§1 从平面向量到空间向量
授课提示：对应学生用书第12页
一、空间向量
定义
在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
表示方法
①用a，b，c表示；②用有向线段表示，如：，其中A叫作向量的起点，B叫作向量的终点
自由向量
数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量
长度或模
与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用||或|a|表示
夹角
定义
如图，两非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围
规定0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b
向量平行
当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b
二、向量、直线、平面
1．直线的方向向量
设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．
2．平面的法向量
如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．
平面α有无数个法向量，平面α的所有法向量都平行．
[疑难提示]
空间向量与平面向量的关系
平面向量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面向量内容的扩展．因此，平面向量的概念在空间向量中仍然成立．如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍然成立．
[想一想]
1．当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多少？
提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从而其夹角为0(同向时)或π(反向时)．
[练一练]
2．在长方体ABCD?A′B′C′D′的棱所在的向量中，与向量的模相等的向量至少有( )
A．0个
B．3个
C．7个
D．9个
解析：与向量的模一定相等的向量有，，，，，，，共7个．
答案：C
3．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
C．零向量没有确定的方向
D．直线的所有方向向量方向相同
解析：对于A，若b为零向量，则a与c不一定共线，故A错；对于B，考虑到零向量与任意向量平行，可知B错；C正确；显然D错，故选C.
答案：C
4．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m________p.
答案：＝
授课提示：对应学生用书第13页
探究一 空间向量的概念辨析
[典例1] 下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，两个单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
[解析] 因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.
[答案] C
对于概念辨析题，准确熟练地掌握有关概念的差别，特别是细微之处的差别，是解决这类问题的关键．
1．下列说法正确的有________．
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②0方向任意；
③相等向量是指它们的起点与终点对应重合．
解析：①中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中相等向量指大小相等、方向相同，但起点与终点不一定重合的向量．
答案：②
2．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：
(1)单位向量是哪几个？
(2)模为的向量是哪些？
(3)与相等的向量是哪些？
(4)的相反向量是哪些？
解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高对应的向量，，，，，，，为单位向量．
(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，
故模为的向量有，，，，，，，.
(3)与相等的向量有，，.
(4)的相反向量为，，，.
探究二 求向量之间的夹角
[典例2] 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求：
(1)〈，〉，〈，〉；
(2)〈，〉，〈，〉．
[解析] (1)如图所示，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∥，且方向相同，
∴〈，〉＝0°.
∴∥，且方向相反，
∴〈，〉＝180°.
(2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC，
∴〈，〉＝90°.
∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1?平面A1ADD1，
∴A1B1⊥AD1.
∴〈，〉＝90°.
1．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．
2．对于非零向量a，b而言，常有以下结论：
(1)当a，b同向时，夹角为0°；
(2)当a，b反向时，夹角为180°；
(3)当a，b垂直时，夹角为90°.
3.如图，在正四面体ABCD中，〈，〉的大小为( )
A.
B.
C.
D.
解析：在正四面体ABCD中，易证AB⊥CD，所以〈，〉的大小为.
答案：C
4．在长方体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝，AA′＝1，AD＝，求〈，〉．
解析：如图，连接A′C′，BC′.
∵＝，
∴∠BA′C′的大小就等于〈，〉．
由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中
A′B＝＝2，A′C′＝＝3，
BC′＝＝.
∴cos∠BA′C′＝＝.
∴∠BA′C′＝.即〈，〉＝.
探究三 直线的方向向量与平面的法向量
—
5．如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AE＝AA1，AF＝A
B.
(1)可以作为哪些直线的方向向量？
(2)与平行的向量有哪些？
解析：(1)可以作为直线EF，直线A1B，直线D1C的方向向量．
(2)与平行的向量有：，，，，，，.
6．已知正四面体A?BCD.
(1)过点A作出方向向量为的空间直线；
(2)过点A作出平面BCD的一个法向量．
解析：(1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线．
(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量．
对空间向量的概念理解不到位致误
[典例] 下列说法中，错误的个数为( )
①在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝；
②若两个非零向量与满足＝－，则，为相反向量．
③＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1
B．2
C．3
D．0
[解析] ①正确．②正确.＝－，且，为非零向量，所以，为相反向量．③错误．由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合．
[答案] A
[错因与防范] 解答本题易误点：对③关于向量的相等理解不到位而致误．
解答与空间向量有关概念问题时，应将空间向量的有关概念和平面向量的有关概念反复对照，注意它们的区别与联系，特别是细微之处的差别，同时要注意培养空间想象的能力．
PAGE
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7
-2 空间向量的运算
授课提示：对应学生用书第14页
一、空间向量的运算
空间向量的运算
定义(或法则)
运算律
空间向量的加减法
加法
设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以OA、OB为边作平行四边形，则对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图．
①结合律：(a＋b)＋c＝b＋a；②交换律：a＋b＝a＋(－b)空间向
减法
a－b＝a＋(b＋c)，其中－b是b的相反向量
量的数乘
λa是一个向量，大小：|λa|＝|λ||a|，方向：当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0
①λa＝aλ(λ∈R)；②λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)
空间向量的数量积
空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b
①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)
与数量积有关的结论
①|a|＝；②a⊥b?a·b＝0；③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
二、共线向量基本定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λ
B.
