2．1 等式
2．1.1 等式的性质与方程的解集
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握等式的性质，并能进行应用．
逻辑推理数学运算
2.理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简．
3.能通过因式分解求方程的解集.
授课提示：对应学生用书第19页
[教材提炼]
知识点一 等式的性质
1．等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式．
2．等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)．
知识点二 恒等式
1．a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(平方差公式)
2．(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(两数差的平方公式)
3．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(两数和的平方公式)
4．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；(立方差公式)
5．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．(立方和公式)
知识点三 方程的解集
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为方程的解集．
[自主检测]
1．一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为( )
A．－2
B．1
C．2
D．0
答案：D
2．分解因式：x2－1＝________.
答案：(x＋1)(x－1)
3．方程x2＋2x＋1＝0的解集为________．
答案：{－1}
4．多项式4a－a3分解因式的结果是________．
答案：a(2－a)(2＋a)
授课提示：对应学生用书第19页
探究一 利用恒等式化简
[例1] (1)分解因式：9－b2＝________；
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝________.
[解析] (1)利用平方差公式分解因式．
(2)利用完全平方公式分解．
[答案] (1)(3＋b)(3－b) (2)(2a－1)2
利用恒等式化简的步骤
(1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式．
(2)提公因式后看多项式的项数．
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解．
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解．
③若多项式有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法．
(3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行．
1．将多项式x－x3因式分解正确的是( )
A．x(x2－1)
B．x(1－x2)
C．x(x＋1)(x－1)
D．x(1＋x)(1－x)
解析：x－x3＝x(1－x2)＝x(1＋x)(1－x)．故选D.
答案：D
2．分解因式：a3b－ab3＝________.
解析：a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)．
答案：ab(a＋b)(a－b)
探究二 十字相乘法
[例2] 分解因式：
(1)x2＋6x－7；
(2)2x2－7x＋6；
(3)x2＋29xy＋100y2.
[解析] (1)法一：x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7
＝(x＋3)2－16
＝(x＋3＋4)(x＋3－4)
＝(x＋7)(x－1)．
法二：x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)．
(2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数．
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)．
(3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)．
1．对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解．
2．对于二次三项式ax2＋bx＋c(a、b、c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
分解因式：－x2＋x＋7.
解析：－x2＋x＋7＝－(x2－4x－21)＝－(x－7)(x＋3)．
探究三 方程的解集
[例3] 求方程6x2－7x－5＝0的解集．
[解析] 因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)，
所以(2x＋1)(3x－5)＝0，
从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，即x＝－或x＝，
因此方程的解集为.
一元二次方程解法的选择
(1)直接开平方法适用情况
①当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；
②形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
(2)因式分解法适用情况
①缺少常数项，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；
②一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积．
(3)配方法适用情况
①二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
②各项的系数比较小且便于配方的情况．
求方程2x2－x－1＝0的解集．
解析：因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
所以(2x＋1)(x－1)＝0，
从而可知2x＋1＝0或x－1＝0，即x＝－或x＝1，
因此方程的解集为.
PAGE2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集．
逻辑推理数学抽象
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用．
3.理解一元二次方程根与系数的关系.
授课提示：对应学生用书第21页
[教材提炼]
知识点一 一元二次方程的有关概念
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
知识点二 一元二次方程的解法
直接开平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程．
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解.
公式法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解．
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n.
知识点三 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
[自主检测]
1．已知一元二次方程x2＋k－3＝0有一个根为1，则k的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
解析：把x＝1代入方程得1＋k－3＝0，
解得k＝2.
故选B.
答案：B
2．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根
C．无实数根
D．不能确定
解析：Δ＝(k＋3)2－4×k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8，
∵(k＋1)2≥0，
∴(k＋1)2＋8＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A.
答案：A
3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．
答案：k≤5且k≠1
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 配方法求方程的解集
[例1] 利用配方法解方程2x2－4x－30＝0.
[解析] ∵2x2－4x－30＝0，
∴2x2－4x＋2＝32，
∴x2－2x＋1＝16，
∴(x－1)2＝42，
∴x1＝5，x2＝－3.
故方程的解集为{－3,5}.
