17.2 勾股定理的逆定理 高频易错题汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 17.2 勾股定理的逆定理 高频易错题汇编（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 371.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-03 19:21:40 | ||
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文档简介
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17.2 勾股定理的逆定理 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝30，b＝40，c＝50
2．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，4，3 B．2，5，4 C．5，8，10 D．6，3.6，4.8
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．下列是勾股数的一组是（ ）
A．1，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，7，12
6．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．
7．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
9．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（ ）
A．南偏西15°，3千米 B．北偏东15°，3千米
C．南偏西15°，3千米 D．南偏西45°，3千米
10．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）
A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对
二．填空题（共5小题）
11．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
12．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则斜边的长为 ．
13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
15．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
16．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
17．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
18．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
19．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
20．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/h的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行．3h后，甲船到达B岛，乙船到达C岛．若B、C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝30，b＝40，c＝50
解：A、∵7+24＞25，且72+242＝252，∴能构成直角三角形；
B、∵5+12＞13，且52+122＝132，∴能构成直角三角形；
C、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形；
D、∵30+40＞50，且302+402＝502，∴能构成直角三角形；
故选：C．
2．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
解：A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B．若BC＝，AC＝，AB＝，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故选：C．
3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，4，3 B．2，5，4 C．5，8，10 D．6，3.6，4.8
解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、22+42≠52，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、82+52≠102，不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、3.62+4.82＝62，能构成直角三角形，故此选项正确；
故选：D．
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；
B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形；
C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；
D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
5．下列是勾股数的一组是（ ）
A．1，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，7，12
解：A、∵12+32≠42，∴此选项不符合题意；
B、∵42+32＝52，∴此选项符合题意；
C、∵42+52≠62，∴此选项符不合题意；
D、∵52+72≠122，∴此选项不符合题意．
故选：B．
6．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．
解：A、∵72+242＝252，
∴7、24、25是一组勾股数，故本选项符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴32、42、52不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5和2.5不是正整数，
∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵和不是正整数，
∴、、不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
8．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
解：①3、4、5属于勾股数；
②、、不属于勾股数；
③0.3、0.4、0.5不属于勾股数；
④、、不属于勾股数；
∴勾股数只有1组．
故选：D．
9．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（ ）
A．南偏西15°，3千米 B．北偏东15°，3千米
C．南偏西15°，3千米 D．南偏西45°，3千米
解：根据行走的路线画出图形：
∵第一小组从营地出发向北偏东60°前进，第二小组向南偏东30°方向前进，
∵第一小组走的距离为3千米，第二小组走的距离为3千米，
而且他们行走的路线夹角为∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向南偏西15°，
在图示的三角形中可以运用勾股定理，
所以第一小组要行走的路程为＝千米．
故选：A．
10．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）
A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对
解：此题要分两种情况：
（1）当50是直角边时，所需木棒的长是＝10；
（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
解：∵52+122＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得：h＝，
故答案为．
12．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则斜边的长为 2或6 ．
解：根据勾股定理分两种情况：（1）当第三边为斜边时，第三边长＝＝2；
（2）当斜边为6时，
综上，斜边的长为2或6；
故答案为：2或6．
13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 （11，60，61） ．
解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝．
故答案是：．
15．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 15.6≤a≤16.6 ．
解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6≤a≤16.6．
故答案为：15.6≤a≤16.6．
三．解答题（共5小题）
16．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，
∴满足BD2+CD2＝BC2，
∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，
即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，
由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得x＝，
∴腰长为cm．
17．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42＝52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝，
∴根据勾股定理可得BD＝3，
又∵CD＝5，BC＝4，
∴CD2＝BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?AD+BC?BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．
19．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
解：∵42+32＝52，52+122＝132，
即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，
同理，∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝×3×4+×5×12
＝6+30
＝36．
答：这块钢板的面积等于36．
20．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/h的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行．3h后，甲船到达B岛，乙船到达C岛．若B、C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？
解：由题意得：∠CAE＝40°，∠PAB＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
