1.3.1_函数的单调性课件(第一课时)(共30张PPT)

(共30张PPT)
第一课时
实例分析1:艾宾浩斯（关于时间间隔与记忆保持量）
实例分析2:
某市年生产总值统计表
生产总值
(亿元)
年份
30
20
10
33.60
19.71
7.56
4.67
实例分析3
:非典病例的变化统计图
1、2003年抗击非典时，北京市从4月21日至5月19日期间每日新增病例的变化统计图。
从图中可知每阶段时间的病情的发展情况，增加和减弱的趋势。
13
?画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1.从左至右图象上升还是下降
____?
2.在区间
________上，随着x的增大，f(x)的值随着
______
．
f(x)
=
x
(-∞,
+∞)
增大
上升
1.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．
2.
在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而
_____．
f(x)
=
x2
(-∞,
0]
(0,
+∞)
增大
减小
?画出下列函数的图象，观察其变化规律：
函数值随着自变量的增大而增大
具有这种性质的函数叫做增函数.
单调性的定义
图形语言
符号语言
单调性的定义
具有这种性质的函数叫做减函数.
图形语言
符号语言
函数值随着自变量的增大而减小
文字语言
那么就说
函数f
(x)在区间D上为增函数。
O
x
y
如何用x与
f(x)来描述上升的图象？
如何用x与
f(x)来描述下降的图象？
O
x
y
函数单调性的定义
那么就说
函数f
(x)在区间D上为减函数。
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内
在区间I内
图象
y=f(x)
y=f(x)
图象特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
数量
特征
y随x的增大而增大
当x1＜x2时，
f(x1)
<
f(x2)
y随x的增大而减小
当x1＜x2时，
f(x1)
>
f(x2)
2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
注意：
1.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1或f(x1)>f(x2)
分别是增函数和减函数.
例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
其中y=f(x)在区间[-5,
-2),
[1,
3)上是减函数，
在区间[-2,
1),
[3,
5]
上是增函数.
[-5,
-2),
[-2,1),
[1,
3),
[3,
5].
典例精析
例2.证明：函数
在
上是增函数.
证明：在区间
上任取两个值
且
，且
所以函数
在区间上
是增函数.
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
设元
变形
作差
判号
定论
判断函数单调性的方法步骤
①设元：
任取x1，x2∈D，且x1②作差：f(x1)－f(x2)；
③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④判号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
说出函数f(x)=1/x
的单调区间，并指明在该区间的单调性?
y
x
o
解：
（-∞，0）和
（0，+∞）都是函数f(x)的单调区间，在各个区间上都是递减的
注意:
不能说成（-∞，0）
（0，+∞）
是减函数
归纳小结
3.函数单调性的证明，证明一般分五步：
设元→
作
差
→
变形→
判号
→
下结论
2.会利用函数图像找出函数的单调区间
1.函数单调性的定义
自
我
检
测
1．若函数y＝kx＋b(k≠0)是R上的减函数，那么(　　)
A．k>0　　　
B．k<0
C．k≠0
D．无法确定
答案：B
2．函数y＝x2在区间[－1,2]上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．是增函数又是减函数
D．不具有单调性
答案：D
3．函数y＝f(x)的图象如图4所示，其增区间是(　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案：C
4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则f(－3)与f(2)的大小关系是________．
答案：f(－3)>f(2)
5．求证f(x)＝x2－2x在区间(1，＋∞)上是增函数．
5．求证f(x)＝x2－2x在区间(1，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是区间(1，＋∞)上的任意两个值，且x1f(x1)＝x12－2x1，f(x2)＝x22－2x2，
f(x2)－f(x1)＝x22－2x2－x12＋2x1
＝x22－x12－2x2＋2x1
＝(x2－x1)(x2＋x1)－2(x2－x1)
＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．
∵x2>x1，∴x2－x1>0.
又∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2>x1>1.
∴x1＋x2>2.∴x1＋x2－2>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
故f(x)＝x2－2x在(1，＋∞)上是增函数．
解：二次函数
的对称轴为
,
由图象可知只要
，即
即可.
o
x
y
1
x
y
1
o
若二次函数
在区间
上单调递增，求a的取值范围。
数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚
祝同学们学习快乐！
再见！
2010.9.26
例2、物理学中的玻意耳定律
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈
(0，+∞)且V10,
V2-
V1
>0
又k>0,于是
所以，函数
是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
变形
作差
结论