析] 由题意可得：
当a＋1＝0即a＝－1时，
直线l1为x＝1，直线l2为x＝－，两直线平行；
当a＋1≠0时，由－＝－，解得a＝2，
当a＝2时，两直线重合，不符合题意．
故a＝2舍去．
[答案] －1
[错因与防范] 本题易漏掉a＋1＝0的情形导致错解；再就是没有验证两直线是否重合致误．
利用两直线平行求参数时，要注意直线的斜率不存在时的情况是否符合题意，否则会漏解．求出参数值后，一定要进行验证是否有重合的情况．
[随堂训练] 对应学生用书第42页
1．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是( )
A．－8
B．0
C．2
D．10
解析：由已知可得＝－2，解得m＝－8.
答案：A
2．若直线ax＋2y＝0和2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为( )
A．－
B.
C．0
D．－2
解析：由已知得2a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－.
答案：A
3．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
解析：由已知得×(－4)＝－1，
解得m＝.
答案：
4．已知A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．
解析：由题意，可得kAB＝＝－1，kCD＝＝－1，kBC＝＝1，kDA＝＝1，
∵kAB＝kCD，kBC＝kDA，∴AB∥CD，BC∥DA，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵kAB·kBC＝－1，∴直线AB与BC垂直，即∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
PAGE1．4 两条直线的交点
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题.
重点：掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点：掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法.
授课提示：对应学生用书第42页
[自主梳理]
一、两直线的交点
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交，交点坐标为(x0，y0)．
二、方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解
交点个数
两直线的位置关系
无解
0
平行
有唯一解
1
相交
有无数组解
无数个
重合
[双基自测]
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2)
B．(2,3)
C．(－2，－3)
D．(－3，－2)
解析：解方程组得
故两条直线的交点坐标为(2,3)．
答案：B
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k＝( )
A．－2
B．－
C．2
D.
解析：解方程组，得所以两直线的交点为(－1，－2)，将代入x＋ky＝0，得k＝－.
答案：B
3．当m∈R时，直线(2m＋1)x＋(3m－2)y－18m＋5＝0恒过定点M，则点M的坐标为________．
解析：原方程可整理为(x－2y＋5)＋m(2x＋3y－18)＝0，解方程组
得所以直线恒过定点M(3,4)．
答案：(3,4)
4．求经过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点，且在x轴上的截距等于4的直线方程．
解析：依题意，可设所求直线方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，其中λ∈R.
整理得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋(2λ－2)＝0.
令y＝0，得x＝，依题意有＝4，
解得λ＝－1，即所求直线方程为x＋3y－4＝0.
授课提示：对应学生用书第43页
探究一 两直线的交点问题
[典例1] 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
[解析] (1)解方程组，得.
所以l1与l2相交，且垂直，交点是M(，)．
(2)解方程组
①×2－②，得9＝0矛盾．
故方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组
①×2，得6x＋8y－10＝0，
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
1．已知两个直线的方程，求它们的交点坐标，就是解两个直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．
2．解二元一次方程组时，可以利用加减消元法，也可以利用代入消元法．
1．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
解析：(1)设点C的坐标为(x，y)，
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
则，解得，即C(10,6)．
又点M是边AB的中点，
所以M(4,1)，
所以直线CM的方程为＝，即5x－6y－14＝0.
(2)因为B(7,1)，D(4,6)，
所以直线BD的方程为＝，
即5x＋3y－38＝0.
由解得，即点P的坐标为(6，)．
探究二 过两条直线交点的直线方程
[典例2] 求经过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．
解法一 解方程组得交点P(－5,2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，
∴所求直线的斜率是.
因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
解法二 设所求直线方程为3x－2y＋m＝0，
解方程组得交点P(－5,2)．
把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19.
因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
解决此类问题有两种方法．一种是常规法，即由题目已知条件求出交点和直线斜率，利用点斜式写出直线方程；二是利用待定系数法写出方程，再求出交点，代入求出待定系数．
2．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解析：解法一 由方程组
得
∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝－3，
∴根据点斜式有y－(－)＝－3[x－(－)]，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
解法二 ∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝.
从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
探究三 两直线交点的综合应用
[典例3] 已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三条直线能围成三角形．
[解析] (1)若l1，l2，l3三条直线交于一点．
显然m≠4，若m＝4，则l1∥l2.
由
得l1，l2的交点坐标为.
代入l3的方程得－3m·－4＝0.
解得m＝－1或m＝，
∴当m＝－1或m＝时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝－，若l2与l3不相交，则m∈?.
综上知：当m＝－1或m＝或m＝4或m＝－时，三条直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞，－1)∪∪∪∪(4，＋∞)．
1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键；
2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形的条件入手解决的．
3．平行四边形的两邻边所在直线的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程．
解析：建立如图所示的直角坐标系，
根据
得顶点A.
因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，
所以顶点C的坐标为.
由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，
所以kCD＝－1，
由点斜式得直线CD的方程为y－＝－，
即x＋y－13＝0.
因为kAD＝3.所以kBC＝3，
由点斜式得直线BC的方程为y－＝3，
即3x－y－16＝0.
有关对称问题的解法
[典例] 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
[解析] (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
所以P′(－2,7)．
(2)法一 联立方程组解得
所以直线l1与l的交点为.
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，
则解得
即交点坐标为.
又点(2,0)关于点对称的点的坐标为，
所以过两点，的直线方程为＝，整理，得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
法二 在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则
解得
又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0.
所以－－2＝0，
即7x′＋y′＋22＝0.