三、单位向量
对于任意一个非零向量a，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向．
[想一想]
1．(a·b)·c与c有什么关系？(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？
提示：由数量积的定义知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉是一个数，从而(a·b)·c与c共线，又a·(b·c)＝(b·c)·a是与a共线的一个向量，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
2．a＝λb是向量a与b共线的充要条件吗？
提示：不是．由a＝λb可得出a，b共线．而由a，b共线不一定能得到a＝λb，如当b＝0，a≠0时．
[练一练]
3．已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是( )
A．a0＝b0
B．a0＝1
C．a0，b0共线
D．|a0|＝|b0|
解析：向量a，b不一定是共线向量，因此，当a，b不共线时，a0，b0也不共线，此时a0，b0不相等，故A，C错误；向量与数量不能比较，故B错；单位向量的模都是1，因此|a0|＝|b0|.故选D.
答案：D
4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．c－a－b
C．c＋a－b
D．c＋a＋b
解析：＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－
B.
答案：B
5．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a，b共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：由a·b＝|a||b|cos
θ＝|a||b|可知cos
θ＝1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cos
θ＝±1，a·b＝±|a||b|.故a·b＝|a||b|是a，b共线的充分不必要条件．
答案：A
6．如图，在平行六面体ABCD?EFGH中，若＝x
－2y
＋3z
，则x＋y＋z等于__________．
解析：易知＝＋＋＝＋＋，则x＝1，y＝－，z＝，故x＋y＋z＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第15页
探究一 空间向量的线性运算
[典例1] 如图所示，在四面体O?ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为△ABC的重心，试用a、b、c表示向量和.
[解析] 已知D为BC的中点，E为△ABC的重心，则点E在直线AD上，且满足AE∶ED＝2∶1，所以＝，
(1)由平行四边形法则易得：＝(＋)＝(b＋c)．
(2)＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
在进行向量的加减法运算时要牢记加减法的运算法则，最终的表达方式是唯一的，但在具体的解题过程中，注意封口多边形法则的应用，只要形成封闭图形即可，在解题过程中注意灵活选择．
1．已知空间四边形ABCD，如图，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式：
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；
(3)－(＋)．
解析：(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(3)－(＋)＝－＝.
2．如图所示，在六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中．
(1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
解析：(1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＋＝.
在图中所示如下：
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝0＝.
在图中所示如下：
探究二 向量共线问题
[典例2] 如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
[解析] M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．
所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，
所以＋＋＝－＋－－.
所以＝＋2＋＝2(＋＋)．
所以＝2.
所以与共线．
判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b，即a与b共线．
3．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
解析：＝－＝e1－4e2
又＝2e1＋ke2，
A，B，D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
∵e1，e2是不共线向量，
∴∴k＝－8.
4.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c.
∴＝－
＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.所以E，F，B三点共线．
探究三 向量的数量积及其应用
—
5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，如图所示，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)(＋)·(＋)．
解析：根据题意知||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝.
(1)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos＝.
(2)同理可以求出·＝，·＝，
∴·＝·(－)＝·－·＝－＝0.
(3)∵点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，
∴＝＝－，
＝＝(－)，
又∵＝－，
∴(＋)·(＋)＝(2－)·(－＋－)＝－2＋·－·－
·＋2＝－1＋－－＋＝－.
6．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC.试利用空间向量的方法解决下列问题：
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)若AB1与BC1成60°角，求该三棱柱的侧棱长．
解析：(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1
＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)结合(1)，知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
7．如图，正四面体V?ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，
＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos
60°－9)＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈(0，π)，所以〈，〉＝.
证线面平行的方法
[典例] 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面．
(2)证明：BD∥平面EFGH.
[证明] 法一：(1)＝－＝－＝，又＝－＝－＝，
所以＝，所以四点E，F，G，H共面．
(2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
法二：(1)因为＝＋＝＋＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝＋＝2
＋2
＝2＝2(＋)＝2＋2，
又，不共线，所以与，共面．
又BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
[感悟提高] 利用向量证明线面平行的三种方法
(1)证该直线的方向向量、平面内一直线方向向量平行(共线)．
(2)证该直线的方向向量能写成平面内两不共线向量的线性组合．
(3)证该直线的方向向量与平面的法向量数量积为零．
PAGE§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2 空间向量基本定理
授课提示：对应学生用书第17页
一、空间向量基本定理、标准正交基与向量坐标
二、坐标的意义
1．投影的定义：一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．
2．坐标的意义：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
[疑难提示]
对基底的正确理解
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.