用配方法解一元二次方程的步骤
(1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数；
(2)移项：把常数项移到方程的右边；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式；
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程；
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为( )
A.2＝1
B.2＝1
C.2＝
D.2＝
解析：由y2－y－＝0，得y2－y＝，所以y2－y＋＝1，即2＝1，故选B.
答案：B
探究二 一元二次方程根的判别式及其应用
[例2] 关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
[解析] (1)证明：依题意，得Δ＝[－(k＋3)]2－4(2k＋2)
＝(k－1)2，
∵(k－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)由求根公式，得x＝，
∴x1＝2，x2＝k＋1.
∵方程有一个根小于1，
∴k＋1＜1.
∴k＜0.
即k的取值范围是k＜0.
根的判别式的三个应用
(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况．
(2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或范围)．
(3)证明一个一元二次方程根的情况．
若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
解析：∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4m＞0，
解得：m＜1.故选D.
答案：D
探究三 一元二次方程根与系数的关系
[例3] 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＋＝－1，求k的值．
[解析] (1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－.
(2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，
∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2，
∴＋＝＝＝－1，
解得k1＝3，k2＝－1，又∵k＞－，∴k＝3.
1．利用根与系数的关系的两个前提条件
(1)二次项的系数a≠0.
(2)方程有实数根．
2．根与系数关系的三个应用
(1)已知方程的一根求另一根及未知的一个系数．
(2)求某些固定代数式的值．(如求x＋x，＋…)
(3)与根的判别式综合运用．
1．已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2
B．x1＋x2＞0
C．x1·x2＞0
D．x1＜0，x2＜0
答案：A
2．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为________．
答案：－3
PAGE2．1.3 方程组的解集
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组．
数学运算逻辑推理数学建模
2.掌握二元二次方程组的解法．
3.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
授课提示：对应学生用书第23页
[教材提炼]
知识点 方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．由每个方程的解集得到的交集称为方程组的解集．常用的方法是消元法．
[自主检测]
1．方程组的解是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
2．将方程2x－3y－4＝0变形为用含y的式子表示x的是( )
A．2x＝3y＋4
B．x＝y＋2
C．3y＝2x－4
D．y＝
答案：B
3．解方程组若要使运算简便，消元应选( )
A．先消未知数x
B．先消未知数y
C．先消未知数z
D．先消常数项
答案：B
4．以方程组的解为坐标的点(x，y)在第__________象限．
解析：解方程组得所以x>0，y>0，所以点(x,
y)在第一象限．
答案：一
授课提示：对应学生用书第23页
探究一 解三元一次方程组
[例1] 解方程组
[解析] ①＋②，得5x－z＝14.④
①＋③，得4x＋3z＝15.⑤
解方程组
得把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,8,1)}.
解三元一次方程组，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算．
解方程组
解析：①－②×2，得5y－3z＝8.④
③－②，得3y－3z＝6.⑤
由④、⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(2,1，－1)}．
探究二 解二元二次方程组
[例2] 解方程组
[解析] (1)×3－(2)得：
3x－y＝1?y＝3x－1， (3)
代入(1)得：x(3x－1)＋x＝3?3x2＝3?x1＝1或x2＝－1.
分别代入(3)得：y1＝2或y2＝－4.
∴
原方程组的解是：或.
解二元二次方程组的注意点
(1)一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．
(2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程x－2y＋1＝0，可以消去x，先变形得x＝2y－1，再代入消元．
(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．
解方程组
解析：由(1)得：x2－y2－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0?(x＋y)(x－y－5)＝0
∴x＋y＝0或x－y－5＝0
∴
原方程组可化为两个方程组：或.
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
或或或.