由已知可得：AB＝16×3＝48（海里），
∵BC＝60海里，
∴AC＝＝＝＝36（海里），
36÷3＝12，
∴乙船的速度是12海里/h．
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17.2 勾股定理的逆定理 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝30，b＝40，c＝50
2．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，4，3 B．2，5，4 C．5，8，10 D．6，3.6，4.8
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．下列是勾股数的一组是（ ）
A．1，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，7，12
6．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．
7．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
9．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（ ）
A．南偏西15°，3千米 B．北偏东15°，3千米
C．南偏西15°，3千米 D．南偏西45°，3千米
10．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）
A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对
二．填空题（共5小题）
11．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
12．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则斜边的长为 ．
13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
15．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
16．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
17．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
18．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
19．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
20．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/h的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行．3h后，甲船到达B岛，乙船到达C岛．若B、C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝5，b＝13，c＝12
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝30，b＝40，c＝50
解：A、∵7+24＞25，且72+242＝252，∴能构成直角三角形；
B、∵5+12＞13，且52+122＝132，∴能构成直角三角形；
C、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形；
D、∵30+40＞50，且302+402＝502，∴能构成直角三角形；
故选：C．
2．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
解：A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B．若BC＝，AC＝，AB＝，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故选：C．
3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，4，3 B．2，5，4 C．5，8，10 D．6，3.6，4.8
解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、22+42≠52，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、82+52≠102，不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、3.62+4.82＝62，能构成直角三角形，故此选项正确；
故选：D．
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；
B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形；
C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；
D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
5．下列是勾股数的一组是（ ）
A．1，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，7，12
解：A、∵12+32≠42，∴此选项不符合题意；
B、∵42+32＝52，∴此选项符合题意；
C、∵42+52≠62，∴此选项符不合题意；
D、∵52+72≠122，∴此选项不符合题意．
故选：B．
6．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．
解：A、∵72+242＝252，
∴7、24、25是一组勾股数，故本选项符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴32、42、52不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5和2.5不是正整数，
∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵和不是正整数，
∴、、不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
8．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
解：①3、4、5属于勾股数；
②、、不属于勾股数；
③0.3、0.4、0.5不属于勾股数；
④、、不属于勾股数；
∴勾股数只有1组．
故选：D．
9．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（ ）
A．南偏西15°，3千米 B．北偏东15°，3千米
C．南偏西15°，3千米 D．南偏西45°，3千米
解：根据行走的路线画出图形：
∵第一小组从营地出发向北偏东60°前进，第二小组向南偏东30°方向前进，
∵第一小组走的距离为3千米，第二小组走的距离为3千米，
而且他们行走的路线夹角为∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向南偏西15°，
在图示的三角形中可以运用勾股定理，
所以第一小组要行走的路程为＝千米．
故选：A．
10．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）
A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对
解：此题要分两种情况：
（1）当50是直角边时，所需木棒的长是＝10；
（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
解：∵52+122＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得：h＝，
故答案为．
12．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则斜边的长为 2或6 ．
解：根据勾股定理分两种情况：（1）当第三边为斜边时，第三边长＝＝2；
（2）当斜边为6时，
综上，斜边的长为2或6；
故答案为：2或6．
13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 （11，60，61） ．
解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝．
故答案是：．
15．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 15.6≤a≤16.6 ．
解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6≤a≤16.6．
故答案为：15.6≤a≤16.6．
三．解答题（共5小题）
16．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，
∴满足BD2+CD2＝BC2，
∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，
即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，
由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得x＝，
∴腰长为cm．
17．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42＝52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝，
∴根据勾股定理可得BD＝3，
又∵CD＝5，BC＝4，
∴CD2＝BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?AD+BC?BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．
19．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
解：∵42+32＝52，52+122＝132，
即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，
同理，∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝×3×4+×5×12
＝6+30
＝36．
答：这块钢板的面积等于36．
20．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/h的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行．3h后，甲船到达B岛，乙船到达C岛．若B、C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？
解：由题意得：∠CAE＝40°，∠PAB＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
由已知可得：AB＝16×3＝48（海里），
∵BC＝60海里，
∴AC＝＝＝＝36（海里），
36÷3＝12，
∴乙船的速度是12海里/h．
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