(3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成．
[想一想]
1．与坐标轴或坐标平面垂直的向量的坐标有何特点？
提示：xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)．另外还要注意向量的坐标与点P的坐标相同．
[练一练]
2．已知ABCD?A′B′C′D′是棱长为2的正方体，E、F分别是BB′、B′D′的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标为__________，点F的坐标为________．
解析：由正方体的性质可知，EB⊥平面ABCD，如图，取BD中点G，连接FG，则FG⊥平面ABCD，则E、F的横纵坐标分别为点B、G的横纵坐标，E、F的竖坐标分别为BE、GF.又正方体的棱长为2，故BE＝1，GF＝2.因此点E的坐标为(2,2,1)，点F的坐标为(1,1,2)．
答案：(2,2,1) (1,1,2)
授课提示：对应学生用书第17页
探究一 空间基底的判定
[典例1] 已知{a，b，c}是空间的一个基底，从a、b、c中选择哪一个向量，一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底？
[解析] 因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a、b、c三个向量一定不共面，因为p＝a＋b，q＝a－b，所以p、q与a、b共面，所以只能是向量c与p＝a＋b，q＝a－b构成空间的一个基底，否则，c与p、q共面，则与a、b共面，这与已知矛盾，所以向量c与p＝a＋b，q＝a－b构成空间的一个基底．
判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：结合正方体可知向量x、y、z不共面，b、c、z和x、y、a＋b＋c也不共面．
答案：C
2．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.
答案：D
探究二 空间向量的坐标表示
[典例2] 在直三棱柱ABO?A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、的坐标．
[解析] ∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]
＝－－－.
又||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝(－4,2，－4)．
(1)空间向量坐标表示的关键是根据几何体特征建立适当的空间直角坐标系，利用向量的线性运算最后写成标准正交基的线性组合．
(2)以原点为起点的向量的坐标就是向量终点的坐标．
3．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.求，的坐标．
解析：因为PA＝AD＝AB，且PA⊥平面AC，AD⊥AB，
所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
所以＝，＝(0,1,0)．
4.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，A1C，如图建立空间直角坐标系．
(1)求与的坐标；
(2)求在平面ABCD上的投影．
解析：(1)设i，j，k分别为，，方向上的单位向量，
则＝－＝－＝4j－3k，
＝＋＝－－＝－4i－3k，
∴＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3)．
(2)连接AC(图略)，则在平面ABCD上的投影为||·cos∠A1CA＝||＝4.
探究三 空间向量基本定理及其应用
—
5.已知在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a、b、c表示向量和.
解析：∵＝＋，而＝，＝－，
又D为BC中点，∴＝(＋)，
∴＝＋＝O＋(－)
＝＋×[(＋)－]
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
而＝－，
又∵＝＝×(＋)＝(b＋c)，
∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
∴＝(a＋b＋c)，＝－a.
6．已知正方体ABCD?A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
解析：(1)如图，＝＋＝＋＋＝－＋＋，
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)＝＋＝＋
＝＋＋＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝1.
7.如图，在正四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1)用向量a，b，c表示；
(2)在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标．
解析：(1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，
∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)．
∵A(0,0,0)，O，P，
∴c＝＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.
求向量投影时因不明两向量的夹角致误
[典例] 如图，已知四边形ABCD是正方形，若PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝1，求：
(1)向量在上的投影；
(2)向量在上的投影．
[解析] (1)在上的投影为
||cos∠APD＝||＝1.
(2)向量与的夹角为π－∠APC，
故在上的投影为
||cos(π－∠APC)＝－||＝－1.
[错因与防范] 本例(2)易误认为与的夹角为∠APC致误，在不建立坐标系的情况下，求一个向量在另一个向量上的投影或求两向量的数量积，一定要搞清两向量的夹角，可把一个向量平移使两向量有公共起点再确定其夹角．
PAGE3．3 空间向量运算的坐标表示
授课提示：对应学生用书第19页
一、各种运算的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
向量运算
坐标表示
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
数乘
λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
二、平行、垂直、模长、夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)若b≠0，则a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，
|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)．
三、空间向量的坐标表示
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
[疑难提示]
空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系
空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算的基本思想方法、形式都类似，只不过从二维运算到三维运算而已，仅多了一项竖坐标，其运算法则与横、纵坐标一致．
[想一想]
1．把向量＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变化？
提示：点A，B的坐标会发生变化，向量的坐标不变．
[练一练]
2．已知a＝(1,2，－3)，b＝(5，－7,8)，则2a＋b的坐标为( )
A．(7，－3,2)
B．(6，－5,5)
C．(6，－3,2)
D．(11，－12,13)
解析：2a＋b＝2(1,2，－3)＋(5，－7,8)＝(2,4，－6)＋(5，－7,8)＝(7，－3,2)．
答案：A
3．已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则a·b的值为( )
A．20
B．－29
C．－20
D．29
解析：a·b＝(2，－3,5)·(－3,1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－6－3－20＝－29.
