§1 椭 圆
1．1 椭圆及其标准方程
授课提示：对应学生用书第12页
一、椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
二、椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c的关系
a2＝b2＋c2
[疑难提示]
求椭圆标准方程时应注意的问题
(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．
“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法．
(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为＋＝1(m>0，n>0且m≠n)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，这种形式在解题中较为方便．
[练一练]
1．已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法：
①当a＝2时，点P的轨迹不存在；
②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；
③当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；
④当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆．
其中正确的说法是__________(填序号)．
解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，①正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，②错误；③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，④错误．
答案：①③
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
解析：由10－k>k－5>0，得5答案：(5，)
授课提示：对应学生用书第12页
探究一 椭圆的定义
[典例1] 点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝4，点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程．
[解析] ＋＝4.
即为＋＝4，设F1(0，1)，F2(0，－1)，则上式即为|MF1|＋|MF2|＝4，即动点M到两定点F1，F2的距离之和为定值2a＝4，且2a>|F1F2|＝2.∴点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)和F2(0，－1)．
∴2c＝2，c＝1,2a＝4，a＝2.
∴点M的轨迹方程为＋＝1.
到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆．特别注意焦点的位置及a，b，c的关系．
1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋y2＝1
解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上，且2a＝4，c＝1，故a＝2，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：B
2．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程．
解析：解法一 若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意，有解得a2＝4，b2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，同理这与a>b矛盾．
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
解法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将A，B坐标代入得
解得故所求椭圆方程为＋y2＝1.
探究二 椭圆定义的应用
[典例2] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解析] 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos
120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
②代入①解得|PF1|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin
C，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
3．点P在椭圆
＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.
解析：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1.
4．如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△AF1B的周长．
(2)如果直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
解析：(1)由题意知，A，B在椭圆＋＝1上，
故有|AF2|＋|AF1|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝AB，
∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.
∴△AF1B的周长为20.
(2)如果直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a与直线AB是否与x轴垂直无关，所以△AF1B的周长没有变化．
探究三 椭圆的标准方程及其应用
—
5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)a＝5，c＝2；
(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
解析：(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)解法一 ①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知，得?，
即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，得?，
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.
解法二 由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故?，即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
(3)解法一 方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，
则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵点M在椭圆上，
∴2a＝|MF1|＋|MF2|
＝＋
＝(2－)＋(2＋)＝4，
∴a＝2，即a2＝12，
∴b2＝a2－c2＝12－4＝8，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二 由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆的方程为＋＝1(λ>0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
6．如图，已知定点A(－2,0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．
解析：连接PA(图略)，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2,0)，半径R＝8.
∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，∴|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4.
由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．
依题意，有2a＝8，c＝2，∴b2＝12，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆标准方程．
解析：由9x2＋5y2＝45，得＋＝1，
其焦点为F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵点M(2，)在椭圆上，∴＋＝1.①
又a2－b2＝4，②
由②得a2＝b2＋4，代入①得b4－6b2－16＝0，
可解得b2＝8或b2＝－2(舍去)，所以a2＝12.
故所求椭圆方程为＋＝1.
求解椭圆问题的四种常见错误
[典例] (1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
(2)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．
(3)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m为________．
[解析] (1)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
所以动点M的轨迹是线段F1F2.
(2)由题意可知
所以k∈(5,6)∪(6,7)．
(3)因为2c＝6，所以c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，所以m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.综上，实数m的值为4或.
[答案] (1)D (2)(5,6)∪(6,7) (3)4或
[错因与防范] 在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误：
(1)忽略椭圆定义中的条件2a>|F1F2|；
(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a>0，b>0，a≠b)；
(3)主观认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况；
(4)忽略对方程加限制条件．
PAGE1．2 椭圆的简单性质
授课提示：对应学生用书第14页
一、椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|y|≤a，|x|≤b
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c
对称性
对称轴坐标轴，对称中心原点
离心率
e＝
二、当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．
[疑难提示]
椭圆方程中a，b，c的意义
结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c恰好可以构成以a为斜边的直角三角形，如图所示．
[想一想]
1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以．由于e＝，又c＝，故e＝＝＝
.
