【寒假预习】2020-2021学年高一上学期数学寒假预习专练 2 平面向量的加减法运算

【寒假预习】
高一上学期数学寒假精品预习专练
2 平面向量的加减法运算
1．理解向量加减法的概念，以及向量加减法的物理意义，几何意义．
2．熟悉向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能够熟练使用进行向量加法的运算，理解向量加法的结合律和交换律．
3．了解相反向量的概念，掌握向量的加减法运算，会作两个向量的减向量．



图片：教材截图



















知识1：已知非零向量，在平面内任取一点，作，，则向量的和，记作，即．这种求向量和的方法，称为向量加法的________．


知识2：以同一点O为起点的两个向量邻边作平行四边形，以O为起点的对角线就是的和，记作，记作．这种求向量和的方法，称为向量加法的______________．


知识3：向量加法满足交换律和结合律：．

知识4：与长度______，方向______的向量，叫做的___________，记作_____．的相反向量是______．

知识5：向量加上向量的___________，叫做的差，即，求这两个向量差的运算叫做_____________．
【答案】知识1：三角形法则
知识2：平行四边形法则
知识3：
知识4：相等 相反 相反向量
知识5：相反向量 向量的减法

1．化简等于（ ）
A． B． C． D．
2．化简等于__________．
3．下列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．


1．试分析的取值范围．
【解析】（1）当向量不共线时：
设，，则，

如图，根据三角形的性质，可以得到，
所以．
（2）当向量共线时：
设，，则，
①当向量同向时，如图：


则可得；
②当向量反向时，如图（设）：


则可得
故对任意的，有，
因为，可得，
即，
综上可得．

1．已知，，则的取值范围为__________．
2．在四边形中，设，且，
（1）若，则四边形为________；
（2）若与垂直，则四边形为_________．



一、选择题．
1．化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中能化简成的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平行四边形中，已知对角线与交于点，设，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题．
4．已知为边长为2等边三角形，为的中点，则
5．向量，为的两个非零向量，则下列说法正确的是___________．
①若向量与反向，且，则向量与的方向相同；
②若向量与反向，且，则向量与的方向相同；
③若向量与同向，则向量与的方向相同；
④若向量与的方向相同或相反，则的方向必与，之一的方向相同．
6．在矩形中，已知，，设，，，则__________，，__________．
7．已知，，则的最大值为__________，最小值为__________，
的最大值为___________，最小值为____________．
8．已知与均为非零向量，当，则与所在直线的夹角为_____．



即学即练：
1．【答案】A
【解析】．
2．【答案】
【解析】．
3．【答案】A
【解析】对于B，，故B选项可以化简成的形式；
对C，，故C选项可以化简成的形式；
对D，，
故D选项可以化简成的形式，
故选A．

技能应用：
1．【答案】
【解析】∵，，
∴，
即．
2．【答案】（1）矩形；（2）菱形．
【解析】∵，∴四边形为平行四边形．
（1），即，故四边形为矩形．
（2）与垂直，即四边形的对角线互相垂直，所以四边形为菱形．

预学检测：
一、选择题．
1．【答案】D
【解析】．
2．【答案】C
【解析】对于A选项，，故A错误；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，故D错误．
3．【答案】B
【解析】对于A选项，，故A错误；
对于B选项，，故B正确；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D错误．

二、填空题．
4．【答案】
【解析】以、为一组邻边作平行四边形如图，

，∴．
5．【答案】①③
【解析】对于②，向量与的方向相同，故②错误；
对于④，当向量与的方向相反且长度相等时，，而方向是任意的，故④错误．
6．【答案】4，8，4
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∴．
7．【答案】15，5，15，5
【解析】当同向时，取得最大值为15，取得最小值为5；
当反向时，取得最小值为5，取得最大值为15．
8．【答案】
【解析】设，，如图以为邻边作平行四边形，

则依题可得，
∵可得平行四边形为矩形，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴，
∴与所在直线的夹角为．