1.1.2 等腰三角形 课件（共30张PPT）

第1节 等腰三角形
（第2课时）
第一章 三角形的证明
2020-2021北师大版八年级数学下册
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的质;(重点)
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点)
学习目标
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
新课导入
等腰三角形中相等的线段
知识点一
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
探究新知
等腰三角形两个底角的角平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等.
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE 是△ABC 的角平分线.
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
求证：BD = CE.
例题讲解
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
你还能用其他方法证明吗？
证明：∵AB = AC，∴∠ABC =∠ACB.
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4.
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠3 =∠4，AB = AC，∠A =∠A.
∴△ABD ≌△ACE（ASA）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
1
2
1
2
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：CE＝BD.
例题讲解
∵AB＝AC，CE和BD分别是AB
和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.
又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.
∴CE＝BD.（全等三角形的对应边相等）.
证明：
已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE 是△ABC 的高.
求证：BD = CE.
A
B
C
E
D
例3 求证: 等腰三角形两腰上的高相等.
例题讲解
证明：∵ BD、CE 是△ABC 的高.
∴∠AEC =∠ADB = 90°.
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠AEC =∠ADB = 90°，
AB = AC，∠A =∠A.
∴△ABD ≌△ACE（AAS）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边 AC 和 AB 上.
议一议
E
D
A
B
C
（1）如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB，那么 BD = CE 吗？如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？由此你能得到一个什么结论？
1
3
1
3
1
4
1
4
E
D
A
B
C
BD = CE
（2）如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？如果 AD = AC，AE = AB 呢？由此你得到什么结论？
1
2
1
2
1
3
1
3
BD = CE
等边三角形的性质
知识点二
等边三角形的定义是什么？
想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢?
定理　等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
例4 已知：如图，在△ABC 中，AB = BC = AC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：∵AB = AC，
∴∠B =∠C（等边对等角）.
同理：∠C =∠A，
∴∠A =∠B =∠C（等量代换）.
又∵∠A +∠B +∠C = 180°
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
A
B
C
例题讲解
A
B
C
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形?
满足什么条件的三角形是等腰三角形?
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一。
A
B
C
如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．
求证：AE＝CD.
例5
例题讲解
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE与△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
∴AE＝CD.
证明：
1 已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么BC的长是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
课堂练习
2 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　)
A．(1，1)　
B．( ，1)　
C．( ， )　
D．(1， )
3 如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(　　)
A．BD，CE为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
4 下面关于等边三角形的说法正确的有(　　)
①三个角都相等；②三条边都相等；③是一种特殊的等腰三角形；④是一种特殊的直角三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5 如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(　　)
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
课堂小结
谢谢聆听