18.2 特殊的平行四边形 高频易错题汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 18.2 特殊的平行四边形 高频易错题汇编（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 538.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-03 00:00:00 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
18.2 特殊的平行四边形 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
2．如图，△ABC中，∠A＝67.5°，BC＝4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点．以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是（ ）
A．2﹣ B．﹣1 C．2﹣ D．
3．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝30° B．AD＝BD
C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B＝2∠A，则△BCD是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
5．如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，下列结论中错误的有（ ）
（1）∠ACD＝∠ECB；（2）CD垂直平分线段EB；（3）点E在线段AC的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．110°
9．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．邻边相等
10．下列说法错误的是（ ）
A．16的平方根为±4
B．?组对边平行，?组对?相等的四边形是平行四边形
C．?限不循环小数是无理数
D．对?线相等的四边形是矩形
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则BC的长是 ．
13．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为 ．
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为 ．
15．两组邻边分别相等的四边形是菱形．
三．解答题（共5小题）
16．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，求CD的长．
18．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
19．如图，在菱形中ABCD中，∠ABC＝60°，点F为AD边上一点，连接BF交对角线AC于点G．
（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；
（2）如图2，已知点E为AB边上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC＝60°，CH＝2BH，求证：AH⊥CE．
20．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故选：C．
2．如图，△ABC中，∠A＝67.5°，BC＝4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点．以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是（ ）
A．2﹣ B．﹣1 C．2﹣ D．
解：如图所示，连接DE，过E作EH⊥OD于H，
∵BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点，
∴DE＝DC＝BC＝DO＝DB＝2，
∴∠DCE＝∠DEC，∠DBO＝∠DOB，
∵∠A＝67.5°，
∴∠ACB+∠ABC＝112.5°，
∴∠CDE+∠BDO＝（180°﹣2∠DCE）+（180°﹣2∠DBO）
＝360°﹣2（∠DCE+∠DBO）
＝360°﹣2×112.5°
＝135°，
∴∠EDO＝45°，
∴Rt△DEH中，DH＝cos45°×DE＝，
∴OH＝OD﹣DH＝2﹣，
点E的横坐标是2﹣，
故选：A．
3．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝30° B．AD＝BD
C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形
解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD＝BD，故B选项正确；
又∵CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∴∠ACB＝180°×＝90°，故C选项正确；
∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；
故选：A．
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B＝2∠A，则△BCD是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
解：∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
①CD＝AB时，则BD＝CD＝AD，
在△ACD中，∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，
在△BCD中，∠BCD＝∠B＝2∠A，
所以，∠B＝∠BCD＝∠BDC，
所以，△BCD是等边三角形，
②CD≠AB时，BD＝AD≠CD，
在△ACD中，∠BDC＝∠A+∠ACD≠2∠A，
在△BCD中，∠BCD≠∠B，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B、∠BCD、∠BDC三个角没有确定关系，
△BCD的形状无法确定．
综上所述，△BCD是任意三角形．
故选：D．
5．如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，下列结论中错误的有（ ）
（1）∠ACD＝∠ECB；（2）CD垂直平分线段EB；（3）点E在线段AC的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个
解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，
∴AE＝CE＝EB，∠A+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB，故（1）正确；
∴点E在线段AC的垂直平分线上，故（3）正确；
∵不能得出CE＝CB，
∴（2）错误；
故选：B．
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，
故选：D．
7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC
解：A选项：若AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
C选项：当BC＝CD时，△ABC≌△ACD（SAS），
∴∠A＝∠C．
∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°．
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC．
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．
故选：D．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．110°
