5.3 平行线的性质 高频易错题汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.3 平行线的性质 高频易错题汇编（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 407.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-03 22:03:29 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 平行线的性质 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（ ）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝45°，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．65° C．70° D．110°
3．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
5．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
6．下列语句中是命题的是（ ）
A．作线段AB＝CD B．两直线平行
C．对顶角相等 D．连接AB
7．下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
9．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
二．填空题（共5小题）
11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ ．
12．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝ ．
13．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°45'，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
14．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．
15．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
17．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
18．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
5.3 平行线的性质 高频易错题集
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（ ）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝48°15'，
又∵∠2＝18°45'，
∴∠BEC＝∠A+∠2＝67°，
故选：D．
2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝45°，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．65° C．70° D．110°
解：如图，∵直线l1∥l2，∠1＝65°，
∴∠AEF＝∠1＝65°，
∵∠A＝45°，
∴∠2＝∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝70°，
故选：C．
3．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
又∵EC⊥AB，
∴EC⊥CD，
∴∠2+∠ACE＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∴∠1与∠ACE互余；
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠1＝∠CAB，
∴∠1+∠B＝90°，
∴∠1与∠B互余；
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1与∠3互余，
综合所述，图中与∠1互余的角的个数为3，
故选：B．
4．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
5．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法是正确的；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法是错误的；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原来的说法是错误的；
④平行于同一直线的两条直线互相平行，原来的说法是正确的；
⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线互相平行，原来的说法是错误的；
⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，原来的说法是正确的．
故其中正确的有3个．
故选：C．
6．下列语句中是命题的是（ ）
A．作线段AB＝CD B．两直线平行
C．对顶角相等 D．连接AB
解：A、作线段AB＝CD，没有做出判断，不是命题；
B、两直线平行，没有做出判断，不是命题；
C、对顶角相等，是命题；
D、连接AB，没有做出判断，不是命题；
故选：C．
7．下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
解：（1）两点之间，线段最短，是命题；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；
故选：C．
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
解：连接BD，
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，A是真命题；
当AC＝BD时，EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，B是真命题；
当AC⊥BD时，EH⊥EF，
∴四边形EFGH为正方形，C是真命题；
顺次连接顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是不一定是直角梯形，D是假命题；
故选：D．
9．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①两直线平行，同位角相等，本说法是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，本说法是假命题；
③同角或等角的补角相等，本说法是真命题；
④三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，本说法是假命题；
故选：B．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
解：A、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的任何内角，本选项说法错误；
B、如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B，
但△ABC和△ABD不全等，本选项说法错误；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部，本选项说法错误；
D、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，本选项说法正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ 53° ．
解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
12．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝ 90° ．
解：∵AE∥BD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠3+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
13．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°45'，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 77°30′ ．
解：∵CD∥OB，
∴∠ADC＝∠AOB，
∵∠EDO＝∠ADC，
∴∠EDO＝∠AOB＝38°45′，
∴∠DEB＝∠AOB+∠EDO＝38°45′+38°45′＝77°30′，
故答案为：77°30′．
三．解答题（共5小题）
14．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．
解：（1）如图①所示：
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
又∵FG∥BE，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴∠DEB＝∠GFC；
（2）∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°．
如图①所示，理由如下：
又∵FG∥BE，
∴∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，
∴∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBG，
∴∠DEB+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵∠DEC＝∠DEB+∠BEG，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，
即三个角的和是一个定值；
（3）当点E在线段AC的延长线上时（2）结论仍然成立．
如图②所示，理由如下：
∵FG∥BE，
∴∠EGF+∠GEB＝180°，
∠BFG+∠FBE＝180°，
又∵BC∥DE，
∴∠BED＝∠FBC，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG
＝∠DEB+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝∠FBE+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝360°；
（4）点E在线段CA的延长线上时不成立．
如图③所示，理由如下：
∠EGF＝180°﹣∠CGF，
∠BFG＝180°﹣∠CFG，
∴∠EGF+∠BFG＝360°﹣（∠CGF+∠CFG），
又∵∠C＝180°﹣（∠CGF+∠CFG）
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠DEC，
∴∠EGF+∠BFG﹣∠DEC＝180°，
即点E在线段CA的延长线上时不成立．
15．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠AED与∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
17．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ABC+∠DEF＝180° ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ABC＝∠DEF ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，
由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
18．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
解：∵m+n＝﹣4，
∴m＝﹣4﹣n，
∴﹣4﹣n≥3n，
解得，n≤﹣1，
∵n＝﹣4﹣m，即﹣4﹣m≤﹣1，
∴m≥﹣3，
当m＝0时，n＝﹣4，符合题意，当（0，﹣4）不在第三象限，命题①是假命题；
动点（m，n）始终在以（﹣3，﹣1）为顶点的一条射线y＝﹣4﹣x上，命题②是真命题；
∵m≥3n，n≤﹣1，
∴≤3，即有最大值3，命题③是真命题．