探究三 二元一次方程组的应用
[例3] 在“某地大地震”灾民安置工作中，某企业捐助了一批板材24
000
m2，某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A，B两种型号的板房，供2
300名灾民临时居住．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号
所需板材
安置人数
A型板房
54
m2
5
B型板房
78
m2
8
问：该灾民安置点搭建A型板房和B型板房各多少间？
[解析] 设该灾民安置点搭建A型板房x间，B型板房y间．由题意得，解得
答：该灾民安置点搭建A型板房300间，B型板房100间．
用二元一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，阳光敬老院买了50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子共花了5
200元．
(1)求打折前甲品牌粽子和乙品牌粽子每盒各多少元；
(2)求打折后阳光敬老院购买这批粽子比不打折节省了多少元？
解析：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得
解得
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
(2)50×40＋40×120－50×0.8×40－40×0.75×120＝1
600(元)．
答：打折后阳光敬老院购买这批粽子比不打折节省了1
600元．
PAGE2．2 不等式
2．2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过具体情境，感受日常生活中的不等关系．
数学抽象逻辑推理
2.初步学会作差法比较两实数的大小．
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
授课提示：对应学生用书第25页
[教材提炼]
知识点一 不等关系
不等式中文字语言与数学符号之间的转换
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
其中a≥b?a＞b或a＝b，a≤b?a＜b或a＝b.
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法的理论依据：
a>b?a－b>0；
a＝b?a－b＝0；
a
知识点三 不等式的基本性质及推论
1．不等式的性质
性质
别名
内容
性质1
可加性
a>b?a＋c>b＋c
性质2
可乘性
a＞b，c＞0?ac＞bc
性质3
a＞b，c＜0?ac＜bc
性质4
传递性
a>b，b>c?a>c
性质5
对称性
a>b?b＜a
2.不等式的推论
推论
别名
内容
推论1
a＋b＞c?a＞c－b
推论2
同向不等式相加
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d
推论3
同向不等式相乘
a＞b＞0,
c＞d＞0?ac＞bd
推论4
可乘方性
a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n＞1)
推论5
可开方性
a＞b＞0?＞
[自主检测]
1．实数m不超过，是指( )
A．m＞
B．m≥
C．m＜
D．m≤
答案：D
2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是( )
A．a－c＜b－d
B．ac＞bd
C.＜
D．ad＞bc
答案：B
3．设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是( )
A．a－c＞b－d
B．ac＞bd
C.＞
D．b＋d＜a＋c
答案：D
4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案：f(x)＞g(x)
授课提示：对应学生用书第25页
探究一 作差法比较大小
[例1] 设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析] (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝(x－y)(－2xy)．
由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，
所以(x－y)(－2xy)＞0，
即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→
变形→
定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
将本例中“x＜y＜0”变为“x＞y＞0”，这两个代数式的大小如何？
解析：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝－2xy(x－y)
由x＞y＞0得－2xy＜0，x－y＞0
∴－2xy(x－y)＜0
∴(x2＋y2)(x－y)＜(x2－y2)(x＋y)
探究二 用不等式的性质证明不等式
[例2] (1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，∴0＜＜，
又∵e＜0，∴＞.
(2)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
[证明] －＝＝，
∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0，
＜0，
∴＜.
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
探究三 求表达式的范围
[例3] 已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求x＋y，x－3y及的范围．
[解析] 因为30＜x＜42,16＜y＜24，
所以30＋16＜x＋y＜42＋24，
故46＜x＋y＜66.
又30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，
所以30－72＜x－3y＜42－48，
故－42＜x－3y＜－6.
又30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，
所以－＜＜－，
所以0＜＜－＜，
所以＜－＜，
故－＜＜－，
得－7＜＜－.
根据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合不等式的性质进行推理.
已知1＜a＜2,3＜b＜4，求下列各式的取值范围．
(1)2a＋b；
(2)a－b；
(3).
解析：(1)∵1＜a＜2，∴2＜2a＜4.
又3＜b＜4，∴5＜2a＋b＜8；
(2)∵3＜b＜4，∴－4＜－b＜－3.
又∵1＜a＜2，∴－3＜a－b＜－1；
(3)3＜b＜4；∴＜＜.
又∵1＜a＜2，∴＜＜.
授课提示：对应学生用书第26页
一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展
1．由不等式性质4：a＞b，c＞0，那么ac＞bc拓展为倒数性质：若，则＜.
证明：∵ab＞0，∴＞0
由a＞b得a×＞b×.
∴＞，即＜.
