17.1 勾股定理 高频易错题汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 17.1 勾股定理 高频易错题汇编（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 615.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-03 19:26:13 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
17.1 勾股定理 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）
A．最大等边三角形与直角三角形面积的和
B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积
D．直角三角形的面积
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
3．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
4．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）
A．21 B．15 C．6 D．21或9
5．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（ ）
A．30° B．90° C．30°或60° D．30°或90°
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，CD为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝64，则S3的值为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．60
7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
10．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，
二．填空题（共5小题）
11．如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 ．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是 ．
14．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 ．
15．已知∠MON＝90°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，OA＝8，OB＝6，点C在线段AO上，△BCD和△BCO关于直线BC对称，若△ACD是直角三角形，则AC的长是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）AC＝ cm；
（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．
19．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）
A．最大等边三角形与直角三角形面积的和
B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积
D．直角三角形的面积
解：如图，
以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3，
∴S1+S2+S阴影＝S3+S△EFG，
∴S阴影＝S△EFG，
即知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中较小两个等边三角形重叠部分的面积，
故选：C．
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
3．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
解：由勾股定理得AB＝＝2，
以AB的中点为圆心，以为半径作圆与正方形网格交于6个格点，如图所示，
以6个格点为C，由圆周角定理可知，∠ACB＝90°，
则满足条件的点C共有6个，
故选：C．
4．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）
A．21 B．15 C．6 D．21或9
解：如图所示，在Rt△ABH中，
∵AB＝17，AH＝8，
∴BH＝＝15；
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，AH＝8，
∴CH＝＝6，
∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；
当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．
∴BC的长是21或9．
故选：D．
5．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（ ）
A．30° B．90° C．30°或60° D．30°或90°
解：此题存在两种情况：
（1）根据BC2＝AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA
计算得 AC＝＝BC，即∠B＝∠A＝30°．
（2）根据BC2＝AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA
计算得 AC＝＝2BC，即∠B＝90°．
所以本题答案为30°或者90°．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，CD为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝64，则S3的值为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．60
解：如图，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD，AE＝CD，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE，
∴BC2＝AB2+CD2，即×64＝4+S3，
∴S3＝12，
故选：B．
7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，
45﹣9＝36．
故选：B．
9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘
∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得
2x2+x﹣21＝0
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30
故选：B．
10．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，
解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 2秒，4秒或14秒 ．
解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G
∵点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），
∴DC＝6cm，BD＝8cm，由勾股定理得：BC＝10cm，
∴在直角三角形COG中，OC＝2cm，CG＝BC＝10cm，
∴OG＝＝（cm）．
当点P运动到点F或点H时，BE＝8cm，BH＝BF＝10cm，
∴EF＝EH＝6cm，
∴OF＝8﹣6＝2（cm），OH＝8+6＝14（cm），
∵运动速度为1cm/s，
∴t的所有值为2秒，秒或14秒．
故答案为：2秒，秒或14秒．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 2或 ．