所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，
则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，
设其对称点为(x′，y′)．
则解得
代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
[感悟提高] (1)点关于直线对称问题：求对称点的坐标，一般设P点关于直线l的对称点为P′，由PP′⊥l，线段PP′的中点在直线l上，列方程组求解．
(2)线关于线对称问题：求对称直线的方程，一般求l与l1的交点，再在直线l1上取一点(不是交点)，求该点关于直线l的对称点，最后由两点式写出直线方程．
(3)线关于点对称问题：求对称直线的方程可根据几何意义求解．
[随堂训练] 对应学生用书第44页
1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是( )
A．(3，－1)
B．(－1,3)
C．(－3，－1)
D．(3,1)
解析：解方程组得故所求的交点坐标为(3，－1)．
答案：A
2．已知m∈R，则直线(2m＋1)x＋(2－m)y＋5m＝0必经过定点( )
A．(2,1)
B．(－2,1)
C．(2，－1)
D．(－1，－2)
解析：直线方程可化为(x＋2y)＋m(2x－y＋5)＝0，
解方程组得因此直线必经过定点(－2,1)．
答案：B
3．直线x－ay＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点在y轴上，则a的值是________．
解析：直线x＋y－1＝0与y轴的交点(0,1)在直线x－ay＋1＝0上．所以a＝1.
答案：1
4．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的方程为________．
解析：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)．由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，且满足
即
解得，即A(－2,5)，
所以直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
PAGE1.5 平面直角坐标系中的距离公式
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式．2.能根据平面图形建立适当的平面直角坐标系．3.会用距离公式和解析法解决几何问题.
重点：根据图形建立坐标系，利用距离公式解决几何问题．难点：利用距离公式解决实际问题．方法：数形结合思想在距离问题中的应用.
授课提示：对应学生用书第44页
[自主梳理]
一、两点间的距离公式
一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式|AB|＝
.
二、点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
[双基自测]
1．点(6,8)到原点的距离为( )
A．6
B．8
C．10
D．14
解析：由两点间的距离公式得d＝＝10.
答案：C
2．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)和C，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．斜三角形
解析：|AB|＝＝2，
|BC|＝＝1，
|AC|＝＝，
∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC为直角三角形．
答案：C
3．已知点A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a的值为________．
解析：由两点间距离公式，得＝5，解得a＝1或a＝－5.
答案：1或－5
4．若x轴正半轴上的点M到原点的距离与到点(5,3)的距离相等，则点M的坐标为________．
解析：设M(x,0)，则x2＋02＝(x－5)2＋(0－3)2，解得x＝，∴M.
答案：
5．已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值．
解析：设P(x,0)，则有
|PA|＝＝；
|PB|＝
＝；
由|PA|＝|PB|，可得
＝；
解得x＝－，从而得P，且|PA|＝.
授课提示：对应学生用书第45页
探究一 两点间距离公式的应用
[典例1] 已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，AB的中点M.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求AB边上的中线CM的长．
[解析] (1)|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝3，
因为|AB|＝|AC|≠|BC|，所以△ABC为等腰三角形．
(2)由题易得AB边上的中线CM的长为
|CM|＝＝.
1．已知两点的坐标求两点间的距离时，要注意距离公式的正确应用，被开方式是两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和，不能将横、纵坐标混用．
2．判断平面图形的形状时，可以利用边长的关系，也可以利用角的关系，同时要注意合理运用相关图形的一些性质．
1．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
解析：∵点B在直线l1上，∴设B(x0,6－2x0)．
∵|AB|＝5，∴＝5，
整理，得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
∴点B的坐标为(1,4)或(5，－4)．
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
探究二 用解析法证明几何问题
[典例2] 用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
[解析] 分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2.
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
1．解析法证明几何问题的步骤：
(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；
(2)进行有关的代数运算；
(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
2．重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
2．已知AO是△ABC边BC的中线．
求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)．
由两点间距离公式得
|AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2.
|AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2，
|AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
探究三 点到直线的距离公式
[典例3] 求点P0(－1,2)到下列直线的距离．
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
[解析] (1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2.
(2)解法一 直线方程化为一般式x－2＝0.
由点到直线的距离公式知
d＝＝3.
解法二 ∵直线x＝2与y轴平行，
∴由图①知d＝|－1－2|＝3.
(3)∵直线y－1＝0与x轴平行．
∴由图②知d＝|2－1|＝1.
使用点到直线的距离公式时应注意的事项：
(1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此公式仍然适用．
(3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而直接求出，如：
①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
③点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
④点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
3．求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
解析：(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d＝＝2.
(2)解法一 直线方程化为一般式为y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得d＝＝3.
解法二 如图(1)，因为y＝－1平行于x轴，
所以d＝|－1－2|＝3.
(3)解法一
y轴的方程为x＝0，
由点到直线的距离公式得d＝＝1.
解法二 如图(2)，d＝|1－0|＝1.
探究四 两平行线间的距离
[典例4] (1)求直线l1：24x－10y＋5＝0与l2：12x－5y－4＝0之间的距离；
(2)求与直线3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线的方程．
[解析] (1)直线l1的方程可化为12x－5y＋＝0，因此l1与l2之间的距离d＝＝＝.