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5.3 平行线的性质 高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（ ）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝45°，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．65° C．70° D．110°
3．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
5．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
6．下列语句中是命题的是（ ）
A．作线段AB＝CD B．两直线平行
C．对顶角相等 D．连接AB
7．下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
9．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
二．填空题（共5小题）
11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ ．
12．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝ ．
13．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°45'，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
14．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．
15．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
17．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
18．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
5.3 平行线的性质 高频易错题集
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（ ）
A．48°15' B．66° C．60°30' D．67°
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝48°15'，
又∵∠2＝18°45'，
∴∠BEC＝∠A+∠2＝67°，
故选：D．
2．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A＝45°，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．65° C．70° D．110°
解：如图，∵直线l1∥l2，∠1＝65°，
∴∠AEF＝∠1＝65°，
∵∠A＝45°，
∴∠2＝∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝70°，
故选：C．
3．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
又∵EC⊥AB，
∴EC⊥CD，
∴∠2+∠ACE＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∴∠1与∠ACE互余；
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠1＝∠CAB，
∴∠1+∠B＝90°，
∴∠1与∠B互余；
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1与∠3互余，
综合所述，图中与∠1互余的角的个数为3，
故选：B．
4．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
5．下列说法中：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法是正确的；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法是错误的；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原来的说法是错误的；
④平行于同一直线的两条直线互相平行，原来的说法是正确的；
⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线互相平行，原来的说法是错误的；
⑥连结A、B两点的线段的长度就是A、B两点之间的距离，原来的说法是正确的．
故其中正确的有3个．
故选：C．
6．下列语句中是命题的是（ ）
A．作线段AB＝CD B．两直线平行
C．对顶角相等 D．连接AB
解：A、作线段AB＝CD，没有做出判断，不是命题；
B、两直线平行，没有做出判断，不是命题；
C、对顶角相等，是命题；
D、连接AB，没有做出判断，不是命题；
故选：C．
7．下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
解：（1）两点之间，线段最短，是命题；
（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；
故选：C．
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
解：连接BD，
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，A是真命题；
当AC＝BD时，EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，B是真命题；
当AC⊥BD时，EH⊥EF，
∴四边形EFGH为正方形，C是真命题；
顺次连接顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是不一定是直角梯形，D是假命题；
故选：D．
9．下列命题①同位角相等；②相等的角是对顶角；③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：①两直线平行，同位角相等，本说法是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，本说法是假命题；
③同角或等角的补角相等，本说法是真命题；
④三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，本说法是假命题；
故选：B．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
解：A、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的任何内角，本选项说法错误；
B、如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B，
但△ABC和△ABD不全等，本选项说法错误；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部，本选项说法错误；
D、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，本选项说法正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ 53° ．
解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
12．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝ 90° ．
解：∵AE∥BD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠3+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
13．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°45'，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 77°30′ ．
解：∵CD∥OB，
∴∠ADC＝∠AOB，
∵∠EDO＝∠ADC，
∴∠EDO＝∠AOB＝38°45′，
∴∠DEB＝∠AOB+∠EDO＝38°45′+38°45′＝77°30′，
故答案为：77°30′．
三．解答题（共5小题）
14．已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．
解：（1）如图①所示：
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
又∵FG∥BE，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴∠DEB＝∠GFC；
（2）∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°．
如图①所示，理由如下：
又∵FG∥BE，
∴∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，
∴∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBG，
∴∠DEB+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵∠DEC＝∠DEB+∠BEG，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，
即三个角的和是一个定值；
（3）当点E在线段AC的延长线上时（2）结论仍然成立．
如图②所示，理由如下：
∵FG∥BE，
∴∠EGF+∠GEB＝180°，
∠BFG+∠FBE＝180°，
又∵BC∥DE，
∴∠BED＝∠FBC，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG
＝∠DEB+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝∠FBE+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝360°；
（4）点E在线段CA的延长线上时不成立．
如图③所示，理由如下：
∠EGF＝180°﹣∠CGF，
∠BFG＝180°﹣∠CFG，
∴∠EGF+∠BFG＝360°﹣（∠CGF+∠CFG），
又∵∠C＝180°﹣（∠CGF+∠CFG）
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠DEC，
∴∠EGF+∠BFG﹣∠DEC＝180°，
即点E在线段CA的延长线上时不成立．
15．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
16．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．
解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠AED与∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
17．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ABC+∠DEF＝180° ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ABC＝∠DEF ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，
由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
18．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
命题①：点（m，n）必在第三象限．
命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．
命题③：有最大值3．
解：∵m+n＝﹣4，
∴m＝﹣4﹣n，
∴﹣4﹣n≥3n，
解得，n≤﹣1，
∵n＝﹣4﹣m，即﹣4﹣m≤﹣1，
∴m≥﹣3，
当m＝0时，n＝﹣4，符合题意，当（0，﹣4）不在第三象限，命题①是假命题；
动点（m，n）始终在以（﹣3，﹣1）为顶点的一条射线y＝﹣4﹣x上，命题②是真命题；
∵m≥3n，n≤﹣1，
∴≤3，即有最大值3，命题③是真命题．
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