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故选：B．
9．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．邻边相等
解：A、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；
B、对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，不符合题意；
C、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，符合题意；
D、邻边相等是菱形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；
故选：C．
10．下列说法错误的是（ ）
A．16的平方根为±4
B．?组对边平行，?组对?相等的四边形是平行四边形
C．?限不循环小数是无理数
D．对?线相等的四边形是矩形
解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．
C、无理数是?限不循环小数，故本选项说法正确．
D、对?线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝ ．
解：如图所示，连接DH，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴H为BC的中点，
又∵D为AC的中点，
∴DH为△ABC的中位线，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∴△DEH∽△BEA，
∴＝＝＝，
又∵BD＝3，
∴BE＝2，
∴Rt△BEH中，EH＝＝，
∴AE＝2EH＝2，
故答案为：2．
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则BC的长是 ．
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4．
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
13．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为 54°或144° ．
解：如图，当点F在BD上时，
∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴DC＝AB＝DB，
∴∠CDB＝180°﹣2∠B，
∵DE＝DF，
∴△DEF中，∠DFE＝（180°﹣∠EDF）
＝（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
＝（108°﹣∠CDB）
＝54°﹣∠CDB
＝54°﹣（180°﹣2∠B）
＝∠B﹣36°，
∵∠CEF是△AEF的外角，
∴∠CEF＝∠A+∠AFE
＝90°﹣∠B+∠B﹣36°
＝54°，
当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，
∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，
故答案为：54°或144°．
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为 3 ．
解：连接AC，过点F作FM⊥AC于M，作FN⊥BC延长线于N，连接AF、EF，
∵四边形ABCD是菱形，且∠D＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠FCN＝∠D＝60°＝∠FCM，
∴FM＝FN，
∵FG垂直平分AE，
∴AF＝EF，
∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），
∴∠AFM＝∠EFN，
∴∠AFE＝∠MFN，
∵∠FMC＝∠FNC＝90°，∠MCN＝120°，
∴∠MFN＝60°，
∴∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴FG＝AG＝，
∴当AE⊥BC时，Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵AB＝4，
∴BE＝2，AE＝2，
∴当AE⊥BC时，即AE＝2时，FG最小，最小为3；
故答案为：3．
参考第二种解法如下：取AB中点点P，连接PG，如图所示，
∵GF垂直平分AE，
∴AG＝EG，GF⊥AE，
∵AP＝BP，
∴PG＝BE，
由此可见，当点P，G，F共线时，GF有最小值，
此时PF⊥AE于点G，AE⊥BC，
∴PF＝AD＝AB＝4，PG＝BE＝×2＝1，
∴GF＝PF﹣PG＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
15．两组邻边分别相等的四边形是菱形． ×
解：根据菱形的定义判定菱形时，两组邻边分别相等且平行的四边形为菱形，故题目中的命题错误．
故答案为×．
三．解答题（共5小题）
16．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，求CD的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝3，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝．
18．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，
∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
19．如图，在菱形中ABCD中，∠ABC＝60°，点F为AD边上一点，连接BF交对角线AC于点G．
（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；
（2）如图2，已知点E为AB边上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC＝60°，CH＝2BH，求证：AH⊥CE．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵CF⊥AD，
∴AF＝DF＝3，
由勾股定理得：CF＝＝3，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD＝90°，
∵BC＝6，
Rt△BCF中，BF＝＝3，
∵AF∥BC，
∴＝，
∴BG＝2FG，
∴FG＝BF＝，
（2）如图2，∵∠FHC＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°＝∠BHC，
∠AFC＝∠HBC，
∴△BHC∽△FAB，
∴，
∵CH＝2BH，
∴AB＝2AF，
∴F是AD的中点，
∵△ADC是等边三角形，
∴∠ACF＝∠ACD＝30°，
∵∠CAF＝∠FHC＝60°，
∴A、H、C、F四点共圆，
∴∠AHC+∠AFC＝180°，
∵∠AFC＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AH⊥CE．
20．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴AC＝DE，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC，
∴DE＝AF，
同理可得：EF＝AD，
∴四边形ADEF平行四边形；
（2）答：△ABC满足AB＝AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．理由如下：
若四边形DAFE是菱形，
则AD＝AF，
∵△ABD，△ACF都是等边三角形，
∴AD＝AB，AF＝AC，
∴AB＝AC，
但当AB＝AC＝BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了，四边形ADEF不存在．