2．由性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N且n≥1)．
拓展为开方性质：如果a＞b＞0，那么＞.(n∈N且n≥2)．
证明：假设0＜≤.
由性质7得()n≤()n
∴a≤b与a＞b矛盾．
∴＞.
[典例] 已知a＞b＞0，求证＞.
[证明] ∵a＝()2，b＝()2.
由a＞b得：()2＞()2＞0
∴＞.
二、同样正确用不等式性质，差别这么大
[典例] 已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．
[解析] 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得，
∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)
1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4
∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10
∴4a－2b范围是[5,10]．
纠错心得 (1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)注意同一个问题中应用同向不等式相加性质时不能多次使用(因多次使用时取等号的条件会发生改变)，否则不等式范围将会扩大．
PAGE第2课时 不等式的证明
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简单问题．
逻辑推理数学抽象
2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，灵活选用恰当的方法证明问题．
3.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.
授课提示：对应学生用书第27页
[教材提炼]
知识点一 综合法
综合法是从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．
知识点二 反证法
反证法是首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
知识点三 分析法
分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
[自主检测]
1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．
答案：A
2．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：不全为0即至少有一个不为0，故选D.
答案：D
3．在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该证明运用的方法是________．
解析：由因导果，易知该证法为综合法．
答案：综合法
授课提示：对应学生用书第27页
探究一 综合法
[例1] (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac(2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
[证明] (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－ac<－bc.∵f∴f－ac(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，
∵bd>0，
∴≤，∴＋1≤＋1，
∴≤.
综合法处理问题的三个步骤
已知x＋y＋z＝m.求证x2＋y2＋z2≥.
证明：∵x＋y＋z＝m，
∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.
又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，
∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，
即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，
∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．
∴x2＋y2＋z2≥.
探究二 反证法
[例2] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[证明] 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
反证法证明问题的一般步骤
若x>0，y>0，且x＋y>2，求证与至少有一个小于2.
证明：假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
探究三 分析法
[例3] 已知a>b>0，求证<－<.
[证明] 要证<－<，
只需证<<.
∵a>b>0，
∴同时除以，
得<1<，
同时开方，得<1<，
只需证＋<2，且＋>2，
即证<，即证b∵a>b>0，∴原不等式成立，
即<－<.
1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．
2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论?…?…?…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.
已知a>0，b>0，求证＋≥＋.
证明：要证＋≥＋，
只需证≥＋，
只需证()3＋()3≥a＋b，
只需证()3＋()3－a－b≥0，
即证(－)(a－b)≥0，
即(－)2(＋)≥0.
∵(－)2(＋)≥0显然成立．
∴原不等式成立．
PAGE2．2.2 不等式的解集
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解不等式组的解集的含义，能求不等式组的解集．
数学运算逻辑推理
2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.
授课提示：对应学生用书第29页
[教材提炼]
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
不等式的解集：不等式的所有解组成的集合．
不等式组的解集：所有不等式的解集的交集．
知识点二 绝对值不等式
1.|x|＝
2．含绝对值不等式的解法
当m＞0时，
|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，
|x|≤m的解集为[－m，m]．
知识点三 数轴上的中点坐标公式
两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|；
中点坐标公式：如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝.
[自主检测]
1．不等式3x＋2≥5的解是( )
A．x≥1
B．x≥
C．x≤1
D．x≤－1
解析：3x≥3，x≥1.故选A.
答案：A
2．不等式组的解集是________．
答案：{x|x＜3}
3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足________．
解析：数轴上对应x的点到原点的距离可表示为|x|.由题意可知|x|<8.
答案：|x|<8
4．不等式|1－2x|＜1的解集是________．
解析：∵|1－2x|＜1，
∴－1＜1－2x＜1，
∴－2＜－2x＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集是{x|0＜x＜1}．
答案：{x|0＜x＜1}
授课提示：对应学生用书第29页
探究一 解不等式(组)
[例1] 不等式组的解集为( )
A.
B.
C.
D．?
[解析] 解不等式2x＞1－x，得：x＞，
解不等式x＋2＜4x－1，得：x＞1，
则不等式组的解集为.
故选B.
