18.1 平行四边形 高频易错题汇编（含解析）

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18.1 平行四边形 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
2．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（　　）
A．2cm B．8cm C．8或2cm D．不能确定
3．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
4．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段CD的长度
5．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形，……如此操作下去，那么第5个三角形直角顶点的坐标为（　　）
A．（﹣，） B．（﹣）
C．（﹣） D．（﹣）
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．如图，BC＝6，D、E分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段DE的长是（　　）
A．6 B．5 C．4.5 D．3
8．如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…依此类推，第2006个三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
10．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二．填空题（共5小题）
11．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　 　cm．
12．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为　 　．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝　 　°．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　 　．
15．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，求两平行线l1和l2之间的距离．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．
19．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，连结CD和EF．
（1）求证：DE＝CF
（2）求EF的长．
20．如图，?ABCD的周长为26cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，求AB，BC的长．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC＝4cm．
故选：B．
2．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（　　）
A．2cm B．8cm C．8或2cm D．不能确定
解：有两种情况，如图：
（1）直线a与c的距离是3厘米+5厘米＝8厘米；
（2）直线a与c的距离是5厘米﹣3厘米＝2厘米；
故选：C．
3．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
解：A、∵CE⊥b，FG⊥b，∴FG∥EC，故此选项正确，不符合题意；
B、∵a∥b，FG∥EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴FG＝EC，故此选项正确，不符合题意；
C、A、B两点的距离就是线段AB的长，此选项正确，不符合题意；
D、直线a、b间的距离就是线段CE的长，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
4．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段CD的长度
解：由图可得，a∥b，AP⊥a，
∴直线a与直线b之间的距离是线段PA的长度，
故选：A．
5．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形，……如此操作下去，那么第5个三角形直角顶点的坐标为（　　）
A．（﹣，） B．（﹣）
C．（﹣） D．（﹣）
解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；
第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；
第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
第4个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
第5个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
故选：B．
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
解：如图，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴Rt△ACF中，EF＝AC＝＝5，
∴DE＝1+5＝6；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝12，
故选：B．
7．如图，BC＝6，D、E分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段DE的长是（　　）
A．6 B．5 C．4.5 D．3
解：如图，∵D、E分别是线段AB和线段AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC．
又BC＝6，
∴DE＝3．
故选：D．
8．如图所示，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…依此类推，第2006个三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
解：△ABC的周长为1，新的三角形的三条边为△ABC的三条中位线，
根据中位线定理，三条中位线之和为三角形三条边的，
所以第2个三角形周长为；
第3个三角形的周长为；
以此类推，第N个三角形的周长为；
所以第2006个三角形的周长为．
故选：D．
9．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　）
A．1 B． C．2 D．3
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故选：C．
10．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　7或17　cm．
解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当AB，CD在EF同侧时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
12．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为　6cm或2cm　．
解：分为两种情况：当M在a、b之间时，如在M′点时，直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm＝6cm；
当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm＝2cm；
故答案为：6cm或2cm．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝　40　°．
解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，
∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PE∥BC，PF∥AD，
∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，
∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，
∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　1　．
解：∵AD平分∠ABC，CG⊥AD，∴∠GAF＝∠CAF，∠AFG＝∠AFC
在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝6，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1．
故答案为：1．
15．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是　（10，6）　．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∵A（8，0），
∴OA＝BC＝8，
∵C（2，6），
∴B（10，6），
故答案为：（10，6）
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，求两平行线l1和l2之间的距离．
解：如图，过点A作AC⊥l2于点C，
∵直线l1∥l2，AC⊥l2，
∴∠DAC＝90°，
∵∠DAB＝135°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
2AC2＝502，
∴
∴两平行线l1和l2之间的距离为25．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点
∴BD＝EC
∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点
∴FG∥BD，GF＝
FH∥EC，FH＝
∴FG＝FH；
（2）证明：由（1）FG∥BD
又∵∠A＝90°
∴FG⊥AC
∵FH∥EC
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A＝80°
∴∠FKC＝∠A＝80°
∵FH∥EC
∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°
18．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB＝AF＝6，BD＝DF，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵BD＝DF，E为BC的中点，
∴DE＝CF＝2．
19．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，连结CD和EF．
（1）求证：DE＝CF
（2）求EF的长．
解：（1）证明：∵DE分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
又∵，
∴DE＝CF；
（2）∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴，CD⊥AB，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
即，
∴CD＝3，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝3．
20．如图，?ABCD的周长为26cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，求AB，BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多3cm，
∴（OA+OB+AB）﹣（OB+OC+BC）＝8cm，
即AB﹣BC＝3cm，①
∵平行四边形ABCD的周长为26cm，
∴AB+BC＝13cm，②
由①②得到：AB＝8cm，BC＝5cm．
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