[练一练]
2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：由b＝c得c2＝b2＝a2－c2，∴a2＝2c2即＝，∴e＝＝.
答案：B
3．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为______，离心率为________．
答案：18 6 (0，±6) (±3,0)和(0，±9)
授课提示：对应学生用书第15页
探究一 由椭圆方程得椭圆的几何性质
[典例1] 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率．
(1)＋＝1；
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m>0)．
[解析] (1)椭圆的方程＋＝1可转化为＋＝1.
∵16>，∴焦点在y轴上，
并且长半轴长a＝4，短半轴长b＝，
半焦距c＝＝
＝，
∴长轴长2a＝2×4＝8，短轴长2b＝2×＝5，
焦点坐标为(0，－)，(0，)，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－4)，(0,4)，
e＝＝.
(2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，可化为＋＝1.
∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上，
并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)，e＝＝.
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
2．已知椭圆mx2＋(m＋9)y2＝25m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解析：椭圆的方程可化为＋＝1.
∵25－＝>0，∴25>，
即a2＝25，b2＝，c2＝a2－b2＝，
由e＝，得＝，∴m＝16.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.
∴椭圆的长轴长为10，短轴长为8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．
探究二 利用几何性质求标准方程
[典例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝；
(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)；
(3)过点(3,0)，离心率e＝.
[解析] (1)由a＝2，e＝，可得a2＝4，且＝，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.
因此所求的标准方程为＋＝1.
(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，
所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，
所以＝，所以a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．
3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由椭圆的定义可知2a＋2a＝12，即a＝3.由e＝＝，解得b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：D
4．求符合下列条件的椭圆标准方程：
(1)焦距为8，离心率为；
(2)焦点与较接近的长轴端点的距离为－，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；
(3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．
解析：(1)由题意，因为2c＝8，所以c＝4；
又因为＝，所以a＝5，所以b2＝9，
焦点在x轴上时，椭圆标准方程为＋＝1；
焦点在y轴上时，椭圆标准方程为＋＝1.
(2)由题意，a－c＝－，b＝c，a2＝b2＋c2，
所以解得a2＝10，b2＝5，
焦点在x轴上时，椭圆标准方程为＋＝1；
焦点在y轴上时，椭圆标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知a＝2b.①
又过点(2，－6)，因此有
＋＝1或＋＝1.②
由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
探究三 椭圆的离心率
—
5．椭圆＋＝1的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由方程知a＝3，b＝2，∴c＝＝，∴e＝＝.
答案：A
6．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设椭圆的焦距为2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，∴e＝.故选A.
答案：A
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
答案：2－5
7．F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．
解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，
|F1Q|＝m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.
∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a，
即m＋m＋m＝4a，(＋2)m＝4a.
∴m＝(4－2)a.
又|PF2|＝2a－m＝(2－2)a.
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.
即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2.
∴＝9－6＝3(－1)2，
∴e＝＝(－1)＝－.
8．如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．
解析：由余弦定理得cos
60°
＝
＝＝，
解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
即|PF1|·|PF2|＝，
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝a2，
∴3a2≥4(a2－c2)，解得≥，又∵0∴所求椭圆离心率e的取值范围为[，1)．
因忽略讨论椭圆焦点位置致误
[典例] 若椭圆＋＝1的离心率为，则k＝________.
[解析] 当焦点在x轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，
所以c2＝k，因为e＝，
所以＝，即＝，所以k＝.
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，
所以c2＝－k.由e＝，所以＝，所以＝.
所以k＝－1.
综上可知，k＝或k＝－1.
[答案] 或－1
[错因与防范] 本例易主观认为焦点在x轴上，漏掉另一个解－1，从而导致答案不全面．对椭圆方程＋＝1，当分母含参数时，一要注意隐含条件分母m>0，n>0，m≠n，二要注意讨论焦点位置(即分母大小).
