鲁教版（五四制）八年级数学下学期《6.2矩形的性质与判定》同步练习卷（Word版 含答案）

6.2 矩形的性质与判定
一．选择题
1．如图，?ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD
2．如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（　　）
A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
3．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是（　　）
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．∠ADB＝90° C．BE⊥DC D．CE⊥DE
二．填空题
6．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是　 　．
7．如图，已知四边形ABCD，从下列任取3个条件组合，使四边形ABCD为矩形，把可能情况写出来（只填写序号即可，要求至少要写二个）
（1）AB∥CD （2）AC＝BD （3）AB＝CD
（4）OA＝OC （5）∠ABC＝90°（6）OB＝OD
　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD和CD的中点，EF＝3，则BD的长为　 　．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为　 　．
10．如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为　 　．
三．解答题
11．如图，在?ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
12．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
13．如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC＝2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
14．在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，AE＝CF，连结BF、AF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4．则AF长为　 　．
15．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝　 　，EF＝　 　
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
参考答案
一．选择题
1． A．
2． B．
3． D．
4． A．
5． C．
二．填空题
6．四边形是矩形
7．解：（1）（4）（6）（对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形）（1）（3）（5）一个角为90°的平行四边形为矩形．
8．答案为：6
9． 答案为：1．
10． 6.5或8或18．
三．解答题
11．证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形．
12．（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE＝∠FBC，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：
∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴平行四边形ABCD是矩形．
13．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE中，∵AE＝3，DE＝4，
∴AD＝＝5，
∴DF＝5，
∵四边形DEBF是矩形，
∴BE＝DF＝5，BF＝DE＝4，∠ABF＝90°，
∴AB＝AE+BE＝8，
∴AF＝＝＝4；
故答案为：4．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
16．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
17．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝?EC?OF＝1．