解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是 （0，1﹣31010） ．
解：∵∠A1Ox＝30°，∠A1OA2＝60°，
∴∠A2Ox＝90°，
∴A2在y轴上，
Rt△A1A2O中，OA1＝2，
∴OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，
∴A2的纵坐标为：4＝+1，
∴A2（0，4），
Rt△A1A2A3中，∠A2A1A3＝60°，
∴∠A1A3A2＝30°，
∴A1A3＝2A1A2＝4，
∵∠BA1O＝∠A1Ox＝30°，
∴A1B∥x轴，
∴A1B⊥A2O，
∵∠A1A2B＝30°，
∴A1B＝A1A2＝，A2B＝3，
∴A3B＝4﹣＝3，OB＝4﹣3＝1，
∴A3的横坐标为：﹣3＝﹣，
∴A3（﹣3，1），
Rt△A2BA3中，A2A3＝2A2B＝6，
Rt△A2A3A4中，A2A4＝2A2A3＝12，
∴OA4＝12﹣4＝8，
∴A4的纵坐标为：﹣[﹣1]，
A4（0，﹣8），
由此发现：点A1，A2，A3，A4，…，An，每四次一循环，
2020÷4＝505，
∴点A2020在y轴的负半轴上，纵坐标是：﹣[﹣1]＝1﹣31010．
则A2020的坐标是 （0，1﹣31010）；
故答案为：（0，1﹣31010）．
14．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 5或 ．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
①如图1，
∵△ABD是准互余三角形，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
作DE⊥AB于点E，
则DC＝DE，AE＝AC＝6，
设DC＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
BE＝AB﹣AE＝4，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BD2＝DE2+BE2，
（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5；
②如图2，
∵△ABD是准互余三角形，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣＝．
综上所述：BD的长为5或．
故答案为：5或．
15．已知∠MON＝90°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，OA＝8，OB＝6，点C在线段AO上，△BCD和△BCO关于直线BC对称，若△ACD是直角三角形，则AC的长是 2或5 ．
解：①当∠DCA＝90°时，
∵△BCD和△BCO关于直线BC对称，
∴∠BCO＝∠DCB＝45°，
∴在Rt△OCB中，OC＝OB＝6，
∴AC＝OA﹣OC＝8﹣6＝2；
②当∠DAC＝90°时，
作DE⊥BC于点E，
∵∠DAC＝90°，DE⊥BC，OB⊥OA，
∴∠DAC＝∠DEO＝∠EOA＝90°，
∴四边形DEOA是矩形，
∴DE＝OA＝8，OE＝DA，
设DA＝x，
则BE＝OB﹣OE＝6﹣x，
∵△BCD和△BCO关于直线BC对称，
∴BD＝BO＝6，
∴BD2＝BE2+DE2，
∴62＝（6﹣x）2+82，
∴（6﹣x）2＝﹣28，
此方程无解，
∴此情况不存在；
③当∠CDA＝90°时，
∵∠BDC＝∠BOC＝90°，
∴∠CDA+∠BDC＝180°，
∴A、D、B三点共线，
∴AB2＝OB2+OA2＝62+82＝100，
∴AB＝10，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
设AC＝x，
则DC＝OC＝OA﹣AC＝8﹣x，
在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
即AC＝5，
综上所述，AC的长为2或5．
故答案为：2或5．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t
（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82
解得：t＝5，
若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；
（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82
解得：t＝11
答：当t为5或11时，能使DE＝CD．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）AC＝ 3 cm；
（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？
解：（1）如甲图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
又AB＝5cm，BC＝4cm，
∴＝3，
故答案为3；
（2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，
如乙图所示：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝，AE＝BE，
①当点P运动到点D时，
∵AB＝5cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度运动，
∴t1＝秒，
②当点P运动到点E时，设BE＝x，则EC＝4﹣x，
∵AE＝BE，
∴AE＝x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
AE2＝AC2+EC2
∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴AB+BE＝，
∴秒，
即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间t为秒或秒；
（3）运动过程中，△ACP是等腰三角形，
①当AP＝AC时，如丙图（1）所示：
∵AC＝3，∴AP＝3，
∴t1'＝3秒，
②当CA＝CP时，如丙图（2）所示：
若点P运动到P1时，AC＝P1C，过点C作CH⊥AB
交AB于点H，
∵，
AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴CH＝cm，
在Rt△AHC中，由勾股定理得，
AH＝＝cm，
又∵AP1＝2AH＝cm，
∴秒，
若点P运动到P2时，AC＝P2C，
∵AC＝3cm，
∴P2C＝3cm，
又∵BP2＝BC﹣P2C，
∴BP2＝1cm，
∴AP+BP2＝5+1＝6cm，
∴t4'＝6秒，
综合所述，△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或秒或6秒．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．
解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝，
∴由勾股定理可得BD＝＝2，
∵∠CBD＝30°，
∴DE＝BD＝×2＝1，
又∵Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠C＝45°，
∴由勾股定理可得CD＝＝．
19．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．
证明∵AC⊥BD，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ECD≌△BCA（SAS），
∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDC，
∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°，
∴DF⊥AB．
∴S△ABD＝S△BCE+S△ACD+S△ABE
＝a2+b2+c?EF，
∵S△ABD＝c?DF＝c（EF+DE）＝c（EF+c），