PAGE§2 抛物线
2．1 抛物线及其标准方程
授课提示：对应学生用书第16页
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．
二、抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
(－，0)
x＝
x2＝2py(p>0)
(0，)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
(0，－)
y＝
[疑难提示]
抛物线定义的理解
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．
[想一想]
1．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？
提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定．
[练一练]
2．若－|x－y＋3|＝0，则动点M(x，y)的轨迹是( )
A．一条线段
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
解析：由已知得＝，这表明点M(x，y)到定点F(－3,1)的距离与到定直线l：x－y＋3＝0的距离相等．又F?l，所以由抛物线的定义，知动点M(x，y)的轨迹是抛物线．
答案：D
3．抛物线y2＝4x的准线方程是________，焦点坐标是________．
解析：由y2＝4x知＝1，所以准线方程为x＝－1，焦点坐标为(1,0)．
答案：x＝－1 (1,0)
授课提示：对应学生用书第17页
探究一 由抛物线求焦点和准线
[典例1] 求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．
[解析] 将y＝2ax2化为标准方程得x2＝y.
∴焦点为(0，)，准线方程为y＝－，
顶点坐标为(0,0)，当a>0时，开口向上，p＝；
当a<0时，开口向下，p＝－.
一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F(，0)，准线方程均为x＝－；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F(0，)，准线方程为y＝－，而p(指焦点到准线的距离)总是正数．
1．已知抛物线标准方程，分别求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝8x；
(2)2x2－5y＝0.
解析：(1)因为p＝4，所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.
(2)2x2－5y＝0化为x2＝y，抛物线开口向上，
∴p＝.
∴抛物线焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
2．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．
(1)y＝x2；
(2)x＝ay2(a≠0)．
解析：(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，
∴2p＝.
①当a>0时，＝，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－；
②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．
探究二 求抛物线的标准方程
[典例2] 根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上；
(4)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
[解析] (1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝.所以所求抛物线方程为x2＝－y.
(2)设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8)的坐标代入y2＝2px，得p＝8，将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y.当焦点坐标为(4,0)时，由＝4，得p＝8，
所以所求抛物线方程为y2＝16x.
综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
所以所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
1．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
2．求抛物线标准方程的方法
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．
3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝－8y
B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
解析：∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，
∴p1＝，∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，∴p2＝4，∴抛物线的方程为x2＝－8y.
答案：A
4．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；
(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点p(m,1)到焦点F的距离为6；
(3)焦点在直线x－3y－15＝0上．
解析：(1)由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
因为焦点到准线的距离为6，所以p＝6，
故抛物线的标准方程为y2＝－12x.
(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)．
因为点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，
所以1－＝6，解得p＝10，
所以抛物线的标准方程为x2＝20y.
(3)因为抛物线的焦点在直线x－3y－15＝0上，
所以易知抛物线的焦点坐标为(15,0)或(0，－5)，
所以抛物线开口向右或向下．
若抛物线开口向右，则可设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p>0)，
于是根据焦点坐标为(15,0)，得＝15，解得p1＝30，
所以抛物线的标准方程是y2＝60x；
若抛物线开口向下，则可设抛物线的标准方程为x2＝－2p2y(p2>0)，于是根据焦点坐标为(0，－5)，得－＝－5，解得p2＝10，
所以抛物线的标准方程是x2＝－20y.
综上可知，所求抛物线的标准方程是y2＝60x或x2＝－20y.
探究三 抛物线的实际应用
[典例3] 一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[解析] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，
由点B在抛物线上，
得()2＝－2p(－)，
p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
由点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.
解得a>12.21或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，∴a的最小值为13.
5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
探究四 抛物线定义的应用
—
6．若抛物线的焦点为(2,2)，准线方程为x＋y－1＝0.求此抛物线方程．
解析：设P(x，y)是抛物线上任一点，由抛物线的定义可知：＝，两边平方整理可得，此抛物线方程为x2－2xy＋y2－6x－6y＋15＝0.
