人教版七年级数学下册：8.3 实际问题与二元一次方程组 课件（共57张PPT）

(共57张PPT)
温故知新
1.我们学过哪几种解二元一次方程组的方法？
2.解二元一次方程组的思想方法有哪些？
3.用加减法解二元一次方程组的特点、基本思路和主要步骤？
1.二元一次方程组
代入消元法
一元一次方程
2.代入消元法的一般步骤：
3.思想方法：转化思想、消元思想、方程（组）思想.
变
代
求
写
转化
我们学过哪几种解二元一次方程组的方法？
温故知新
主要步骤：
特点:
基本思路:
写解
求解
加减
二元
一元
加减消元:
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
同一个未知数的系数相同或互为相反数；
当未知数系数的绝对值不同时，先利用等式的
性质将其化为相同即可.
用加减法解二元一次方程组：
温故知新
一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程。因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。
——笛卡儿
笛卡儿，1596年3月31日生于法国都兰城。笛卡儿是伟大的数学家、哲学家、物理学家、生理学家，解析几何的创始人。
导入新课
8.3
实际问题与二元一次方程组
人教版七年级数学
下册
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题。
2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题。
3.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题。
列方程组解应用题的一般步骤
弄情题目中的数量关系,
设出两个未知数
列出方程组
分析题意，找出两个等量关系
用含未知数的一次式表示有关的量
根据等量关系列出方程组
解出方程组，求出未知数的值
检验求得的值是否正确和符合实际情形
写出答案
审
列
解
验
答
目标导航一
用二元一次方程组解决
简单的实际问题
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675
kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940
kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20
kg，每只小牛1天约需饲料7到8
kg.你认为李
大叔估计的准确吗？
合作与交流
问题1
题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量:每头大牛1天需用的饲料;
每头小牛1天需用的饲料.
问题2
题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用
饲料为xkg和ykg，
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.
+
=
675,
+
=
940.
30x
15y
42x
20y
解方程组：x=
,
y=
.
20
5
情况发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
+
=
42,
+
=
20.
8x
5y
4x
2y
解得：
x
=4
y
=
2
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
例1.甲．乙两种盐水各取100克混合，所得盐水含盐为10％，若甲种盐水取400克，乙种盐水取500克混合，所得盐水含盐为9％，问甲．乙两种盐水的浓度分别是多少？
1.盐水含盐为10％和盐水含盐为9％是什么意思？
？思考
4.设甲种盐水的浓度为x％，乙种盐水的浓度为y％，
怎样列方程组？
2.甲．乙两种盐水的浓度中的“浓度”指的是什么？
3.甲．乙两种盐水中的“盐”指的是什么？“盐水”又
指的是什么？
关于浓度问题的概念:
溶液＝溶质＋溶剂
溶质＝浓度×溶液
混合前溶液的和＝混合后的溶液
混合前溶质的和＝混合后的溶质
列方程组解应用题也要检验，既要代入方程组中，还要代入题目中检验。
依据是：
等量关系是：
补充内容：
解此方程组，得
x=19
y=1
即
x+y=20
4x+5y=81
答：甲种盐水的浓度为19％，乙种盐水的浓度为1％
。
解：设甲种盐水的浓度为x％，乙种盐水的浓度为y％
。
1
种情况
2
种情况
混合前
混合后
100
x％
400
x％
100
y％
500y％，
200×
10％
900×9%
探究4
例1．甲．乙两种盐水各取100克混合，所得盐水含盐为10％，
若甲种盐水取400克，乙种盐水取500克混合，所得盐水含盐
为9％，问甲．乙两种盐水的浓度分别是多少？
甲种盐水
含盐重量
乙种盐水
含盐重量
乙种盐水
含盐重量
甲种盐水
含盐重量
依题意，得
100
x％
+100
y％
=
200×
10％
400
x％
+
500y％=900×9%
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
验
答
用两个字母表示问题中的两个未知数
列出方程组
分析题意，找出两个等量关系
根据等量关系列出方程组
解方程组，求出未知数的值
检验求得的值是否正确和符合实际情形
写出答案
弄清题目中的数量关系，弄清题目中的条件
1.某车间有90名工人，每人每天平均能生产15个螺栓或24个螺帽，已知一个螺栓配两个螺帽，要使生产的螺栓和螺帽刚好配套，则生产螺帽和螺栓的人数分别为（
）
A.50人，40人
B.30人，60人
C.40人，50人
D.60人，30人
即学即练
即学即练
3.某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？
解：设甲种股票买x元，乙种股票买y元。
依题意，得
x+y=24000
15%
x
-
10%
y=1350
即
3x
-
2y=27000
x+y=24000
解此方程组，得
x=15000
y=9000
答：甲种股票买15000元，乙种股票买9000元。
即学即练
例2.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.
假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，
一段为下坡路.
平路：60
m/min
下坡路：80
m/min
上坡路：40
m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间=
_______．
路程=平均速度×时间
10
15
方法一（直接设元法）
平路时间
坡路时间
总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x
m，下坡路长y
m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700m.
方法二（间接设元法）
平路
距离
坡路距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,
上坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700m.
故
平路距离：60×（10-5）=300（m）
坡路距离：80×5=400（m）
目标导航二
用二元一次方程组解决
几
何
问
题
1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2.把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，
又有哪些折法？
●
●
●
●
即学即练
按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题。
归纳
例3.据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
请提取数学信息
转换成数学语言：
A
D
C
B
已知：长方形ABCD，
AB=CD=200m，
AD=BC=100m，
长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
这里研究的实际上是
什么
问题.