(2)设所求直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠－20)，依题意有＝3，
即|C＋20|＝15，解得C＝－5或C＝－35，
故所求直线的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
1．求两条平行直线间距离的两种方法：
(1)转化为点到直线的距离，即在其中一条直线上取一特殊点，利用点到直线的距离公式求该点到另一条直线的距离．
(2)直接使用两条平行线间的距离公式，但应注意两个直线方程中x，y的系数分别对应相等(即A1＝A2，B1＝B2)；若不相等，应化为相等，再使用．其中l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
2．一般地，与已知直线l距离为d(d>0)的直线有两条，且都与l平行．求其方程时，可利用平行直线系方程的设法，设出其方程，再利用两条平行直线的距离公式求解；与两条平行直线l1，l2距离相等的直线只有一条，且与l1，l2均平行，求其方程时，也是利用平行直线系方程的设法设出方程，然后求解．
4．直线l1过点A(0,1)，直线l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1、l2的方程．
解析：当l1，l2的斜率均存在时，
∵l1∥l2，∴设直线l1，l2的斜率均为k.
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，
故两平行线l1与l2间的距离d＝＝5，解得k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
当l1，l2的斜率均不存在时，l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
此时，l1与l2间的距离为5，同样满足条件．
综上所述，满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.
转化与化归思想在求最值中的应用
[典例] 已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1[解析] |AC|＝＝，
直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0.
因为点B(m，)到直线AC的距离d＝，所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝.
因为1所以0<≤，0所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大．
[感悟提高] (1)此题要求△ABC面积的最大值，可转化成点B到AC的距离的最大值．
(2)在解题过程中将所得到的式子进行转化，利用函数的思想把问题转化成二次函数求得最值．
[随堂训练] 对应学生用书第46页
1．若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为( )
A．4
B．－2
C．－4或2
D．4或－2
解析：由已知得|AB|＝＝5，因此|1－m|＝3，
解得m＝4或m＝－2.
答案：D
2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析：d＝＝.
答案：C
3．直线－＝1与3x－2y＋27＝0之间的距离为________．
解析：直线－＝1可化为3x－2y－12＝0，因此所求距离d＝＝3.
答案：3
4．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
解析：由题意得＝≠，∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
由两平行线间的距离公式得＝，
解得c＝2或－6，∴＝－1或1.
答案：±1
5．已知AO是△ABC中BC边上的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
证明：如图，以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设A(b，c)，B(－a,0)，C(a,0)．
由两点间的距离公式，得|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
PAGE2 圆与圆的方程
2．1 圆的标准方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握确定圆的几何要素．2.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．3.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.
重点：掌握圆的标准方程的形式．难点：利用待定系数法求圆的标准方程．疑点：准确把握方程与曲线间的对应关系.
授课提示：对应学生用书第47页
[自主梳理]
一、确定圆的条件
1．几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于定长．
2．定圆的条件：圆心和半径．
二、圆的标准方程
三、点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d>r
d＝r
d[双基自测]
1．以点(－，－2)为圆心，为半径的圆的标准方程是( )
A．(x－)2＋(y－2)2＝3
B．(x＋)2＋(y＋2)2＝3
C．(x－)2＋(y＋2)2＝3
D．(x＋)2＋(y－2)2＝3
解析：把a＝－，b＝－2，r＝代入(x－a)2＋(y－b)2＝r2即得．
答案：B
2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5的圆心坐标和半径分别为( )
A．(－1,2)，
B．(－1,2)，5
C．(1，－2)，
D．(1，－2)，5
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋[y－(－2)]2＝()2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
答案：C
3．已知圆C：x2＋y2＝9，点A(3,4)，则点A与圆C的位置关系是( )
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．不确定
解析：因为＝5>r＝3，所以点A在圆外．
答案：C
4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，5)
C．(0,5)
D．[0,5]
解析：由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.
答案：C
5．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，半径是圆心到直线x＋y＋3＝0的距离，则圆C的标准方程为________．
解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点为C(－1,0)，圆心到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
授课提示：对应学生用书第47页
探究一 直接法求圆的标准方程
[典例1] 求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)．
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径．
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．
[解析] (1)由两点间距离公式得
r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
1．直接法求圆的标准方程，就是根据已知条件求出圆心坐标和半径，然后写出标准方程．
2．求圆的圆心坐标与半径时，常利用以下圆的性质：
(1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；
(2)圆心到切线之间的距离等于半径；
(3)圆心与切点的连线长等于半径；
(4)圆心与切点的连线与切线垂直．
1．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心为(3,4)，半径等于；
(2)圆心为(1，－3)，经过点(－3，－1)；
(3)圆心为(2，－5)，且与直线4x－3y－3＝0相切．
解析：(1)圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.
(2)由两点间距离公式可得圆的半径
r＝＝2，
于是圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝20.
(3)圆的半径即为圆心(2，－5)到直线4x－3y－3＝0的距离，由于d＝＝4，于是圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋5)2＝16.
探究二 待定系数法求圆的标准方程
[典例2] 在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程．
[解析] 解法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.
因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：
解得
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
解法二 由于A、B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)，由AC＝得＝.解得b＝1或b＝－1.
因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)根据题意，建立关于a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．
2.如图所示，ACB为一弓形，且A，B，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，(0,2)，求弓形所在圆的标准方程．
解析：由题意得圆心在弦AB的中垂线上，
∴圆心在y轴上，设圆心为P(0，b)，
连接AP(图略)，∵|AP|＝|CP|，
∴＝|2－b|，解得b＝－3，
∴圆心为P(0，－3)，半径r＝|CP|＝5，
∴圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25.
探究三 点与圆位置关系的判定及应用
[典例3] (1)圆的直径的两个端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内；
(2)若点P(－2,4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r＝1.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
因为|AC|＝＝>1，
|BC|＝＝>1，
所以A，B两点都在圆外．
(2)由于点P(－2,4)在圆外，
所以有(－2＋1)2＋(4－2)2>m，
解得m<5.