答案：B
授课提示：对应学生用书第19页
探究一 利用坐标表示空间向量
[典例1] 已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)、(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
[解析] 由已知可得：＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，＝(－2,2,3)－(2，－1,2)＝(－4,3,1)．
(1)＝(－)＝[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，，－2)，所以P点的坐标为(3，，－2)．
(2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
因为(－)＝(3，，－2)，
所以＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，，－2)，
解得：x＝5，y＝，z＝0，则P点的坐标为(5，，0)．
建立空间直角坐标系来求点或向量的坐标，关键在于建系，建系的关键是要有特殊的图形环境：有公共顶点的两两垂直的三条线．若图中没有这样的环境，第一步就是选择或创造(作辅助线)建立空间直角坐标系的适宜环境．
1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由于B(1,1,0)，E1，所以＝.
答案：C
2.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量，，，的坐标．
解析：以C点为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0)．
探究二 坐标形式下平行与垂直条件的应用
[典例2] 已知空间三点A(－1,1,3)，B(0,2,3)，C(－2,1,5)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；
(3)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与y轴垂直，求λ，μ满足的关系式．
[解析] (1)∵c∥，
∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1，
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又|a|＝＝，|b|＝＝，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.
(3)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，
∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，
由[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,1,0)＝λ＋μ＝0，得λ＋μ＝0，
即当λ与μ满足关系式λ＋μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与y轴垂直．
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b为非零向量)，则a∥b?x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论．
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
3.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．
解析：法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则
＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
∵⊥，∴·＝0，
∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，
即x－y－z＝0.①
又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，
即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②
由①②得x＝，y＝，z＝.
∴M.
法二：设＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，
∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a，aλ)．
∵BM⊥AC1，
∴·＝0
即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝，
∴＝，
＝＋＝.
∴M点坐标.
4．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解析：(1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴解得，
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
(2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝.
探究三 空间向量坐标的基本运算及其应用
—
5．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求
(1)a＋b；
(2)a－b；
(3)a·b；
(4)2a·(－b)；
(5)(a＋b)·(a－b)；
(6)以a，b为邻边的平行四边形的面积．
解析：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝－7.
(4)2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·[－(0，－1,4)]
＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝－8.
(6)∵cos〈a，b〉＝＝－＝－，
∴sin〈a，b〉＝，
∴S?＝|a||b|sin〈a，b〉＝3××＝2.
6．设空间两个单位向量＝(m，n,0)，＝(0，n，p)，它们与＝(1,1,1)的夹角都等于，求cos∠AO
B.
解析：由题意得：||＝＝1，||＝＝1，||＝＝，
cos〈，〉＝cos＝＝＝＝.
同理可得：cos〈，〉＝cos＝
＝＝＝.
可以解得：n＝.
∴cos∠AOB＝cos〈，〉＝
＝·＝n2＝.
7．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，P，Q分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：⊥.
解析：(1)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，＝，
∴||＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos
x在内单调递减，∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明：∵·＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
8．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝GD，H为C1G的中点，
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解析：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则有
E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1，1)，G(0，，0)．
(1)证明：∵＝(，，0)－(0,0，)＝(，，－)，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴·＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)
＝－＋0＋＝0.
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝(0，，0)－(0,1,1)＝(0，－，－1)，
∴||＝.
又∵·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)＝，
||＝＝.
∴cos〈，〉＝＝.
(3)∵F(，，0)，H(0，，)，
∴＝(－，，)．
∴||＝＝.
即FH的长为.
因忽视隐含条件致误
[典例] 已知向量a＝(2,3，－1)，b＝(－2，m,1)，若a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为________．
[解析] 由已知a·b＝2×(－2)＋3m－1＝3m－5.
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，所以3m－5<0，即m<.
若a与b的夹角为π，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(2,3，－1)＝λ(－2，m,1)，所以所以m＝－3，故m的取值范围是(－∞，－3)∪.
[答案] (－∞，－3)∪
[错因与防范] 本例易列出a·b<0求解而得出错误的答案，忽略了a＝λb(λ<0)时的λ的值应剔除．此类问题要注意等价运用条件，一般地〈a，b〉∈?〈a，b〉∈?