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
试着画一画
合作探究
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
合作探究
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1
:
2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
合作探究
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
x+y=200
解得
x=120
y=80
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种作物
解：
过点E作EF⊥AB，
交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
合作探究
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
合作探究
例4：
一个长方形，它的长减少4cm，宽增加
2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形
的面积相等，求原长方形的长与宽。
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
X-4
4
y
2
Ⅰ
Ⅱ
1.如下图,宽为50的长方形图案由10个全等的小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为
(
)
A.400
B.
500
C.
600
D.
40
000
A
x
y
设长为x，宽为y
即学即练
即学即练
目标导航三
用二元一次方程组解决
较复杂的实际问题
例5.
如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8
000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5
元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
·
长青化工厂
公路10千米
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表：
1.5×
20x
1.2×
110x
8
000x
1.5×
10y
1.2×
120y
1
000y
15
000
97
200
价
值（元）
铁路运费（元）
公路运费（元）
合
计
原料y吨
产品x吨
解:根据图表，列出方程组
解方程组得
x=300，
y=400.
8
000x-1
000y-15
000-97
200
=8000×300-1
000×400-15
000-97
200
=1
887
800（元）
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
1.5
×
20x+
1.5×10y=15
000，
1.2
×
110x+
1.2×120y=97
200.
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小
车一次可以运货35吨。
求：3辆大车与5辆小车一次可以运货
多少吨?
分析：要解决这个问题的关键是求每辆
大车和每辆小车一次可运货多少吨?
解决此题的
关键是什么？
即学即练
例6.用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮物流公司设计租车方案.
（1）题中的相等的关系是什么？
①
2辆A型、1辆B型车一次可运货10吨；
②1辆A型车、2辆B型车一次可运货11吨.
（2）设1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货
x吨、y吨，根据（1）中的相等的关系列方程组
（3）由（2）中x、y的取值，依题意可列出关于a、b的方程
则4b=
.由题意知，
a、b应为
，
因此可求出
a、b的取值.
3a+4b=31
31-3a
正整数
合作探究
某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，列方程组为（
）
A、
B、
C、
D、
?
í
ì
=
=
+
y
x
y
x
24
15
90
?
í
ì
=
=
+
y
x
y
x
24
30
90
?
í
ì
=
-
=
x
y
y
x
15
48
90
?
í
ì
=
-
-
=
y
x
x
y
24
)
15
(
2
90
即学即练
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）
解方程组
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
双检验
实际问题
的答案
代入法
加减法
（消元）
设未知数、列方程组
课堂小结
1.1611班与1612班举行球赛，买了a个篮球与b个足球练习，每个篮球300元，每个足球100元，共花费_________________
元
2.小白同学和小强去逛蔬果市场，小白买了a斤蔬菜b斤水果，小强同学买了c斤蔬菜和d斤水果，蔬菜每斤5元，水果每斤10元，请问卖蔬菜的老板共收到_________
元，卖水果的老板共收到___________元
（300a+100b）
（5a+5c）
（10b+10d）
检测目标
3.两种酒精,甲种含水15%,乙种含水5%,现在要配成含水12%的酒精500克.每种酒精各需多少克?
解此方程组，得
x=350
y=150
依题意，得
x+y=500
15%
x+5%
y=500×12%
即
x+y=500
3x+y=1200
答：甲种酒精取350克，乙种酒精取150克。
解：设甲种酒精取x克，乙种酒精取y克。
酒精重量
含水量
甲
种
乙
种
甲
种
乙
种
混合前
混合后
x克
y克
15%·x
5%·y
500克
500×12%
检测目标
4.用一些长短相同的小木棍按图所式，连续摆正方形或六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边。已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110个小木棍，问连续摆放了正方形和六边形各多少个？
…
…
检测目标
图形
连续摆放的个数
(单位：个)
使用小木棒的根数
(单位:根)
正方形
x
4+3(x-1)=3x+1
六边形
y
6+5(y-1)=5y+1
关系
正方形比六边形多
4
个
共用了
110
根小木棍
…
…
检测目标
检测目标
5.有一艘船,载重量是800吨
,
容积是795立方米
,
现在要装运生铁和棉花两种物质,生铁每吨的体积是0.3立方米
,
棉花每吨的体积是4立方米
,
生铁和棉花各装多少
,
才能充分利用船的载重量和容积?
6.已知一铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到车身完全通过桥共用1分钟,整列火车完全在桥上的时间为40秒.
车身长？火车行驶的速度？
检测目标
7.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍，服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A（单位：元）和辅助员工个人奖金B
（单位：元）两种标准发放，其中A
≥B
≥800，并且A,B都是100的整数倍.
（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数.
（2）求本次奖金发放的具体方案；
检测目标
（1）
①由“服务队有技术员工和辅助员工共15人”得相等关系：
由“技术员工人数是辅助员工人数的2倍”得相等关系：
②设该服务队有技术员工x人，辅助员工y人，根据①中的两个相等关系可列方程组
即该服务队有技术员工＿
人，辅助员工＿＿人
技术员+辅助员=15
技术员=辅助员×2
10
5
（2）
①由“服务队计划对员工发放奖金共计20000元”得相等关系：
据此可列关于A、B的二元一次方程：
技术人员奖金+辅助人员奖金=20000
10A+5B=20000
因为A
≥B
≥800并且A,B都是100的整数倍，所以：
当B=800时，A=
1600
当B=900时，A=
1550
（A不是100的整数倍，舍去）
当B=1000时，A=
1500
当B=1100时，A=
1450
（A不是100的整数倍，舍去）
当B=1200时，A=
1400
当B=1300时，A=
1350
（A不是100的整数倍，舍去）
当B=1400时，A=
1300
（A则B=4000-2A
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题