∴a2+b2+c?EF＝c（EF+c），
∴a2+b2＝c2．
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
解：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
17.1 勾股定理 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）
A．最大等边三角形与直角三角形面积的和
B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积
D．直角三角形的面积
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
3．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
4．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）
A．21 B．15 C．6 D．21或9
5．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（ ）
A．30° B．90° C．30°或60° D．30°或90°
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，CD为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝64，则S3的值为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．60
7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
10．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，
二．填空题（共5小题）
11．如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 ．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是 ．
14．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 ．
15．已知∠MON＝90°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，OA＝8，OB＝6，点C在线段AO上，△BCD和△BCO关于直线BC对称，若△ACD是直角三角形，则AC的长是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）AC＝ cm；
（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．
19．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）
A．最大等边三角形与直角三角形面积的和
B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积
D．直角三角形的面积
解：如图，
以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3，
∴S1+S2+S阴影＝S3+S△EFG，
∴S阴影＝S△EFG，
即知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中较小两个等边三角形重叠部分的面积，
故选：C．
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
3．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
解：由勾股定理得AB＝＝2，
以AB的中点为圆心，以为半径作圆与正方形网格交于6个格点，如图所示，
以6个格点为C，由圆周角定理可知，∠ACB＝90°，
则满足条件的点C共有6个，
故选：C．
4．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）
A．21 B．15 C．6 D．21或9
解：如图所示，在Rt△ABH中，
∵AB＝17，AH＝8，
∴BH＝＝15；
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，AH＝8，
∴CH＝＝6，
∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；
当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．
∴BC的长是21或9．
故选：D．
5．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（ ）
A．30° B．90° C．30°或60° D．30°或90°
解：此题存在两种情况：
（1）根据BC2＝AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA
计算得 AC＝＝BC，即∠B＝∠A＝30°．
（2）根据BC2＝AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA
计算得 AC＝＝2BC，即∠B＝90°．
所以本题答案为30°或者90°．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，CD为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝64，则S3的值为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．60
解：如图，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD，AE＝CD，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE，
∴BC2＝AB2+CD2，即×64＝4+S3，
∴S3＝12，
故选：B．
7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，
45﹣9＝36．
故选：B．
9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘
∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得
2x2+x﹣21＝0
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30
故选：B．
10．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，
解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 2秒，4秒或14秒 ．
解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G
∵点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），
∴DC＝6cm，BD＝8cm，由勾股定理得：BC＝10cm，
∴在直角三角形COG中，OC＝2cm，CG＝BC＝10cm，
∴OG＝＝（cm）．
当点P运动到点F或点H时，BE＝8cm，BH＝BF＝10cm，
∴EF＝EH＝6cm，
∴OF＝8﹣6＝2（cm），OH＝8+6＝14（cm），
∵运动速度为1cm/s，
∴t的所有值为2秒，秒或14秒．
故答案为：2秒，秒或14秒．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 2或 ．
解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是 （0，1﹣31010） ．
解：∵∠A1Ox＝30°，∠A1OA2＝60°，
∴∠A2Ox＝90°，
∴A2在y轴上，
Rt△A1A2O中，OA1＝2，