又方程表示圆，所以m>0，
因此实数m的取值范围是0判断点与圆的位置关系主要的两种方法：
(1)几何法：根据圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小关系；
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)23．已知两点A(4,9)，B(6,3)，
(1)求以AB为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上，圆内，还是圆外．
解析：(1)设圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)，
由C为线段AB的中点得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得r＝|AC|＝＝.
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)分别计算点到圆心C的距离：
|MC|＝＝；
|NC|＝＝＞；
|QC|＝＝3＜.
因此，点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外．
因考虑不全面致使所求圆的方程漏解
[典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且与y轴的一个交点是(0,4)，则圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋y2＝25
B．(x＋3)2＋y2＝25
C．(x±3)2＋y2＝25
D．(x±3)2＋y2＝5
[解析] 因为圆的圆心在x轴上，半径为5，故可设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，
又圆与y轴的一个交点为(0,4)，
所以(0－a)2＋42＝25，解得a＝±3，
故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
[答案] C
[错因与防范] 本题易错选答案D、A或B，错选D是圆的标准方程记忆不准确，将方程右边的r2记成r而出错；错选A或B是对a的值漏解．
圆的标准方程的特点：等号左边是平方和的形式，右边是半径的平方而非半径，即圆的标准方程中各量都是二次的．
[随堂训练] 对应学生用书第48页
1．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝
解析：由已知得半径r＝＝，又圆心坐标为(2，－3)，故圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：B
2．若圆(x－3)2＋(y＋3)2＝4关于直线l：Ax＋4y－6＝0对称，则直线l的斜率是( )
A．－
B.
C．－
D．6
解析：圆心坐标为(3，－3)，由题意知圆心在直线Ax＋4y－6＝0上，
∴A×3＋4×(－3)－6＝0，解得A＝6，
则直线l的斜率k＝－＝－，故选A.
答案：A
3．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意得32＋()2<16，所以a<7，又a≥0，因此a的取值范围是0≤a<7.
答案：0≤a<7
4．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．
解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0)，
则
解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
5．已知一条直线与圆C相交于点P(1,0)和Q(0,1)．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解析：(1)由已知得PQ的中点为M，kPQ＝－1，
因此圆心所在直线过点，且斜率为1，
故圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝1，
由圆过P，Q点得
解得或
所以圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
PAGE2.2 圆的一般方程
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.正确理解圆的一般方程及其特点．2.会由圆的一般方程求其圆心、半径．3.会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．4.初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用.
重点：用二元二次方程表示圆的条件及圆的一般方程解题．难点：圆与方程、不等式结合命题．方法：数形结合思想在解题中的应用.
授课提示：对应学生用书第49页
[自主梳理]
圆的一般方程
1．方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为C(－，－)，半径为r＝
.
2．说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆，当且仅当D2＋E2－4F>0时，表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
[双基自测]
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆
解析：方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝11，可知该方程表示圆心为(－1,2)，半径为的圆．
答案：D
2．如果方程2x2＋2y2－ax＋＝0表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．R
C．(－2,2)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：原方程可化为x2＋y2－x＋＝0，所以方程表示圆的条件是2－4×>0，即a2>4，解得a>2或a<－2.
答案：A
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0的周长是________．
解析：圆的半径r＝＝2.
∴周长为2πr＝4π.
答案：4π
4．到两定点O(0,0)，A(0,3)距离的比为的点的轨迹方程为________．
解析：设点P(x，y)是所求轨迹上任意一点，则由题意可知＝，由两点间距离公式，上式可表示为＝，化简整理得x2＋y2＋2y－3＝0.
答案：x2＋y2＋2y－3＝0
5．求过点A(1,2)，B(1,0)且圆心在直线x－2y＋1＝0上的圆的方程．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
依题意得
解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0.
授课提示：对应学生用书第49页
探究一 判断二元二次方程是否表示圆
[典例1] 判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．
[解析] 解法一 由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝
＝|m－2|.
解法二 原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
1．解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．
2．(1)圆的标准方程圆的一般方程．
(2)由公式求半径和圆心坐标时，一定要注意圆的一般方程的形式，二次项系数相等且为1.
1．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆．
(1)求实数t的取值范围；
(2)求该圆的半径r的取值范围．
解析：(1)∵方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆，
∴4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)＞0，
即7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.
故实数t的取值范围为(－，1)．
(2)r2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－(16t4＋9)
＝－7t2＋6t＋1
＝－7(t－)2＋，
∴r2∈(0，]，∴r∈(0，]，即r的取值范围为(0，]．
探究二 求圆的一般方程
[典例2] (1)已知点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程；
(2)已知一个圆经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且圆心到直线PQ的距离为，求该圆的方程．
[解析] (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意有解得
于是圆的方程为x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
(2)依题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有(4－a)2＋(－2－b)2＝r2，①
(－1－a)2＋(3－b)2＝r2，②
又kPQ＝＝－1，于是PQ所在直线的方程为y－3＝－(x＋1)，
即x＋y－2＝0，
因此有＝.③
解①②③组成的方程组可得或
于是所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝13.
1．用待定系数法求圆的一般方程的步骤：
(1)设出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)根据题意，列出关于D，E，F的方程组；(3)解出D，E，F的值代入即得圆的一般方程．
2．对圆的一般方程和标准方程的选择：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标和半径或需用到圆心坐标或半径来列方程组时，通常设圆的标准方程求解；
(2)如果已知条件与圆心坐标和半径均无直接的关系，可通过设圆的一般方程求解．
2．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
解析：法一：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则有
解得
满足D2＋E2－4F＞0，
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
法二：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
探究三 圆的方程的综合应用
[典例3] 如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽多少米？
[解析] 以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，
设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为原点在圆上，所以F＝0，
另外点A，点B在圆上，所以
∴D＝0，E＝20，∴圆的方程为x2＋y2＋20y＝0.