PAGE4 用向量讨论垂直与平行
授课提示：对应学生用书第21页
一、直线、平面间的平行、垂直
设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α的法向量为n，则：
平行
垂直
l1与l2
e1∥e2
e1⊥e2
l1与α
e1⊥n
e1∥n
二、线面垂直判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直．
三、面面平行判定定理
若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．
四、面面垂直判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
五、三垂线定理
1．文字语言：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．
2．几何语言
?a⊥b
3．图形语言
[疑难提示]
平行关系的判定与证明、垂直关系的证明
(1)证明线面平行常用的方法
①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面．
②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明面面平行常用的方法
①证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．
②证明两个平面的法向量平行．
③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题．
(4)用向量法证明线段垂直
证明两直线的方向向量垂直．
(5)用向量法证明线面垂直
设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．
①a∥n，则线面垂直．
②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c.
(6)用向量法证明面面垂直
①转化为证线面垂直．
②证两平面的法向量垂直．
[想一想]
1．三垂线定理的作用是什么？
提示：三垂线定理的结论跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，在证明线线垂直问题时，非常简捷．
[练一练]
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直
D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．
答案：D
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 三垂线定理在证明垂直问题中的应用
[典例1] 如图所示，在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的投影O1是△BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的投影O2必是△ACD的垂心．
[证明] 连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交．
∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC.
又AO1⊥平面BCD，
∴DO1是AD在平面BCD内的投影，
∴BC⊥AD(三垂线定理)．
∵BC是平面ACD的斜线，
BO2⊥平面ACD，
∴CO2是BC在平面ACD内的投影，
∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．
同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．
三垂线定理的证明要用向量法，但在使用三垂线定理时，与向量无关，是纯几何问题．应用定理的关键是：一定面，二查线，三垂直，问题即可解决．
1.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝1，BC＝，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求证：A1E⊥平面AED.
证明：∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，∴D1A1，D1C1，D1D两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.
则D(0,0,2)，A(，0,2)，E(，1,1)，A1(，0,0)，
∴＝(，0,0)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,1)，
∴·＝0，·＝0，
∴A1E⊥DA，A1E⊥AE，
又DA∩AE＝A，∴A1E⊥平面AED.
2.(1)已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
(2)在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P?ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明：(1)因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OA
B.所以∠AOC＝∠AOB.
因为·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos
∠AOB＝0，
所以⊥，所以OA⊥BC.
(2)以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则
A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.
所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
因为n·＝0，所以n⊥，
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直．
所以平面EFG⊥平面PBC.
探究二 求平面的法向量
[典例2] 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．
[解析] ∵D(0,0,0)、B(2,2,0)、E(1,0,2)，
∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．
设平面EFBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴??.
令x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1.
∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面EFBD的一个法向量．
若要求出一个平面的法向量，一般要根据空间直角坐标系，用待定系数法求解，一般步骤为：
(1)设出平面法向量n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3)根据法向量定义建立关于x，y，z的方程组：
(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．
3．已知平面α经过A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)三点，试求平面α的一个法向量．
解析：∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的一个法向量是n＝(x，y，z)，
依题意，应有，即
解得令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．
4．(1)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，求出平面ABC的一个法向量．
(2)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的一个法向量．
解析：(1)设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
因为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)．
所以＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．
则有即解得
令z＝1，则x＝y＝3.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．(答案不唯一)
(2)证明：设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1,1,1)，＝(－1,1,0)，
＝(－1,0,1)，于是有·＝0，所以⊥，即DB1⊥AC，同理DB1⊥AD1.又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，
从而是平面ACD1的一个法向量．
探究三 利用向量证明平行与垂直
—
5.如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD?A1B1C1D1，O1是B1D1的中点，证明：BO1∥平面ACD1.
证明：设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)、D1(0,0,2)、C(0,2,0)、O1(1,1,2)、B(2,2,0)，
∴＝(－2,0,2)，＝(0，－2,2)，＝(－1，－1,2)．
证法一 设＝λ＋μ，则
λ(－2,0,2)＋μ(0，－2,2)＝(－1，－1,2)，
∴，解得λ＝μ＝.
∴＝＋?与、共面，
∴∥平面ACD1.
又BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.
证法二 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
由?.
令x＝1可得：y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)．
∵·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，
∴⊥n，∴∥平面ACD1.
又BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.
6.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.
证明：证法一 由空间直角坐标系可知：
A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，
E(0,2,4)，F(2,4,4)．
取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连接AG，QK，
则G(3,1,4)，K(1,3,4)，
Q(2,2,0)．
∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，
＝(－1,1,4)，＝(－1,1,4)．
可见＝，＝，∴MN∥EF，AG∥QK.
∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.
又MN∩AG＝G，∴平面AMN∥平面EFBD.
证法二 由证法一得＝(－2,0,4)，＝(2,2,0)，＝(0,2,4)，＝(2,2,0)．
设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即即
令x1＝1，则n1＝(1，－1，)．
设平面EFBD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即即
令x2＝1，则n2＝(1，－1，)．
∴n1＝n2，∴平面AMN∥平面EFBD.
7.如图，在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG与直线PG与BC都垂直．
证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P－xyz.
