1.1.1 等腰三角形 课件 （共29张PPT）

第1节 等腰三角形
（第1课时）
第一章 三角形的证明
2020-2021北师大版八年级数学下册
1 回顾全等三角形的判定和性质;
2 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；(重点)
3 能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.（难点）
学习目标
问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
新课导入
问题2：在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4.同位角相等，两直线平行；
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等.
全等三角形
知识点一
想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
探究新知
例1 已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
例题讲解
证明：
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°（三角形内角和等于180°）.
∴∠C = 180°－（∠A +∠B），
∠F = 180°－（∠D +∠E），
∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） .
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC = EF（已知）.
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
总结归纳
全等三角形的判定方法
（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或
“SSS”）.
（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角
边角”或“ASA”）.
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形
全等（简写成“角角边”或“AAS”）.
（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边
角边”或“SAS”）
等腰三角形的相关概念回顾：
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
等腰三角形的边、角性质
知识点二
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
议一议
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).
定理:等腰三角形的两个底角相等.
（等边对等角）
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
证明：如图，取BC的中点D，连接 AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD ( SSS ).
∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等）.
A
B
C
D
性质：等腰三角形的两底角相等
(简写成“等边对等角”)．
例2 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题讲解
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°.
等腰三角形的“三线合一”性质
知识点三
A
B
C
D
想一想
由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC=90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
总结归纳
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
例题讲解
解：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC
＝ (180°－∠BAC)
＝ (180°－50°)
＝65°.
(2)求证：EF＝ED.
　证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
1 (1).等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______；
(2).等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _____；
课堂练习
2 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
3 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC
D．∠EBC＝∠ABE
4 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，若只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(　　)
A．BD＝CE　 B．AD＝AE
C．DA＝DE　 D．BE＝CD
5 在△ABC中，AB＝AC .
(1)若∠A＝50°，则∠C等于多少度？
(2)若∠B＝72°，则∠A等于多少度?
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
课堂小结
谢谢聆听