当水面下降1
m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝，所以，水面下降1
m后，水面宽为2x0＝2(m)．
在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．
3．一辆卡车宽3
m，要经过一个半径为5
m的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的距离不得超过4
m，试用数学知识进行验证．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)，
当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4
m.
圆的一般方程的应用
[典例] (本题满分12分)已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数a的取值范围；
(2)求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程．
[规范解答] (1)由条件知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0.①2分
即3a2＋4a－4<0，所以－2即实数a的取值范围为.6分
(2)要使圆的面积最大，只需圆的半径最大即可，
由于r＝
＝
＝
.②9分
因为－2[规范与警示] (1)解题过程中①处根据一般式确定出关于a的不等式是解题的关键，也是失分点．
(2)在求圆的面积的最大值时，将面积问题转化为求半径的函数问题，利用函数最值的求法求圆的面积最大时a的值，如②处，是又一失分点．
[随堂训练] 对应学生用书第50页
1．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2
B．k>2
C．k≥2
D．k≤2
解析：依题意有(－4)2＋42－4×(10－k)>0，解得k>2.
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．(0,2)，2
B．(2,0)，4
C．(－2,0)，2
D．(2,0)，2
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，可知圆心坐标为(2,0)，半径为2.故选D.
答案：D
3．若圆经过两点(2,0)和(0，－4)，且圆心在直线y＝－x上，则其方程为________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意得
解得所以圆的方程是x2＋y2－6x＋6y＋8＝0.
答案：x2＋y2－6x＋6y＋8＝0
4．已知一个圆过点A(4,2)，B(－1,3)，且它在坐标轴上的截距之和为2，求此圆的方程．
解析：设该圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以该圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以该圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.
由题意，知x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③，得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
PAGE2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
2．3.1 直线与圆的位置关系
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．2.会用几何法和方程组法判断直线与圆的位置关系．3.会求简单的弦长问题、圆的切线方程等问题.
重点：利用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系，以及求相应直线方程时斜率不存在的情形．难点：圆与方程、不等式等结合命题．疑点：已知直线与圆的位置关系，求相应直线方程时注意斜率不存在的情形.
授课提示：对应学生用书第51页
[自主梳理]
直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判定方法
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
dd＝r
d>r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式为Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形表示
,
[双基自测]
1．直线5x＋12y－8＝0和圆(x－1)2＋(y＋3)2＝8的位置关系是( )
A．相交且直线过圆心
B．相切
C．相交且直线不过圆心
D．相离
解析：圆的圆心坐标为(1，－3)，它到直线5x＋12y－8＝0的距离为3>2.所以直线与圆的位置关系为相离．
答案：D
2．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )
A．1，－1
B．2，－2
C．1
D．－1
解析：由于圆x2＋y2－2x＝0的圆心坐标为(1,0)，半径为1，则由已知有＝1，解得a＝－1.
答案：D
3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(－10,0)
B．(0,10)
C．(－∞，－10)∪(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(10，＋∞)
解析：将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，则圆心坐标为(1，－2)，半径为1.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即＞1，解得m＜0或m＞10，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(10，＋∞)，故选D.
答案：D
4．已知圆心在y轴上，半径为的圆与直线2x－y＝0相切，则圆的方程是________．
解析：设圆心为(0，b)，则r＝＝，解得b＝±5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝5或x2＋(y＋5)2＝5.
答案：x2＋(y－5)2＝5或x2＋(y＋5)2＝5
5．已知圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的内部有一点A(4，－2)，则以A为中点的弦所在的直线方程为________．
解析：由垂径定理知点A与圆心的连线与弦垂直，由于圆的圆心坐标为B(2，－3)，所以直线AB的斜率为.因此所求直线方程为y＋2＝(－2)(x－4)，即2x＋y－6＝0.
答案：2x＋y－6＝0
授课提示：对应学生用书第51页
探究一 直线与圆的位置关系的判断
[典例1] 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
[解析] 解法一 判断直线与圆位置关系的问题可转化为求当b为何值时，方程组
有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．
②代入①，整理得2x2＋2
x＋b－2＝0.③
方程③的根的判别式
Δ＝(2)2－4×2(b－2)＝16－4b，
当00，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝4时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b>4时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．
解法二 圆心(0,0)到直线y＝x＋的距离为d＝，圆的半径r＝.
当d当d＝r，即＝，b＝4时，直线与圆相切；
当d>r，即>，b>4时，直线与圆相离，
所以当0当b＝4时，直线与圆相切；
当b>4时，直线与圆相离．
直线与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
1．已知两平行直线4x－2y＋7＝0,2x－y＋1＝0间的距离等于坐标原点O到直线l：x－2y＋m＝0(m＞0)的距离的一半．
(1)求m的值；
(2)判断直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝的位置关系．
解析：(1)2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0，
则两平行直线4x－2y＋7＝0,2x－y＋1＝0之间的距离为＝，
则点O到直线l：x－2y＋m＝0(m＞0)的距离为＝，∴m＝5.