7．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
解析：解法一 设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，
由条件知|AP|＝r＋1，
即＝|x－1|＋1，
化简，整理得y2＝－8x.
所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.
解法二 如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K.
PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，
则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1.
又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，
故点P到圆心A(－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，
所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．所以＝2，所以p＝4.
所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.
8．某地地震发生后，由于公路破坏严重，救灾物资需水运到合适地点再转运到受灾严重的A，B两地，如图所示，需要在河岸PQ上某点M处抢修一码头和到A，B两地的公路，经测算，A地在损毁的公路l正东方向2
km处(方位：上北下南)，B地在A地北偏东60°方向2
km处，河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等．已知修建公路的费用均为每千米2万元，修建码头的费用是10万元，则抢修费用最低为多少万元？
解析：因为河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等，所以河流沿岸所在曲线为抛物线．于是，可建立如图所示的平面直角坐标系．从而，依题意可得点A(1,0)，直线l：x＝－1，点B(4，)．
过点B，M分别作BE⊥l，MF⊥l，垂足分别为E，F，
则由抛物线的定义，得|MA|＋|MB|＝|MF|＋|MB|≥|BE|，当且仅当E，M，B三点共线(M在线段BE上)时取等号．
又|BE|＝4－(－1)＝5，所以(|MA|＋|MB|)min＝5.
故总抢修费用最低为2×5＋10＝20(万元)．
9．设P是曲线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．
解析：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为＝.
(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，
此时，|P1Q|＝|P1F|，
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
因忽略抛物线定义中的限制条件致误
[典例] 若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是________．(填椭圆、抛物线或直线)．
[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，则由题意可得＝，整理得x－3y＋2＝0.即P点的轨迹是直线x－3y＋2＝0.
[答案] 直线
[错因与防范] 本例易忽略抛物线定义中的限制条件(定义不在定直线上)而错填为抛物线．要注意定义中的限制条件，不能忽略．
PAGE2．2 抛物线的简单性质
授课提示：对应学生用书第19页
一、四种标准形式的抛物线几何性质的比较
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图像
性质
焦点
(，0)
(－，0)
(0，)
(0，－)
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
二、抛物线的通径
过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段叫作抛物线的通径，抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为2p.
[疑难提示]
抛物线的开口大小与参数p的关系
参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，由方程y2＝2px(p>0)知，对于同一个x值，p越大，|y|的值也越大，或者说抛物线开口也越大．所以可以说一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大．
[想一想]
1．抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？
提示：有一条对称轴；不是中心对称图形．
[练一练]
2．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点，则( )
A．通径AB的长为8，△AOB的面积为4
B．通径AB的长为8，△AOB的面积为2
C．通径AB的长为4，△AOB的面积为4
D．通径AB的长为4，△AOB的面积为2
解析：由抛物线x2＝－4y知通径长为4，△AOB的面积为×2p×＝×4×1＝2.
答案：D
3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有1个公共点，则这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：点(2,4)在抛物线y2＝8x上，故过点(2,4)且与抛物线只有1个交点的直线有2条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．
答案：B
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P点的横坐标为________，p的值为________．
答案：9或1 2或18
授课提示：对应学生用书第20页
探究一 抛物线的几何性质及应用
[典例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．
[解析] ∵椭圆＋＝1的短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6，
∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.
1．用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)定位置；(2)设方程；(3)寻关系；(4)得方程．
2．注意只有抛物线的标准方程中p才有几何意义，即焦点到准线的距离．
1．(1)已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．0
(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)最近的点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞]
B．(0,1]
C．(－∞，1]
D．(－∞，0]
解析：(1)z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2，
因为x≥0.
所以x＝0时，z有最小值，zmin＝3.
(2)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝d2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2
＝y2－(2a－2)y＋a2
＝[y－(a－1)]2＋(2a－1)．
因为y∈[0，＋∞)，根据题意知，
①当a－1≤0，即a≤1时，y＝0时，d＝a2.