[答案] B
一元一次不等式组的解法
(1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集．
(2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)
解不等式组：
解析：由①得：x<3，
由②得：x>－9，
原不等式组的解集为(－9,3)．
探究二 含一个绝对值的不等式的解法
[例2] (1)不等式|2x－1|>1的解集为( )
A．(0,1)
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析] 由|2x－1|>1得2x－1>1或2x－1＜－1，解得x>1或x<0.故选B.
[答案] B
(2)不等式|x＋1|<5的解集为________．
[解析] |x＋1|<5?－5[答案] (－6,4)
利用绝对值不等式的解法：若|x|＜a(a＞0)，则－a＜x＜a.将2x－1看成一个整体，去掉绝对值符号化成整式不等式即可.
1．不等式|x－3|＞2的解是( )
A．1＜x＜5
B．x＞5或x＜－5
C．－5＜x＜5
D．x＜1或x＞5
解析：由不等式|x－3|＞2，可得
x－3＞2，或
x－3＜－2，解得
x＞5，或x＜1，故选D.
答案：D
2．不等式|2x－1|≤5的解集为( )
A．(－∞，－2]
B．(2,3]
C．[3，＋∞)
D．[－2,3]
解析：不等式|2x－1|≤5，即－5≤2x－1≤5，求得－2≤x≤3，故选D.
答案：D
探究三 含两个绝对值的不等式的解法
[例3] 不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )
A．[－5,7]
B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
[解析] 法一：当x＝0时，|x－5|＋|x＋3|＝8≥10不成立，可排除A，B，
当x＝－4时，|x－5|＋|x＋3|＝10≥10成立，可排除C，故选D.
法二：当x＜－3时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为：－(x－5)－(x＋3)≥10，
解得x≤－4.
当－3≤x≤5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为：－(x－5)＋(x＋3)＝8≥10恒不成立．
当x＞5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为：(x－5)＋(x＋3)≥10，
解得x≥6.
故不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
故选D.
[答案] D
利用零点分段法进行分类讨论，将绝对值不等式转化为整式不等式是解答本题的关键.
|2x＋1|－|x－4|＞2的解集是( )
A.
B.
C．{x|x＜－7，或x≥4}
D.
解析：当x＜－时，|2x＋1|－|x－4|＞2?－5－x＞2，解得x＜－7，
∴x＜－7；
当－≤x≤4时，|2x＋1|－|x－4|＞2?3x－3＞2，解得x＞，
∴＜x≤4；
当x＞4时，|2x＋1|－|x－4|＞2?x＋5＞2，解得x＞－3，
∴x＞4.
综上所述，不等式|2x＋1|－|x－4|＞2的解集是.
故选B.
答案：B
PAGE2．2.3 一元二次不等式的解法
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例了解一元二次不等式．
数学运算逻辑推理
2.掌握一元二次不等式的解法．
3.会解简单的分式不等式.
授课提示：对应学生用书第30页
[教材提炼]
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0.不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
知识点二 一元二次不等式的解法
一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
[自主检测]
1．不等式x＞x2的解集是( )
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．R
答案：C
2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是( )
A．?
B．R
C．{x|x＞5}
D．{x|x＜2}
答案：A
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )
A．{x|x＞3或x＜－2}
B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3}
D．{x|－3＜x＜2}
答案：C
4．不等式－x2＋x－2＜0的解集为________．
答案：R
授课提示：对应学生用书第31页
探究一 一元二次不等式的解法
[例1] 解下列不等式．
(1)－x2＋2x－＞0；
(2)－x2＋3x－5＞0；
(3)4x2－18x＋≤0.
[解析] (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0，
∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－，x2＝1＋.
∴原不等式的解集是{x|1－＜x＜1＋}．
(2)不等式可化为x2－6x＋10＜0，
Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0，
∴原不等式的解集为?.
(3)不等式可化为16x2－72x＋81≤0，
即(4x－9)2≤0，
∵4x－9＝0时，x＝.
∴原不等式的解集为{x|x＝}．
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.
1．求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
解析：∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2＞0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.
2．解不等式－x2＋2x－3＞0.
解析：不等式可化为x2－2x＋3＜0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是?.