(2)圆C：x2＋(y－2)2＝的圆心C(0,2)，半径r＝，
∵点C到直线l的距离为＝，∴直线l与圆C相切．
探究二 直线与圆相切问题
[典例2] 圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
[解析] 过A(2,1)与两直线垂直的直线方程为y－1＝(x－2)，即y＝x.由解得
则A(2,1)，B(－6，－3)是圆C的直径的两个端点，于是圆心为(－2，－1)，半径r＝|AB|＝2.
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
1．求过圆上的一个已知点的圆的切线方程
常用直接法，步骤如下：
(1)求切点与圆心连线的斜率k(k存在，且k≠0)；
(2)由垂直关系得切线斜率为－；
(3)代入点斜式方程得切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
常用待定系数法，步骤如下：
(1)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(k存在)；
(2)求出圆心到该直线的距离d(或将切线方程与圆的方程联立消元)；
(3)根据d＝r求得k的值(或根据Δ＝0求得k的值)；
(4)将k的值代入即得切线方程．
2．过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
解析：点A到圆心C的距离为
＝＞1，∴点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，整理得kx－y－4k－3＝0.
∵圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
∴＝1，即|k＋4|＝.解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上所述，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
探究三 弦长问题
[典例3] 如图所示，求经过点P(6，－4)且被定圆x2＋y2＝20截得弦长为6的直线的方程．
[解析] 如图所示，作OC⊥AB于C，连接OA，则AB＝6，OA＝2.
在Rt△OAC中|OC|＝＝.
显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，
即kx－y－6k－4＝0.
∵圆心到直线的距离为，∴＝，
即17k2＋24k＋7＝0.∴k＝－1或k＝－.
∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0.
求弦长的常用方法
(1)代数法：
①将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长．
②设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d＝|x2－x1|.
(2)几何法：
设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有2＋d2＝r2，故l＝2，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，数形结合利用勾股定理得到．
3．(1)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________；
(2)设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.
解析：(1)圆心(0,0)到直线x－2y＋5＝0的距离d＝＝，因此|AB|＝2＝2＝2.
(2)圆心到直线的距离d＝＝，由＝，得a＝0.
答案：(1)2 (2)0
直线与圆的综合问题
[典例] (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[规范解答] (1)设P(x，y)，半径为r，由题意知
y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，即y2＋2＝x2＋3，①
故P点轨迹方程为y2－x2＝1.4分
(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.
又P点在曲线y2－x2＝1上，从而得
②6分
得此时圆的半径r＝；8分
得此时，圆的半径r＝.10分
故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.12分
[规范与警示] ①正确列出点P满足的关系式是求轨迹方程的关键点，也是失分点．
②对绝对值的关系式要进行讨论，解题要全面．
在解答此类问题时，首先要认真分析题设条件，找出条件与结论之间的关系，选取合理的解题思路．对题目中出现的参数，含绝对值的问题时，一定要注意进行分类讨论．
[随堂训练] 对应学生用书第53页
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
答案：D
2．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得到的弦长为( )
A．1
B．2
C．2
D．2
解析：圆心到直线的距离d＝＝1，
又r＝2，
所以弦长为2＝2.
答案：B
3．若直线2x＋ay＋3＝0与圆x2＋y2－2x－4＝0相切，则实数a等于________．
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝5，因此圆心坐标为(1,0)，半径r＝，依题意得＝，解得a＝±1.
答案：±1
4．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离为________．
解析：由题意，知直线l1的斜率k＝－.则设直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0.由l与圆C相切，得＝5，解得a＝－4，所以l的方程为4x－3y＋20＝0，l1的方程为4x－3y＋8＝0，则两直线间的距离为＝.
答案：
5．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且圆C在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为2，求圆C的方程．
解析：因为圆心C在直线l1：x－3y＝0上，
所以可设圆心坐标为(3t，t)．
又圆C与y轴相切，
所以圆的半径为r＝|3t|.
再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得2＋()2＝|3t|2，解得t＝±1.
所以圆心坐标为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
PAGE2．3.2 圆与圆的位置关系
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系．2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．3.了解用代数方法处理几何问题的思想.
重点：对两圆内切、外切时位置关系的判断和应用．难点：常与方程、有关圆的平面几何知识结合命题方法：用坐标法解决与圆有关的平面几何问题.
授课提示：对应学生用书第53页
[自主梳理]
圆与圆的位置关系及判定
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝.
则两圆C1，C2有以下位置关系
位置关系
公共点个数
圆心距与半径
图形表示
两圆相离
0,
d>r1＋r2
两圆内含
d<|r1－r2|
两圆相交,
2
|r1－r2|两圆内切
1
d＝|r1－r2|
两圆外切
d＝r1＋r2,
[双基自测]
1．圆(x－2)2＋(y＋2)2＝9与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相离
B．外切
C．相交
D．内含
解析：两圆的圆心分别是(2，－2)，(0,0)，半径分别是3和1，所以圆心距为＝2，2<2<4，所以两圆相交．
答案：C
2．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(1,121)
B．[1,121]
C．(1,11)
D．[1,11]
解析：两圆的圆心分别为(0,0)，(－3,4)，半径分别为和6，它们有公共点，所以两圆相切或相交．
∴|－6|≤≤＋6，解得1≤m≤121.
答案：B
3．两圆(x－1)2＋(y－1)2＝2和(x＋2)2＋(y－4)2＝3的公切线的条数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：两圆的圆心分别是(1,1)，(－2,4)，半径分别是和，圆心距为＝3，因为3>＋，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．
答案：D
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝30相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：把圆(x－1)2＋(y－3)2＝30的方程化为x2＋y2－2x－6y＝20，与圆x2＋y2＝10两边相减，得2x＋6y＝－10，即x＋3y＋5＝0为直线AB的方程．
答案：x＋3y＋5＝0
5．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为____________．
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴＜5－1或＞5＋1，解得－2＜a＜2或a＜－4或a＞4.