这时dmin＝|a|.
②当a－1>0，即a>1时，
y＝a－1时d2取到最小值，不符合题意．
综上可知a≤1.
答案：(1)B (2)C
2．已知抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点O，经过点M(2，y0)，且点M到该抛物线焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求|OM|的值．
解析：(1)由题意设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－.
∵点M在抛物线上，∴点M到焦点的距离等于其到准线的距离，即|MF|＝2＋＝3，
∴＝2＋＝3.
解得p＝2，y0＝±2，
∴抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)知点M(2，±2)，根据两点间的距离公式有|OM|＝＝2.
探究二 直线与抛物线相交问题
[典例2] 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点．求△ABN面积的最小值．
[解析] 解法一 由题意知，点N的坐标为(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得消去y，得x2－2pkx－2p2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝p＝p＝2p2.所以当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.
解法二 同解法一，再由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝2p·.
又由点到直线的距离公式，得d＝(d为点N到直线AB的距离)，从而S△ABN＝·|AB|·d＝·2p··＝2p2.所以当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点．
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
3．(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
(2)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )
A．36
B．48
C．56
D．64
解析：(1)Q点坐标为(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
代入y2＝8x得y＝k(＋2)，即ky2－8y＋16k＝0，
当k＝0时，y＝0，x＝0，公共点为(0,0)，符合题意；当k≠0时，Δ＝(－8)2－64k2≥0，所以k∈[－1,1]，故选C.
(2)由得：x2－10x＋9＝0，x1＝1，x2＝9，
所以A(1，－2)，B(9,6)，|AP|＝1＋1＝2，|BQ|＝9＋1＝10，
|PQ|＝6－(－2)＝8.故S梯形APQB＝(|AP|＋|BQ|)·|PQ|＝48.
答案：(1)C (2)B
4．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan
60°＝，又F，所以直线l的方程为y＝.
联立，消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由抛物线的定义，知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x3＋＋x4＋＝x3＋x4＋p＝x3＋x4＋3＝9，∴x3＋x4＝6，∴线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
∴点M到准线的距离为3＋＝.
探究三 抛物线中的定点、定值(最值)、焦点弦问题
—
5．等腰直角△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( )
A．8p2
B．4p2
C．2p2
D．p2
解析：设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由
得A(2p,2p)，则B(2p，－2p)，
所以AB＝4p.
所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.
答案：B
6．求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值．
解析：解法一 设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，
则由，消去y，有3x2－4x－m＝0，
令Δ＝0，得m＝－.
∴两直线间的距离d＝＝.
∴抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
解法二 设(x0，－x)是抛物线y＝－x2上任一点，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离是d＝＝＝.
∴当x0＝时，d有最小值.
∴抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
7．斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线y2＝2px(p＞0)中，|AB|＝p＋(x1＋x2)．由于抛物线y2＝4x中，p＝2，于是|AB|＝x1＋x2＋2.因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，且直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为y＝x－1①. 将①代入方程y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，由根与系数的关系知，x1＋x2＝6.
于是|AB|＝x1＋x2＋2＝8.所以，线段AB的长是8.
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：x＝2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E、F两点，证明：|DE|·|DF|恒为定值．
解析：(1)由已知，得，解得a＝2，b＝.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知A1(－2,0)，A2(2,0)．
设P(x0，y0)，依题意－2于是直线A1P的方程为y＝(x＋2)，
令x＝2，则y＝.
即|DE|＝(2＋2).
又直线A2P的方程为y＝(x－2)，
令x＝2，则y＝，
即|DF|＝(2－2).
所以|DE|·|DF|＝(2＋2)·(2－2)＝＝. (
)
又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x＋4y＝12，即4y＝12－3x，代入(
)式，得|DE|·|DF|＝＝3，
所以|DE|·|DF|为定值3.
9.如图所示，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)证明：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
解析：(1)证明：设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x.