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．于是＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，则，
∴，可取n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，
即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)，知＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)，∴·＝0，·＝0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG与直线PG与BC都垂直．
8.如图，在空间直角坐标系中，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
证明：A(，，0)，M(，，1)，D(，0,0)，F(，，1)，B(0，，0)，
∴＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，0,1)．
∵·＝(－)×0＋(－)×＋1×1＝0，
∴⊥.同理⊥.
又DF∩BF＝F，DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
解析：(1)证明：以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，
则D(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，
F，
∴＝，＝(0，a,0)，
∴·＝·(0，a,0)＝0，
∴EF⊥DC.
(2)∵G∈平面PAD，设G(x,0，z)，
∴＝.
由(1)，知＝(a,0,0)，＝(0，－a，a)．
由题意，要使GF⊥平面PCB，
只需·＝·(a,0,0)＝a＝0，
·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
∴x＝，z＝0.
∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．
利用转化思想解决线面位置关系探究问题
[典例] 如图，在底面是菱形的四棱锥P?ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
[证明] 以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B，
C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E，
所以＝，＝，＝(0,0，a)，＝，＝.
设点F是棱PC上的点，＝λ＝，其中0<λ<1，则＝＋
＝＋
＝
令＝λ1＋λ2，
得即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即当λ＝时，＝－＋，
即F是PC的中点时，，，共面，又BF?平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
[感悟提高] 本题利用转化思想将探究点是否存在问题转化为了在直角坐标系下的空间向量是否共面问题，再进一步转化为方程组是否有解问题．若有解，则存在此点，且将向量运算结果转化为原几何问题，若无解，则此点不存在．
PAGE5 夹角的计算
授课提示：对应学生用书第24页
一、直线间的夹角
设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2，α为l1与l2的夹角．
二、平面间的夹角
1．定义：如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
2．与平面法向量的关系
设平面π1和π2的法向量分别为n1、n2，θ为两个平面的夹角，θ＝
三、直线与平面的夹角
设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.
[疑难提示]
异面直线夹角与向量夹角的差异
根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．
[想一想]
1．如何用向量求平面间的夹角？
提示：设平面π1和π2的夹角为θ，其法向量分别为n1和n2，则cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
2．如何用向量求直线与平面的夹角？
提示：若直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.则sin
θ＝|cos〈s，n〉|＝.
[练一练]
3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.又两直线夹角的取值范围为，所以l1和l2夹角的余弦值为.
答案：C
4．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cos
θ＝
B．cos
θ＝
C．sin
θ＝
D．sin
θ＝
解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90?
或θ＝90?
－β，故选D.
答案：D
5．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
解析：∵cos〈n，v〉＝＝＝－，∴〈n，v〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
答案：60°
授课提示：对应学生用书第25页
探究一 求异面直线所成的角
[典例1] 如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝，DC＝DD1＝2，DA＝，∠ADC＝，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(，0,0)，D1(0,1，)，
C(0,2,0)，D(0,0,0)
由＝得A1(，1，)．
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
∴异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为.
1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是，所以当〈a，b〉∈时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．
2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．
1．如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．
解析：以O为坐标原点，
OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则O(0,0,0)，
O1(0,1，)，
A(，0,0)，
A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为.
2.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
解析：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
又∵∠PDA＝30°，
∴AP＝AD·tan
30°＝2a·＝a，
AE＝AD·sin
30°＝2a·＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.
∴P，E.
(1)证明：＝，
＝，
∴·＝0＋a2－a2＝0.
∴⊥，∴BE⊥PD.
(2)＝，＝(－a，a,0)．
则cos〈，〉＝＝＝，
即AE与CD的夹角的余弦值为.
探究二 求二面角
[典例2] 如图，在空间直角坐标系中有直四棱柱ABCD?A1B1C1D1，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC，求平面A1BD与平面C1BD夹角的余弦值．
[解析] 解法一 设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)，
∴＝(1,0,2)，＝(1,1,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，
由n⊥，n⊥，得.
令z＝1得n＝(－2,2,1)．
又＝(0,2,2)，
设m＝(x1，y1，z1)为平面C1BD的一个法向量，
由m⊥，m⊥，得.
取z1＝1，则m＝(1，－1,1)．
设m与n的夹角为α，则平面A1BD与平面C1BD的夹角为π－α，
∴cos
α＝＝＝－，
∴cos(π－α)＝－cos
α＝.
即所求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值为.
解法二 设DA＝a，由题意知：
D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，C1(0,2a,2a)，
A1(a,0,2a)，D1(0,0,2a)，
取DB的中点F，DC1的中点M，连接A1F，FM，
由题意得F(，，0)，
M(0，a，a)，
∴＝(，－，2a)，＝(－，，a)，＝(a，a,0).·＝(，－，2a)·(a，a,0)＝0，
·＝(－，，a)·(a，a,0)＝0，
∴FA1⊥DB，FM⊥D
B.