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
授课提示：对应学生用书第54页
探究一 圆与圆的位置关系判定
[典例1] 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，圆C1与圆C2是什么关系？
(2)当m＝4时，圆C1与圆C2是什么关系？
(3)若两圆有三条公切线，求实数m的值；
(4)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
[解析] (1)∵m＝1.∴两圆的方程分别可化为C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.
两圆的圆心距d＝＝2，
又∵r1＋r2＝3＋1＝4，|r1－r2|＝|3－1|＝2，
∴|r1－r2|(2)当m＝4时，两圆的方程分别可化为
C1：(x－4)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.
两圆的圆心距d＝＝，
又∵r1＋r2＝3＋1，∴d>r1＋r2.∴圆C1与圆C2相离．
(3)圆C1的方程为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，∴圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，
∴圆心C2(－1,0)，半径r2＝1，
当两圆有三条公切线时，它们相外切，因此|C1C2|＝r1＋r2，即＝4，解得m＝－1±2.
(4)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则<3－1，即(m＋1)2<－2<0，显然不等式无解．
故不存在m使得圆C1与圆C2内含．
1．判断两圆的位置关系，通常采用几何法，而不是用两圆公共点的个数来判断，因为它们之间并不是一一对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆没有公共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系．
2．利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行：
(1)计算两圆的半径r1，r2；
(2)计算两圆的圆心距d;
(3)得出d，r1，r2之间的等量(不等量)关系；
(4)判断两圆的位置关系．
1．当a为何值时，
两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0的位置关系为：(1)外切？(2)相交？(3)外离？
解析：将两圆的一般方程写成标准方程得，
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4，
所以两圆的圆心和半径分别为：
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆相切，
此时a＝－5或a＝2.
(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，
此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，此时a＞2或a＜－5.
探究二 圆与圆相切的问题
[典例2] 试求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)，且半径等于1的圆的方程．
[解析] 设所求圆的圆心为P(a，b)，
所以＝1.①
若两圆外切，则有＝1＋2＝3.②
由①②，解得a＝5，b＝－1.
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
若两圆内切，
则有＝2－1＝1.③
由①③，解得a＝3，b＝－1.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上，可知所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
求公切线的五个步骤
(1)判断公切线的条数．
(2)设出公切线的方程．
(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．
(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线．
(5)归纳总结．
注意对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．
2．求与圆M：(x－1)2＋y2＝1外切，且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)的圆N的方程．
解析：设所求圆N的圆心为N(a，b)，半径为r.
因为所求圆N与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，
所以直线NQ垂直于直线x＋y＝0，
所以kNQ＝＝，即b＝a－4，
圆N的半径r＝|NQ|＝＝＝2|a－3|.
因为圆N与圆M：(x－1)2＋y2＝1外切，
所以|MN|＝＝1＋r＝1＋2|a－3|，
即＝1＋2|a－3|.
对该式讨论如下：
①当a≥3时，可得a＝4，b＝0，r＝2，
所以圆N的方程为(x－4)2＋y2＝4；
②当a＜3时，可得a＝0，b＝－4，r＝6，
所以圆N的方程为x2＋(y＋4)2＝36.
于是所求圆N的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
探究三 圆与圆相交的问题
[典例3] 已知圆O：x2＋y2＝25和圆C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B两点．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)求AB所在直线的方程；
(3)求公共弦AB的长度．
[解析] (1)由于两圆相交于A，B两点，所以线段AB的垂直平分线就是两圆的圆心的连线．
又圆O：x2＋y2＝25的圆心O(0,0)，圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的圆心C(2,1)，
所以kOC＝，由点斜式得y＝x，即x－2y＝0.故AB的垂直平分线的方程为x－2y＝0.
(2)将两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程为4x＋2y－5＝0.
(3)圆x2＋y2＝25的圆心到直线AB的距离d＝＝，所以公共弦AB的长|AB|＝2＝2＝.
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法：
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，即两圆方程相减即得．
2．公共弦长的求法：
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
3．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解析：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组
的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.
又C1到直线AB的距离为
d＝＝.
∴|AB|＝2
＝2
＝.
即两圆的公共弦长为.
巧用圆系方程解题
[典例] 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，
同除以1＋λ可得，
x2＋y2＋x＋y－＝0，
此圆的圆心P.
又因为圆心在直线x＋y＝0上，
所以－－＝0，
得λ＝－2.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
[感悟提高] 1.一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要准确．最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)．
[随堂训练] 对应学生用书第55页
1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( )
A．1条
B．3条
C．4条
D．以上均不正确
解析：∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，
∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，
∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B.
答案：B
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．
答案：A
3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案：D
4．求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
解析：设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
圆C与直线y＝0相切且半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)，
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1.
①当圆心为C1(a,4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，
∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16，
或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16.
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，
∴a＝2±2.
∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16，
或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
PAGE3 空间直角坐标系
3．1 空间直角坐标系的建立
3．2 空间直角坐标系中点的坐标
3．3 空间两点的距离公式
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解空间直角坐标系的定义及画法．2.能根据条件建立适当的空间直角坐标系，并能用坐标表示点．3.掌握空间中的点关于特殊点、线、面对称的点的坐标．4.掌握并能推导空间两点间的距离公式．5.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并能求出给定点的坐标．难点：空间点的对称问题及应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.
授课提示：对应学生用书第55页
[自主梳理]
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O?xyz.