探究二 含参数的一元二次不等式
[例2] 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
[解析] 原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；
当a＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}．
综上所述：
当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．
将本例不等式变为：解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R，a＞0)．
解析：因为a＞0，所以原不等式等价于(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，
得1＜x＜.
综上，a＞1时，不等式的解集为{x|＜x＜1}；
a＝1时，不等式的解集为?；
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}．
探究三 解简单的分式不等式
[例3] 解不等式．
(1)＜0；
(2)≤2.
[解析] (1)由＜0，得＞0.
此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0.
∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
(2)法一：移项，得－2≤0，
左边通分并化简，得≤0，即≥0，
它的同解不等式为
∴x＜2或x≥5.
原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，
此不等式等价于①
或②
解①，得x≥5.
解②，得x＜2.
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
解不等式
(1)＞0；
(2)＞1.
解析：(1)原不等式等价于
或，
解得x＞3或－2＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|x＞3或－2＜x＜1}．
(2)原不等式可化为－1＞0，即＜0，等价于(3x－2)(4x－3)＜0.
∴＜x＜.
∴原不等式的解集为.
授课提示：对应学生用书第32页
分久必合——分类讨论思想解含参数不等式
含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．
(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．
(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
1．讨论二次项系数型为主
当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关．
[典例] 解关于x的不等式，ax2＋(1－a)x－1＞0.
[解析] 原不等式化为(x－1)(ax＋1)＞0
(1)当a＝0时，原不等式为x－1＞0，∴x＞1，
(2)当a＞0时，原不等式为(x－1)(x＋)＞0.
两根为1与－且1＞－，
∴得x＞1或x＜－；
(3)当a＜0时，原不等式化为(x－1)(x＋)＜0
两根为1与－，
又∵当－1＜a＜0时，－＞1，
∴得1＜x＜－.
当a＝－1时，不等式为(x－1)2＜0，解集为?，
当a＜－1时，－＜1，∴得－＜x＜1.
综上，当a＞0时，解集为{x|x＞1，或x＜－}；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当－1＜a＜0时，解集为{x|1＜x＜－}；
当a＝－1，解集为?；
当a＜－1时，解集为{x|－＜x＜1}．
规律总结 解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论．
2．讨论判别式型为主
当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论．
[典例] 解关于x的不等式：2x2＋ax＋2＞0.
[解析] Δ＝a2－16＝(a－4)(a＋4)．
(1)当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
原不等式的解集为
.
(2)当a＝±4时，Δ＝0，方程只有一根x＝－，
∴原不等式的解集为.
(3)当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无根，∴原不等式的解集为R.
规律总结 若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0讨论．
3．讨论根的大小型为主
当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围．
[典例] 解关于x的不等式：x2－2x＋1－a2≥0.
[解析] 原不等式等价于(x－1－a)(x－1＋a)≥0.
①当a＞0时，1＋a＞1－a，所以原不等式的解集为{x|x≥1＋a，或x≤1－a}．
②当a＝0时，原不等式的解集为全体实数R.
③当a＜0时，1－a＞1＋a，原不等式的解集为{x|x≥1－a，或x≤1＋a}．
规律总结 当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集．
在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
PAGE2．2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.探索并了解均值不等式的证明过程．
直观想象逻辑推理
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.
授课提示：对应学生用书第33页
[教材提炼]
知识点 均值不等式
1.给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值．
2．如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
[自主检测]
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2＞2|ab|
答案：A
2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab
B．a＋b≥2
C.＋＞
D.＋≥2
答案：D
3．若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＞
B.＋≥1
C.≥2
D.≥1
答案：B
授课提示：对应学生用书第33页
探究一 用均值不等式判断不等式的成立
[例1] 有下列式子：①a2＋1＞2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，
故①不正确；对于②，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.
[答案] C
利用均值不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.
设M＝a＋(2＜a＜3)，N＝x(4－3x)，则M，N的大小关系为( )
A．M＞N
B．M＜N
C．M≥N
D．M≤N
解析：M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，
N＝x(4－3x)＝×3x(4－3x)≤×2＝4.
∴M＞N.
