1.1.4 等腰三角形 课件 （共23张PPT）

第1节 等腰三角形
（第4课时）
第一章 三角形的证明
2020-2021北师大版八年级数学下册
1 掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.
2 掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.
3 进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
学习目标
等边三角形有哪些性质？
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
新课导入
等边三角形的判定
知识点一
A
B
C
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
探究新知
A
B
C
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形
证明：∵∠B =∠A = 60° ，
∴AC = BC（等角对等边）.
∵∠B =∠C = 60°，
∴AC = AB，
∴AC = AB = BC .
（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明： 若 AB ＝AC，∠A ＝60°，
则∠B = ∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
A
B
C
判定定理1　三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定定理2　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
应用注意事项：
判定定理1 在任意三角形中都适用，
判定定理2 适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法．
例1 已知：如图，△ABC 是等边三角形，与 BC 平行的直线分别交 AB 和 AC 于点 D，E.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
例题讲解
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE =∠B = 60°，
∠AED = ∠C = 60°，
∴∠ADE =∠AED =∠A= 60°，
∴△ADE是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质
知识点二
做一做 用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
定理　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。
求证：BC= AB．
试一试
例题讲解
如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∴AC ＝AC,
∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．
例 3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB.
1
2
B
A
D
C
例题讲解
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.
1
2
1
2
1 等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
课堂练习
2 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)
A．1个 　
B．2个
C．3个
D．3个以上
3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)
A．6
B．
C．
D．12
4 如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°时，立柱BC、DE需要多长才能满足条件？
A
B
C
D
E
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
课堂小结
谢谢聆听