(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．右手直角坐标系
伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向．
二、空间直角坐标系中点的坐标
空间直角坐标系中，任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．
三、空间两点间的距离公式
设空间任意两点A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.
特别地，P(x，y，z)与原点O(0,0,0)的距离|OP|＝.
四、空间中的中点坐标公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点坐标是.
[双基自测]
1．在空间直角坐标系中，已知点M(－1,2,3)，过该点作x轴的垂线，垂足为H，则H点的坐标为( )
A．(－1,2,0)
B．(－1,0,3)
C．(－1,0,0)
D．(0,2,3)
解析：因为垂足H在x轴上，故点H与点M的横坐标相同，其余两个坐标均为0.
答案：C
2．已知点A(3,1，－2)，B(7,3,2)，则线段AB的中点坐标是________．
解析：由两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的中点坐标为(，，)知线段AB的中点坐标是(5,2,0)．
答案：(5,2,0)
3．已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面xOz内的投影，则点B的坐标是________．
解析：点(x，y，z)在xOz平面的投影点的纵坐标必为0，而横、竖坐标不变．
答案：(3,0,5)
4．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则△ABC的边AB上的中线长等于________．
解析：由已知得AB边的中点M，于是中线|CM|＝＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第56页
探究一 空间中点的坐标及其位置
[典例1] 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为8，E是A1C1的中点，且|BF|＝3|FB1|.建立空间直角坐标系并求点A，C1，B1，E，F的坐标．
[解析] 如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．易得A(8,0,0)，C1(0,8,8)，B1(8,8,8)．由于点E在xOy平面上的投影为AC的中点，所以H(4,4,0)，
又|EH|＝8，所以点E的z坐标为8.
因此点E的坐标为(4,4,8)．
点F在平面xOy上的投影为B(8,8,0)，
因为|BB1|＝8，|BF|＝3|FB1|，
所以|BF|＝6，即点F的z坐标为6.
所以点F的坐标为(8,8,6)．
在空间直角坐标系中确定点M的坐标的三种方法：
(1)过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标．
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．
1.如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解析：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.
又BC是圆O的直径，
所以OB＝OC.
又AB＝AC＝6，
所以OA⊥BC，BC＝6.
所以OA＝OB＝OC＝OF＝3.
如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．
探究二 空间中点的对称问题
[典例2] 求点M(a，b，c)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．
[解析] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)，
关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)，
关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)．
空间对称点的坐标规律：
空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点x坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点x，y不变，z坐标相反．特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数．
2．在长方体OABC?D′A′B′C′中
，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2，以O为原点，以OA，OC，OD′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
(1)求线段A′C的中点M的坐标；
(2)求点B′关于y轴对称点的坐标，关于yOz平面对称点的坐标；
(3)求点B′关于点P(2，－1，－4)对称点的坐标．
解析：(1)由于|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2，
所以A′(3,0,2)，C(0,4,0)，于是A′C的中点M的坐标为.
(2)易知B′的坐标为(3,4,2)．
所以B′关于y轴对称点的坐标为(－3,4，－2)；B′关于yOz平面对称点的坐标为(－3,4,2)．
(3)设B′关于P(2，－1，－4)对称的点为B1(x0，y0，z0)，则P是线段B′B1的中点，由中点坐标公式得2＝，－1＝，－4＝，解得x0＝1，y0＝－6，z0＝－10，
于是B1(1，－6，－10)，即点B′关于点P(2，－1，－4)对称点的坐标为(1，－6，－10)．
转化思想和函数思想在空间中的应用
[典例] 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小？
[解析] 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD，
所以AB、BC、BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G、H，
连接NG，易证NG⊥AB.
因为CM＝BN＝a，
所以CH＝MH＝BG＝GN＝a，
所以以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M，
N.
(1)|MN|
＝
＝＝.
(2)由(1)得，当a＝时，|MN|最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点．
[感悟提高] (1)在空间问题中若涉及距离问题以及求最值问题，经常通过建立直角坐标系把空间问题转化成代数问题利用函数思想求最值，充分体现转化思想和函数思想的应用．
(2)距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：①求空间任意两点间的距离；②判断几何图形的形状；③利用距离公式求最值．
[随堂训练] 对应学生用书第57页
1．点P(3,0,4)位于( )
A．x轴上
B．y轴上
C．xOz平面内
D．xOy平面内
解析：根据P点的坐标特点判断．
答案：C
2．点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)的对称点坐标是( )
A．(－10,2,8)
B．(－10,3，－8)
C．(5,2，－8)
D．(－10,2，－8)
解析：利用中点坐标公式可得．
答案：D
3．如图，正方体AOCD?A′B′C′D′的棱长为2，由图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________．
解析：因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．
答案：(－1，－2，－1)
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是________．
解析：|AB|2＝(1－2a)2＋(a＋7)2＋(－5＋2)2＝5a2＋10a＋59＝5(a＋1)2＋54，由于a∈R，所以当a＝－1时，|AB|取得最小值＝3.
答案：3
5．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标．
解析：(1)假设在y轴上存在点M，使得|MA|＝|MB|.
∵M在y轴上，∴可设点M的坐标为(0，y,0)．
由|MA|＝|MB|，得
＝，
显然，此式对任意的y∈R恒成立，
说明y轴上所有的点都满足关系|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)，知y轴上任意一点都有|MA|＝|MB|，
∴只要满足|MA|＝|AB|，就可以使得△MAB是等边三角形．
∵|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
∴＝，解得y＝±，
∴在y轴上存在点M，使得△MAB为等边三角形，
符合题意的点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
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