答案：A
探究二 用均值不等式证明不等式
[例2] (1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
[证明] ∵a2＋b2≥2ab
b2＋c2≥2bc
c2＋a2≥2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号)
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＞0，＞0，＞0.
则＋≥2＝2c，
＋≥2b，＋≥2a.
由不等式的性质知，
2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
利用均值不等式证明不等式的注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用.
授课提示：对应学生用书第34页
一、千变万化，不离其宗
均值不等式的几种常见变形及结论
(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；
(2)ab≤(a，b∈R)；
(3)ab≤2，(a，b∈R)；
(4)＋≥2(ab＞0)；
(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；
(6)≤≤≤
(a，b都是正实数)．
[典例] 已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤1.
[证明] ∵≤，≤，≤，
∴＋＋≤＝1.
故原不等式成立．
二、忽视均值不等式的条件
[典例] 设y＝x＋，求y的取值范围．
[解析] 当x＞0时，
y＝x＋≥2＝2.
当且仅当x＝，
即x＝1时取“＝”．
当x＜0时，y＝x＋＝－[(－x)＋]
∵(－x)＋≥2
∴－[(－x)＋]≤－2.
当且仅当x＝时，
即x＝－1时取“＝”．
∴y的取值范围为{y|y≤－2或y≥2}.
PAGE第2课时 均值不等式与最大值、最小值
内 容 标 准
学 科 素 养
1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．
逻辑推理、数学运算、数学建模
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．
3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
授课提示：对应学生用书第34页
[教材提炼]
知识点 用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是不是正数；
(2)若x，y是正数，
①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)等号成立的条件是否满足．
[自主检测]
1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )
A.
B．1 C．2 D．4
答案：C
2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．
答案：1
3．当x＞1时，x＋的最小值为________．
答案：3
授课提示：对应学生用书第35页
探究一 用均值不等式求最值
[例1] (1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
[解析] ∵x＞0.
∴x＋≥2＝4
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4.
(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
[解析] ∵0＜x＜，∴3－2x＞0，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)已知x＞2，求x＋的最小值；
[解析] ∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.
(4)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
[解析] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，
当且仅当＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
应用均值不等式的常用技巧
(1)常值代替
这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．
(2)构造不等式
当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．
(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．
设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
解析：
∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，
解得x＝1－，y＝－1，
∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.
探究二 均值不等式的实际应用
[例2] 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
[解析] (1)T＝＝＝＋＋.
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．
∵T＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即v＝20时取等号．
∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
某公司一年需要一种计算机元件8
000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？
解析：设每年购进8
000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n次进货，
则x＝，E＝2××，H＝500
n.
所以S＝E＋H＝2××＋500n＝＋500n＝500≥4
000.
当且仅当＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜.
授课提示：对应学生用书第36页
一、用均值不等式求最值的策略
1．配凑
以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x)
＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．
[典例] 函数y＝(x＞－1)的最小值为________．
[解析] 因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
[答案] 0
2．常值代换
利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或＋)为定值，求cx＋dy(或＋)的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．
[典例] 若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.
[答案] D
3．探究
通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及均值不等式求最值．
[典例] 设x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．
[解析] 令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，所以＋＝＋
＝＋－2＝(＋)(＋)－2
＝＋－≥2－＝，
当且仅当即m＝，n＝时取等号．
所以＋的最小值为.
[答案]
4．减元
当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围．
[典例] 已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
[解析] 由x－2y＋3z＝0得y＝，所以＝＝＋＋.
又x，z均为正实数，所以＞0，＞0，所以＝＋＋≥2＋＝3，
当且仅当＝即x＝3z时取等号．
所以的最小值为3.
[答案] 3
二、忽视均值不等式的应用条件
[典例] 已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则＋的最小值为( )
A．3
B．2
C.
D.
[解析] 由题意得＋n＝1，
所以＋＝(＋)(＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.
[答案] C
纠错心得 应用均值不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出＋n＝1后，若采用两次均值不等式，有如下错解：
＋n＝1≥2，所以≤，≥，①
又＋≥2，②
所以＋≥2.选B.
此错解中，①式取等号的条件是＝n，②式取等号的条件是＝即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2不是＋的最小值．
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