中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题
知识点梳理
知识点梳理一、解题途径
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
①
求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
知识点梳理二、方法解析
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．
知识点梳理三、两点间的距离公式
如图，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？
我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．
公式总结：
典型例题
考点1：以判定定理1为基础的题型解析
考点透析：先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等
【例1】
如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．
图1-1
【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整．
如图1-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程或，其中BA＝4，BP＝t，BD＝4＋2，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！
图1-2
图1-3
图1-4
我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．
△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：
第一种情况，如图1-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．
第二种情况，如图1-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA，
因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．
此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．
解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．
考点2：以判定定理2为基础的题型解析
考点透析：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验
【例2】
如图2-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
图2-1
【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．
△ABC是确定的．由，可得A(4,
0)、B(8,
0)、C(0,
4)．
于是得到BA＝4，BC＝．还可得到．
△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．
在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以．
因此．
于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：
①当时，．解得（如图2-2）．
②当时，．解得（如图2-3）．
图2-2
图2-3
【变式2-1】如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1,
0)、B(3,
0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图3-1
【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．
（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．
（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2,
1)．
如图3-2，由B(3,
0)、D(0,－3)、C(2,
1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．
所以∠CBD＝90°，且．
图3-2
图3-3
图3-4
设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：
当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程：
①当时，．解得．此时M（如图3-3）．
②当时，．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）．
当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程：
①当时，．解得＞1，不符合题意（如图3-4）．
②当时，．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）．
图3-5
图3-6
考点3：以判定定理3为基础的题型解析
考点透析：根据三边对应成比例列连比式解方程（组）
【例3】如图4-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0,
2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
图4-1
【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1,
4)，D(－4,
4)，B(－2,－2)．
所以，，，．
△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．
由，得．所以，．
设点E的坐标为(x,
y)，根据EO2＝68，DE2＝180，列方程组解得
所以点E的坐标为(8,－2)或(－2,
8)．
上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．
【解法二】如图4-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．
如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．
按照这个运动规则，点A(1,
4)
绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．
如图4-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．
图4-2
图4-3
课堂训练
1．已知，抛物线（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．
【答案】（1），顶点D（1，4）；（2）证明见解析；（3）P（，）或（，）；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．
【解析】
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA=3，将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得：，解得：，∴抛物线解析式为；当x=1时，y=4，∴顶点D（1，4）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，∵A（3，0），D（1，4），∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，设直线NP的解析式为y=﹣x+c，则﹣2+c=2，解得：c=4，∴直线NP的解析式为y=﹣x+4，由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，解得：x=或x=，∴y=，或y=，∴P（，）或（，）；
（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；
②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；
③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣）；
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．
2．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
(1)
y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
【解析】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得
，
∴此抛物线的解析式为.
(2)存在，
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．
②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
抛物线的解析式为y=x2-2x+1，(2)
四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3)
Q（4,1）或（-3，1）.
【解析】
解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：
×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝?2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2?2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2?2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，
∵点A(0，1)，点B(9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，m2?2m＋1)，∴E(m，m＋1)，
∴PE＝m＋1?(m2?2m＋1)＝?m2＋3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC?EF＋AC?PF
＝AC?(EF＋PF)＝AC?EP
＝×6(?m2＋3m)＝?m2＋9m.
∵0∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；
(3)∵y＝x2?2x＋1＝(x?3)2?2，
P(3，?2)，PF＝yF?yp＝3，CF＝xF?xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45?，
同理可得∠EAF＝45?，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(6?t):6＝，解得t＝4，所以Q(4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(6?t)6，解得t＝?3，所以Q(?3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(4，1)或(?3，1).
4．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x轴上一点A，与y
轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当S△ACB＝3S△ADB
时，求点C的坐标．
（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB
相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x2+2x﹣4；（2）点
C
的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；（3）在
x
轴上有一点
C（﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点
A、B、C
组成的三角形与△ADB
相似．
【解析】
（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2
∴A（-2，0）．
由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，
∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；
（2）∵S△ADB=BD?OA=2，
∴S△ACB=3S△ADB=6．
∵点C在x轴上，
∴S△ACB=AC?OB=×2AC=6，
∴AC=6．
∵点A的坐标为（-2，0），
∴当S△ACB=3S△ADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；
（3）存在．
理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），
∴AB=，∠OAB=∠OBA=45°．
∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴点C在点A的左边．
①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
∴点C的坐标为（-4，0）．
②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA
∴=，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0）．
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．
举一反三
1、如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，）．
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM为直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
2、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；
⑵求证：△ABC是直角三角形；
⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.
【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得
,
解得或
,
∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=
，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有或，
当时，则有
，即|x||-x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=，即-x+2=±
，解得x=
或x=
，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（
，0）或（
，0）或（-1，0）或（5，0）．
3．如图，直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．
【点睛】（1）根据函数解析式，可求出直线与坐标轴的交点，根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）两直角三角形相似，又有一个公共角，故只需另一个角为直角即可得到相似，故分两种情况讨论，可得答案．
【详解】解：（1）直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，3）．
抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①如图1，作PD垂直x轴于点D：
∵△ABO与△ADP相似
∴
PD＝4，
∴P点坐标是（﹣1，4）．
②如图2，作P′D垂直AB于点P′交y轴于点F：
∵△ABO与△ADP相似
∴∠P′DA＝∠BAO＝45°，
∴，
∴P′D＝2，
∵DF，
∴
∴P′C∥OF
∴P′C＝CD＝2
∴P点坐标为（1，2）
4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求△ABC的内切圆半径；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【点睛】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积即可求出内切圆的半径；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．
【详解】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
即y＝﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
∵A（1，1），
∴AB，BC3，AC2，
∴AB2+BC2＝AC2
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
∴r2；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB，BC＝3，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有或，
①当时，
∴，即|x||﹣x+2||x|，
∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|，
∴﹣x+2＝±，解得x或x，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当，时，
∴，
即|x||﹣x+2|＝3|x|，
∴|﹣x+2|＝3，
∴﹣x+2＝±3，
解得x＝5或x＝﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
Syman中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题
知识点梳理
知识点梳理一、解题途径
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
①
求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
知识点梳理二、方法解析
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．
知识点梳理三、两点间的距离公式
如图，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？
我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．
公式总结：
典型例题
考点1：以判定定理1为基础的题型解析
考点透析：先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等
【例1】
如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．
图1-1
考点2：以判定定理2为基础的题型解析
考点透析：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验
【例2】
如图2-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
图2-1
【变式2-1】如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1,
0)、B(3,
0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图3-1
考点3：以判定定理3为基础的题型解析
考点透析：根据三边对应成比例列连比式解方程（组）
【例3】如图4-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0,
2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
图4-1
课堂训练
1．已知，抛物线（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．
2．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x轴上一点A，与y
轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当S△ACB＝3S△ADB
时，求点C的坐标．
（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB
相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
举一反三
1、如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
2、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；
⑵求证：△ABC是直角三角形；
⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．
4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求△ABC的内切圆半径；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
Syman