由解得或
∴A点的坐标为(，)．
同理由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
∴AB所在直线的方程为x－2k2＝(y＋2k)，
化简并整理，得(－k)y＝x－2.
不论k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有
y＝0.
故直线AB必过定点P(2,0)．
(2)由于AB所在直线必过定点P(2,0)．
∴可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.
由消去x并整理得y2－2my－4＝0.
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.
分类讨论思想在直线与抛物线位置关系中的应用
[典例] 若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C；y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解析] 因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，
所以方程组只有一组实数解．
消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，
方程①是关于x的一元一次方程，
解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，
方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，
解得a＝0或a＝－.
当a＝0时，原方程组有唯一解
当a＝－时，原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是{－1，－，0}．
[感悟提高] 用代数方法研究直线与抛物线的位置关系，若方程组消元后所得方程平方项系数含有字母参数，则需用分类讨论思想讨论平方项系数是否为零.
PAGE§3 双曲线
3．1 双曲线及其标准方程
授课提示：对应学生用书第22页
一、双曲线的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线；这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
二、双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c关系
c2＝a2＋b2
[疑难提示]
双曲线定义的理解
(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了．
(2)双曲线的定义中要注意两点：
①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|.
这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|－|PF2|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|－|PF1|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”．
[想一想]
1．双曲线中的a，b，c的关系与椭圆中的关系一样吗？
提示：不一样，双曲线中为c2＝a2＋b2，椭圆中为c2＝a2－b2.
[练一练]
2．动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
解析：由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2<4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．
答案：C
3．已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是________．
解析：由2c＝26，∴c＝13.又＝，∴a2＝25.∴b2＝c2－a2＝132－25＝144.∴所求方程为－＝1或－＝1.
答案：－＝1或－＝1
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 求双曲线的标准方程
[典例1] 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(3，)，Q(－，5)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
[解析] (1)解法一 若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，
所以
解得(舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P、Q两点坐标代入可得
解之得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二 设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)解法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
解法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
1．若已知a，b的值，直接将其代入双曲线方程即可；若已知a，c或b，c的值，利用a2＋b2＝c2求出b2或a2，再代入双曲线的方程．
2．若已知a，b，c中的一个量及双曲线上一个点的坐标，则设出双曲线的标准方程，由a2＋b2＝c2得到a2，b2的一个关系式，再将点的坐标代入双曲线方程，得到a2，b2的第二个关系式，联立可解．
上述两种情况中，若根据已知条件不能确定焦点所在的轴，需注意双曲线的方程可能有两种形式．
3．若已知双曲线上两点的坐标，不确定焦点所在的轴，需分别设出双曲线的两种方程，将两点的坐标代入，分别求a2，b2的值．为避免烦琐，也可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，待定出A，B的值．
1．已知双曲线过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
解析：解法一 若焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
∴解得
若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
同理有解得(舍去)
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二 设所求双曲线的方程为
mx2＋ny2＝1(mn<0)．
将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上；
(2)a＝4，经过点A(1，)．
解析：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为a＝4，c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则将a＝4代入得－＝1.
因为点A(1，)在此双曲线上，
所以－＝1，
由此得b2<0，应舍去．
若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，同理解得b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.
探究二 双曲线标准方程的应用
[典例2] 求适合下列条件的参数的值或范围．
(1)已知－＝－1，当k为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x轴上的双曲线；③表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值．
(3)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点．
[解析] (1)①若方程表示双曲线，则需满足或解得k<－3或1②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k<－3.
(2)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，
∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
∴－k＋(－)＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
(3)由双曲线方程可知焦点在x轴上，且c＝(a>0)．
由椭圆方程可知c＝，∴a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0.
解得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴a的值为1.
解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．
3．(1)设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin
θ>0，－cos
θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B.
答案：B
(2)设双曲线x2－＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于( )
A．10
B．8
C．8
D．16
答案：C
4．已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
解析：(1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，曲线C为椭圆；
当|t|<1且t≠0时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1.