∴OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，
∴A2的纵坐标为：4＝+1，
∴A2（0，4），
Rt△A1A2A3中，∠A2A1A3＝60°，
∴∠A1A3A2＝30°，
∴A1A3＝2A1A2＝4，
∵∠BA1O＝∠A1Ox＝30°，
∴A1B∥x轴，
∴A1B⊥A2O，
∵∠A1A2B＝30°，
∴A1B＝A1A2＝，A2B＝3，
∴A3B＝4﹣＝3，OB＝4﹣3＝1，
∴A3的横坐标为：﹣3＝﹣，
∴A3（﹣3，1），
Rt△A2BA3中，A2A3＝2A2B＝6，
Rt△A2A3A4中，A2A4＝2A2A3＝12，
∴OA4＝12﹣4＝8，
∴A4的纵坐标为：﹣[﹣1]，
A4（0，﹣8），
由此发现：点A1，A2，A3，A4，…，An，每四次一循环，
2020÷4＝505，
∴点A2020在y轴的负半轴上，纵坐标是：﹣[﹣1]＝1﹣31010．
则A2020的坐标是 （0，1﹣31010）；
故答案为：（0，1﹣31010）．
14．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 5或 ．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
①如图1，
∵△ABD是准互余三角形，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
作DE⊥AB于点E，
则DC＝DE，AE＝AC＝6，
设DC＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
BE＝AB﹣AE＝4，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BD2＝DE2+BE2，
（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5；
②如图2，
∵△ABD是准互余三角形，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣＝．
综上所述：BD的长为5或．
故答案为：5或．
15．已知∠MON＝90°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，OA＝8，OB＝6，点C在线段AO上，△BCD和△BCO关于直线BC对称，若△ACD是直角三角形，则AC的长是 2或5 ．
解：①当∠DCA＝90°时，
∵△BCD和△BCO关于直线BC对称，
∴∠BCO＝∠DCB＝45°，
∴在Rt△OCB中，OC＝OB＝6，
∴AC＝OA﹣OC＝8﹣6＝2；
②当∠DAC＝90°时，
作DE⊥BC于点E，
∵∠DAC＝90°，DE⊥BC，OB⊥OA，
∴∠DAC＝∠DEO＝∠EOA＝90°，
∴四边形DEOA是矩形，
∴DE＝OA＝8，OE＝DA，
设DA＝x，
则BE＝OB﹣OE＝6﹣x，
∵△BCD和△BCO关于直线BC对称，
∴BD＝BO＝6，
∴BD2＝BE2+DE2，
∴62＝（6﹣x）2+82，
∴（6﹣x）2＝﹣28，
此方程无解，
∴此情况不存在；
③当∠CDA＝90°时，
∵∠BDC＝∠BOC＝90°，
∴∠CDA+∠BDC＝180°，
∴A、D、B三点共线，
∴AB2＝OB2+OA2＝62+82＝100，
∴AB＝10，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
设AC＝x，
则DC＝OC＝OA﹣AC＝8﹣x，
在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
即AC＝5，
综上所述，AC的长为2或5．
故答案为：2或5．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t
（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82
解得：t＝5，
若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；
（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82
解得：t＝11
答：当t为5或11时，能使DE＝CD．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）AC＝ 3 cm；
（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？
解：（1）如甲图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
又AB＝5cm，BC＝4cm，
∴＝3，
故答案为3；
（2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，
如乙图所示：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝，AE＝BE，
①当点P运动到点D时，
∵AB＝5cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度运动，
∴t1＝秒，
②当点P运动到点E时，设BE＝x，则EC＝4﹣x，
∵AE＝BE，
∴AE＝x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
AE2＝AC2+EC2
∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴AB+BE＝，
∴秒，
即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间t为秒或秒；
（3）运动过程中，△ACP是等腰三角形，
①当AP＝AC时，如丙图（1）所示：
∵AC＝3，∴AP＝3，
∴t1'＝3秒，
②当CA＝CP时，如丙图（2）所示：
若点P运动到P1时，AC＝P1C，过点C作CH⊥AB
交AB于点H，
∵，
AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴CH＝cm，
在Rt△AHC中，由勾股定理得，
AH＝＝cm，
又∵AP1＝2AH＝cm，
∴秒，
若点P运动到P2时，AC＝P2C，
∵AC＝3cm，
∴P2C＝3cm，
又∵BP2＝BC﹣P2C，
∴BP2＝1cm，
∴AP+BP2＝5+1＝6cm，
∴t4'＝6秒，
综合所述，△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或秒或6秒．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．
解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝，
∴由勾股定理可得BD＝＝2，
∵∠CBD＝30°，
∴DE＝BD＝×2＝1，
又∵Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠C＝45°，
∴由勾股定理可得CD＝＝．
19．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．
证明∵AC⊥BD，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ECD≌△BCA（SAS），
∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDC，
∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°，
∴DF⊥AB．
∴S△ABD＝S△BCE+S△ACD+S△ABE
＝a2+b2+c?EF，
∵S△ABD＝c?DF＝c（EF+DE）＝c（EF+c），
∴a2+b2+c?EF＝c（EF+c），
∴a2+b2＝c2．
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
解：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_