∴∠A1FM即为所求平面A1BD与平面C1BD的夹角．
∴cos∠A1FM＝
＝
＝＝.
即所求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值为.
1．两平面夹角的向量求法
(1)若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角．如图①.
(2)设n1、n2分别是平面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小．如图②.
2．求两个平面夹角的几何法的一般步骤
(1)找出或作出平面角；
(2)证明它符合定义；
(3)通过解三角形计算．
3．与两个平面夹角有关的问题中作平面角的常用方法
(1)根据定义找出两个平面夹角的平面角；
(2)根据三垂线定理或其逆定理作出两个平面的平面角；
(3)作两个平面公共棱的垂面，则垂面和两个平面的交线所成的角即是两个平面的平面角；
(4)利用投影面积公式cos
α＝求两个平面夹角的大小．
3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝CD＝，点E为线段AD上一点．现将△DCE沿线段EC翻折到△PCE(点D与点P重合)位置，连接PA，PB，使得平面PAC⊥平面ABCE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)如图，设AC，BD交于点O.
∵AB＝AD＝4，BC＝CD＝，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC＝∠BAC.
∴AC⊥BD.
又平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE＝AC，
∴BD⊥平面PAC.
(2)以点O为坐标原点，直线OA，OB分别为x轴、y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可设点P(x,0，z)．
∴A(2，0,0)，B(0,2,0)，C(－，0,0)，E(，－1，0)，＝(－2，2,0)．
又PE＝2，PC＝，
∴，∴，
∴P，则＝.
设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，
由，得，故可取n＝(1，，)．
易得平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，
设二面角P－AB－C的大小为θ，
由图知二面角P－AB－C为锐角，
∴cos
θ＝＝.
探究三 求直线与平面所成的角
—
4.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角．
解析：解法一 连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD的夹角．
设正方体的边长为1，那么在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，
∴sin∠BA1O＝＝，∴∠BA1O＝30°.
即A1B与平面A1B1CD的夹角是30°.
解法二 如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则有D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，
∴＝(0,1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(0,1,0)．
设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由??.
令x＝1，则有y＝0，z＝－1，可得n＝(1,0，－1)．
设A1B与平面A1B1CD的夹角是θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝||＝，
所以A1B与平面A1B1CD的夹角是30°.
5．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．
解析：解法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)，取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连接AM、MC1，有
＝(－a,0,0)，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．
∵·＝0，·＝0，∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1的夹角．
∵＝(－a，，a)，＝(0，，a)，
∴·＝0＋＋2a2＝.
而||＝＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝.
∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
解法二 (接解法一)＝(0,0，a)．
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)．
∴n·＝0且n·＝0.∴ay＝0，且az＝0.
∴y＝z＝0，故n＝(λ，0,0)．
∵＝(－a，，a)，
∴cos〈，n〉＝＝＝－.
设AC1与侧面ABB1A1的夹角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
6.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．
(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；
(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．
解析：(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.
∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.
如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，
∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)．
∴cos〈，〉＝＝－，∴异面直线AB与CE所成角的大小为.
(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，
∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)．
设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，
则由，可得，
令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)．
设直线CD与平面ODM所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.
利用向量法求空间角
[典例] (本题满分12分)如图，直棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D?A1C?E的正弦值．
[规范解答] (1)证明：连接AC1，交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点．因为D为AB的中点，所以DF∥BC1.又因为FD?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.4分
(2)由AA1＝AC＝CB＝AB，
可设AB＝2a，
则AA1＝AC＝CB＝a，所以AC⊥BC.①
又因为ABC?A1B1C1为直三棱柱，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系.6分
则C(0,0,0)，A1(a,0，a)，D，E，②
＝(a,0，a)，＝，＝.8分
设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，可解得y＝－x＝z，令x＝1，得平面A1CD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，同理可得平面A1CE的一个法向量为m＝(2,1，－2)，10分
则cos〈n，m〉＝，所以sin〈n，m〉＝，③
所以二面角D?A1C?E的正弦值为.12分
[规范与警示] (1)本题的易错点
①处不经过论证直接建系，导致AC⊥BC缺少理论根据．
②处求点的坐标时不能正确运用中点坐标公式或计算出错．
③处不能正确的将向量角转化为二面角．
(2)此类问题：一要严格论证建系条件，二要正确计算写出点的坐标，三应注意向量夹角与空间角的关系，三角函数的转化及运算．
PAGE6 距离的计算
授课提示：对应学生用书第27页
一、点到直线的距离
1．定义：点A是直线l外一定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度．
2．求法
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，则点A到直线l的距离d＝，其中s0＝.
二、点到平面的距离
1．定义：
A是平面π外一定点，作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．
2．求法
设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点，则点A到平面π的距离d＝|·n0|，其中n0＝.
3．求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
由于＝n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|.