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
当|t|<1且t≠0时，双曲线C的方程为－＝1，
∵c2＝a2＋b2＝t2＋(1－t2)＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
探究三 双曲线的定义及应用
—
5．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：在△
ABP中，由正弦定理，得＝＝＝＝.
答案：A
6．若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解析：由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，F1为左焦点，F2为右焦点，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4.所以c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，
由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0.
所以∠F1PF2＝90°.
7．已知△ABC外接圆的半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上，且y轴垂直平分边BC，求过点A且以B，C为焦点的双曲线的标准方程．
解析：因为sin∠BAC＝＝，所以cos∠BAC＝，AC＝2Rsin∠ABC＝2××＝14，
sin∠ACB＝sin(60°－∠BAC)＝sin
60°cos∠BAC－cos
60°·sin∠BAC＝×－×＝，
所以AB＝2Rsin∠ACB＝2××＝6，
所以2a＝|AC－AB|＝14－6＝8，所以a＝4.
又c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
忽略双曲线定义中的限制条件致误
[典例] 方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．
[解析] 依题意有或
解得－33.
所以m的取值范围是{m|－33}．
[答案] {m|－33}
[错因与防范] (1)本例易误认为焦点在x轴上而忽略焦点在y轴上的情况；
(2)对于＋＝1，当m，n>0且m≠n时表示椭圆，当mn<0时，表示双曲线．
PAGE3．2 双曲线的简单性质
授课提示：对应学生用书第24页
双曲线的几何性质
类型
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，c)，(0，－c)
焦距
2c
范围
x∈(－∞，－a]
∪[a，＋∞)
y∈(－∞，－a]
∪[a，＋∞)
对称性
关于x轴，y轴，原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，a)，(0，－a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝>1
渐近线
y＝±x
y＝±x
[疑难提示]
双曲线的渐近线与双曲线的方程之间的关系
(1)双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
(2)双曲线确定时，渐近线唯一确定，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．
(3)若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．
①分两种情况设出方程进行讨论．
②依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．
[想一想]
1．双曲线的离心率对双曲线有何影响？
提示：e＝，e>1，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大．
(1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．∵＝
＝，
∴e越大，越大，∴双曲线开口越大．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e＝.
[练一练]
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4.
答案：C
3．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
解析：－＝1(b>0)的渐近线为y＝±bx，由题意知b＝，∴b＝1.
答案：1
授课提示：对应学生用书第25页
探究一 由双曲线方程研究其几何性质
[典例1] 求双曲线9y2－16x2＝144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程、离心率．
[解析] 双曲线方程可化为－＝1.
因为a＝4，b＝3，c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5.
所以实轴长2a＝8；虚轴长2b＝6；焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；渐近线方程为y＝±x；离心率e＝＝.
根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．
双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置(x轴、y轴)有关．
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的虚轴长为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，故b2＝c2－a2＝9，所以虚轴长为2b＝6.
答案：B
2．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
解析：将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，即－＝1.∴a＝1，b＝2，c＝.
因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－，0)，F2(，0)；实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；离心率e＝＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±2x，草图如图所示．
探究二 由双曲线的几何性质求标准方程
[典例2] 根据以下条件，求双曲线的标准方程：
(1)过P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝；
(3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2；
(4)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．
[解析] (1)若双曲线的焦点在x轴上，
设为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2，即a2＝b2.①
又过点P(3，－)，有－＝1，②
由①②得a2＝b2＝4，
∴双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设为－＝1(a>0，b>0)．
同理有a2＝b2③
－＝1④
由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，
半焦距c1＝＝，
所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设条件及双曲线的性质，有，解得.
即双曲线方程为－y2＝1.
(3)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)．
化简，得4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
即3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
故所求双曲线的方程为－＝1.
(4)∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
∴设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
将点(－3,2)代入得λ＝，
∴双曲线方程为－＝，即－＝1.