故当AB＝AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．
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18.2 特殊的平行四边形 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
2．如图，△ABC中，∠A＝67.5°，BC＝4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点．以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是（ ）
A．2﹣ B．﹣1 C．2﹣ D．
3．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝30° B．AD＝BD
C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B＝2∠A，则△BCD是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
5．如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，下列结论中错误的有（ ）
（1）∠ACD＝∠ECB；（2）CD垂直平分线段EB；（3）点E在线段AC的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．110°
9．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．邻边相等
10．下列说法错误的是（ ）
A．16的平方根为±4
B．?组对边平行，?组对?相等的四边形是平行四边形
C．?限不循环小数是无理数
D．对?线相等的四边形是矩形
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则BC的长是 ．
13．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为 ．
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为 ．
15．两组邻边分别相等的四边形是菱形．
三．解答题（共5小题）
16．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，求CD的长．
18．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
19．如图，在菱形中ABCD中，∠ABC＝60°，点F为AD边上一点，连接BF交对角线AC于点G．
（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；
（2）如图2，已知点E为AB边上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC＝60°，CH＝2BH，求证：AH⊥CE．
20．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故选：C．
2．如图，△ABC中，∠A＝67.5°，BC＝4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点．以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是（ ）
A．2﹣ B．﹣1 C．2﹣ D．
解：如图所示，连接DE，过E作EH⊥OD于H，
∵BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点，
∴DE＝DC＝BC＝DO＝DB＝2，
∴∠DCE＝∠DEC，∠DBO＝∠DOB，
∵∠A＝67.5°，
∴∠ACB+∠ABC＝112.5°，
∴∠CDE+∠BDO＝（180°﹣2∠DCE）+（180°﹣2∠DBO）
＝360°﹣2（∠DCE+∠DBO）
＝360°﹣2×112.5°
＝135°，
∴∠EDO＝45°，
∴Rt△DEH中，DH＝cos45°×DE＝，
∴OH＝OD﹣DH＝2﹣，
点E的横坐标是2﹣，
故选：A．
3．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝30° B．AD＝BD
C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形
解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD＝BD，故B选项正确；
又∵CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∴∠ACB＝180°×＝90°，故C选项正确；
∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；
故选：A．
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B＝2∠A，则△BCD是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
解：∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
①CD＝AB时，则BD＝CD＝AD，
在△ACD中，∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，
在△BCD中，∠BCD＝∠B＝2∠A，
所以，∠B＝∠BCD＝∠BDC，
所以，△BCD是等边三角形，
②CD≠AB时，BD＝AD≠CD，
在△ACD中，∠BDC＝∠A+∠ACD≠2∠A，
在△BCD中，∠BCD≠∠B，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B、∠BCD、∠BDC三个角没有确定关系，
△BCD的形状无法确定．
综上所述，△BCD是任意三角形．
故选：D．
5．如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，下列结论中错误的有（ ）
（1）∠ACD＝∠ECB；（2）CD垂直平分线段EB；（3）点E在线段AC的垂直平分线上．
A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个
解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，
∴AE＝CE＝EB，∠A+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB，故（1）正确；
∴点E在线段AC的垂直平分线上，故（3）正确；
∵不能得出CE＝CB，
∴（2）错误；
故选：B．
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，
故选：D．
7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC
解：A选项：若AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
C选项：当BC＝CD时，△ABC≌△ACD（SAS），
∴∠A＝∠C．
∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°．
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC．
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．
故选：D．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．110°
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故选：B．
9．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．邻边相等