[疑难提示]
如图，点到平面的距离的求法
BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．
若AB是平面α的任意一条斜线段，
则在Rt△BOA中，
|B|＝|B|cos∠ABO＝|B|·＝.
如果令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为|B|＝.
因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量．
[想一想]
1．如何求线面距，面面距？
提示：如果l∥α，求l到α的距离可以转化为求直线l上一点P到平面α的距离，即由点到平面的距离来求；如果α∥β，求α与β之间的距离可以转化为求平面α上任意一点P到平面β的距离，即由点到平面的距离来求．
[练一练]
2．以下说法错误的是( )
A．两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离
B．点P到平面α的距离公式是d＝，其中A为平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量
C．点P到直线l的距离公式是d＝，其中A为直线l上任意一点，a为与直线l垂直的向量
D．异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则||的最小值就是l1与l2的距离
解析：选项C中，只有当a与直线l及共面时，此公式才成立．
答案：C
授课提示：对应学生用书第27页
探究一 求点到直线的距离
[典例1] 棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．
＝(1，－2,1)，＝(－1,0,2)，
在上的投影为·＝，
∴点A到直线EF的距离为
d＝
＝.
求点到直线的距离的方法
(1)几何法：①找到P在直线l上的投影P′.
②在某一个三角形中求线段PP′的长度．
(2)向量法：①在直线l上任取一点P.
②求直线l的方向向量s0.
③d＝，其中s0＝.
1．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1)＝.又＝(1,0,0)，∴在上的投影为＝，∴点P到AB的距离为＝.
答案：A
2.如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD?A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．
解析：因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．
＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3，4)．
＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．
所以在上的投影为
·＝(0，－3,0)·
＝(0，－3,0)·(，，)
＝0×＋(－3)×＋0×＝，
所以点B到直线A′C的距离为
d＝＝＝.
探究二 求点到平面的距离
[典例2] 如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求异面直线AB与MD夹角的大小；
(2)求点B到平面OCD的距离．
[解析] 作AP⊥CD于点P.如图，以A为坐标原点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，D(－，，0)，
O(0,0,2)，M(0,0,1)
(1)设AB和MD的夹角为θ，
∵＝(1,0,0)，
＝(－，，－1)，
∴cos
θ＝＝.
∴θ＝.
∴异面直线AB与MD的夹角的大小为.
(2)∵＝(0，，－2)，＝(－，，－2)，
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，得.
取z＝，解得n＝(0,4，)，
设点B到平面OCD的距离为d.
∵＝(1,0，－2)，
∴d＝＝，
∴点B到平面OCD的距离为.
用向量法求平面π外一点A到平面的距离的步骤：
(1)计算平面π的法向量n及n0；
(2)在平面π上找一点P，计算；
(3)由公式计算d＝|·n0|.
利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，
E，F，
＝，＝，＝，
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则，所以.
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)为平面PEF的一个法向量，
所以点D到平面PEF的距离为＝＝.
(2)由(1)，知A(1,0,0)，所以＝.
点A到平面PEF的距离为＝＝.
因为AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.
4.如图，已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0，0,2)，D(－1,4,0)，
∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴∴
∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．
∴A到平面SND的距离为＝＝.
探究三 空间距离的向量解法
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5．如图，已知二面角α?AB?β的平面角为120°，AC在α内，BD在β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则CD的长是( )
A．a
B．2a
C．3a
D．4a
解析：因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝a2＋a2＋a2＋2a2cos
60°＝4a2，
所以||＝2a，即CD＝2a.
答案：B
6．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．
解析：如图，取CD的中点O，连接OB，OM.
因为△BCD与△MCD均为正三角形，
所以OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面MCD⊥平面BCD，
所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则C(1,0,0)，M(0,0，)，
B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)，＝(0，，)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，即，
取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，所以点A到平面MBC的距离为＝.
7．在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是C1C的中点．求A1B1与平面ABE的距离．
解析：如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)，
过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．
∵＝(0,0,2)，
∴A1B1到平面ABE的距离为d＝＝＝.
转化思想在空间距离问题中的应用
[典例] 在边长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离．
[解析] 如图以D为原点建立空间直角坐标系，取BD中点G，连接GE，易知＝，＝.
所以平面AMN∥平面EFDB，
N(，0,1)，A(1,0,0)，M(1，，1)，则＝(，，0)，＝(0，，1)，
设平面AMN的法向量为n＝(x，y,1)，
所以即所以
所以n＝(2，－2,1)，n0＝(，－，)，＝(0,1,0)．所以平面AMN与平面EFDB的距离d＝|·n0|＝.
[感悟提高] 转化思想是解决数学问题的基本思想，它将新的问题转化为已知问题；将抽象的问题转化为直观问题；将复杂问题转化为一个或几个简单问题，最终将不易解决的问题转化为易于解决的问题．
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