1．已知双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．
2．若已知双曲线的渐近线方程为±＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．
3．与双曲线－x2＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：设与双曲线－x2＝1有共同的渐近线的双曲线方程为－x2＝λ≠0，∵双曲线过点(2,2)，∴－4＝λ，∴λ＝－3，
∴所求双曲线的方程为－x2＝－3，即－＝1，故选B.
答案：B
4．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(，2)，求双曲线方程；
(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程．
解析：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意可得?
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
－＝1，解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
探究三 直线和双曲线的位置关系
[典例3] 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论双曲线与直线公共点的个数．
[解析] 联立方程组消去y，得
(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，方程(
)化为2x＝5，
方程组有一解．故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时；
①由Δ＝4(4－3k2)>0，得－)有两解，方程组有两解．故直线与双曲线有两个公共点．
②由Δ＝4(4－3k2)＝0，得k＝±，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切．
③由Δ＝4(4－3k2)<0，得k<－或k>，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点；
综上所述，当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有一个公共点；当－时，直线与双曲线无公共点．
把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知量，如消去y，得到一个方程ax2＋bx＋c＝0，则
(1)a≠0时，方程为一元二次方程．
①Δ>0，则直线与圆锥曲线相交，有两个公共点；
②Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切，有且只有一个公共点；
③Δ<0，则直线与圆锥曲线相离，没有公共点．
(2)a＝0，b≠0时，直线与圆锥曲线有一个公共点，对抛物线来说，此时直线与对称轴平行或重合；对双曲线来说，此时直线与渐近线平行．
5．直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
解析：由(x≤－1)，消去y，
得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0，①
∵直线m与双曲线的左支有两个交点，∴方程①有两个不相等的负实数根．
∴，∴1设M(x0，y0)，则，
由P(－2,0)，M(，)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b＝.
设φ(k)＝－2k2＋k＋2＝－2(k－)2＋.
∴φ(k)在(1，)上为减函数，φ()<φ(k)<φ(1)且φ(k)≠0.
∴－(2－)<φ(k)<0或0<φ(k)<1，
∴b<－2－或b>2.
即l在y轴上的截距b的取值范围为(－∞，－2－)∪(2，＋∞)．
探究四 与渐近线、离心率有关的问题
—
6．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
解析：由题可知2a＝×2c＝c，则4a2＝c2＝a2＋b2，解得＝3，所以＝，故该双曲线的渐近线方程是y＝±x，选C.
答案：C
7．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求此双曲线的离心率．
解析：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，c＝＝a，
∴e＝＝；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，
c＝＝a，∴e＝＝.
∴此双曲线的离心率为或.
8．已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a1>0，b1>0)．
由题意知，解得，
此时双曲线的标准方程为－＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a2>0，b2>0)，
由题意知，解得，
此时双曲线的标准方程为－＝1.
综上，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
9．已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，求该双曲线的离心率的取值范围．
解析：如图，设双曲线的左焦点为F′，半焦距为c，连接MF′，NF′.由于MF⊥NF，所以四边形F′NFM为矩形，故|MN|＝|FF′|＝2c.
在Rt△NFM中，|FN|＝2ccos
β，|FM|＝2csin
β，由双曲线的定义可得2a＝|NF|－|NF′|＝|NF|－|FM|＝2ccos
β－2csin
β＝2ccos，
∴e＝＝.
∵≤β≤，∴≤β＋≤，
∴≤cos≤，∴≤e≤＋1，
即双曲线的离心率的取值范围是[，＋1]．
忽视双曲线焦点位置致误
[典例] 已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率e为________．
[解析] 当双曲线的焦点在x轴上时，
因为一条渐近线方程为y＝x，所以＝，
所以离心率e＝＝＝＝.
当双曲线的焦点在y轴上时，
因为一条渐近线方程为y＝x，
所以＝，这时＝.
所以离心率e＝＝＝＝.
故双曲线的离心率为或.
[答案] 或
[错因与防范] (1)本例易主观认为焦点在x轴上，忽略考虑焦点在y轴上的情况而漏解．
(2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件，要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论．
PAGE