解：A、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；
B、对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，不符合题意；
C、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，符合题意；
D、邻边相等是菱形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；
故选：C．
10．下列说法错误的是（ ）
A．16的平方根为±4
B．?组对边平行，?组对?相等的四边形是平行四边形
C．?限不循环小数是无理数
D．对?线相等的四边形是矩形
解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．
C、无理数是?限不循环小数，故本选项说法正确．
D、对?线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝ ．
解：如图所示，连接DH，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴H为BC的中点，
又∵D为AC的中点，
∴DH为△ABC的中位线，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∴△DEH∽△BEA，
∴＝＝＝，
又∵BD＝3，
∴BE＝2，
∴Rt△BEH中，EH＝＝，
∴AE＝2EH＝2，
故答案为：2．
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则BC的长是 ．
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4．
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
13．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为 54°或144° ．
解：如图，当点F在BD上时，
∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴DC＝AB＝DB，
∴∠CDB＝180°﹣2∠B，
∵DE＝DF，
∴△DEF中，∠DFE＝（180°﹣∠EDF）
＝（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
＝（108°﹣∠CDB）
＝54°﹣∠CDB
＝54°﹣（180°﹣2∠B）
＝∠B﹣36°，
∵∠CEF是△AEF的外角，
∴∠CEF＝∠A+∠AFE
＝90°﹣∠B+∠B﹣36°
＝54°，
当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，
∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，
故答案为：54°或144°．
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为 3 ．
解：连接AC，过点F作FM⊥AC于M，作FN⊥BC延长线于N，连接AF、EF，
∵四边形ABCD是菱形，且∠D＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠FCN＝∠D＝60°＝∠FCM，
∴FM＝FN，
∵FG垂直平分AE，
∴AF＝EF，
∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），
∴∠AFM＝∠EFN，
∴∠AFE＝∠MFN，
∵∠FMC＝∠FNC＝90°，∠MCN＝120°，
∴∠MFN＝60°，
∴∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴FG＝AG＝，
∴当AE⊥BC时，Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵AB＝4，
∴BE＝2，AE＝2，
∴当AE⊥BC时，即AE＝2时，FG最小，最小为3；
故答案为：3．
参考第二种解法如下：取AB中点点P，连接PG，如图所示，
∵GF垂直平分AE，
∴AG＝EG，GF⊥AE，
∵AP＝BP，
∴PG＝BE，
由此可见，当点P，G，F共线时，GF有最小值，
此时PF⊥AE于点G，AE⊥BC，
∴PF＝AD＝AB＝4，PG＝BE＝×2＝1，
∴GF＝PF﹣PG＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
15．两组邻边分别相等的四边形是菱形． ×
解：根据菱形的定义判定菱形时，两组邻边分别相等且平行的四边形为菱形，故题目中的命题错误．
故答案为×．
三．解答题（共5小题）
16．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，求CD的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝3，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝．
18．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，
∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
19．如图，在菱形中ABCD中，∠ABC＝60°，点F为AD边上一点，连接BF交对角线AC于点G．
（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；
（2）如图2，已知点E为AB边上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC＝60°，CH＝2BH，求证：AH⊥CE．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵CF⊥AD，
∴AF＝DF＝3，
由勾股定理得：CF＝＝3，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD＝90°，
∵BC＝6，
Rt△BCF中，BF＝＝3，
∵AF∥BC，
∴＝，
∴BG＝2FG，
∴FG＝BF＝，
（2）如图2，∵∠FHC＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°＝∠BHC，
∠AFC＝∠HBC，
∴△BHC∽△FAB，
∴，
∵CH＝2BH，
∴AB＝2AF，
∴F是AD的中点，
∵△ADC是等边三角形，
∴∠ACF＝∠ACD＝30°，
∵∠CAF＝∠FHC＝60°，
∴A、H、C、F四点共圆，
∴∠AHC+∠AFC＝180°，
∵∠AFC＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AH⊥CE．
20．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．
（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）
∴AC＝DE，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC，
∴DE＝AF，
同理可得：EF＝AD，
∴四边形ADEF平行四边形；
（2）答：△ABC满足AB＝AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．理由如下：
若四边形DAFE是菱形，
则AD＝AF，
∵△ABD，△ACF都是等边三角形，
∴AD＝AB，AF＝AC，
∴AB＝AC，
但当AB＝AC＝BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了，四边形ADEF不存在．
故当AB＝AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．
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