人教版 九年级数学下册 第27章 相似 突破训练（Word版 含答案）

人教版 九年级数学下册 第27章 相似 突破训练
一、选择题
1. (2019?雅安)若，且，则的值是
A．4 B．2
C．20 D．14
2. （2020·永州）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A. B. 25 C. 35 D. 63
3. 已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．5
4. （2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5
5. （2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（ ）
A． B． C． D．
6. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（） C．（） D．（﹣2，﹣1）
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　　　　　
二、填空题
9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ▲ ．
10. （2020·吉林）如图，．若，，则______．
11. (2019?吉林)在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为__________m．
12. (2019?烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，与是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为__________．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．
14. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．
三、解答题
15. (2019?广东)如图，在中，点是边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若，求的值．
16. （2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图是的重心.求证：.
17. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于点D，DE交BC于点F，且EF＝EC.
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若BD＝4，BC＝8，⊙O的半径OB＝5，求EC的长．
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 突破训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】由a∶b=3∶4知，所以．
所以由得到：，
解得．所以．
所以．故选A．
2. 【答案】B
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
3. 【答案】A　
4. 【答案】C
【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC与△DEF位似，且，∴，因此本题选C．
5. 【答案】D
【解析】∵A（1,2）,B（1,1），C（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．
6. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．
7. 【答案】B
【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝，可得C（）因此本题选B．
8. 【答案】A　【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，＝，解得x＝1，∴DE的长为1.
二、填空题
9. 【答案】
【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．
10. 【答案】10
【解析】∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
11. 【答案】54
【解析】设这栋楼的高度为h m，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为60 m，
∴，解得h=54(m)．故答案为：54．
12. 【答案】
【解析】如图，连接并延长，并延长，与的交点即为位似中心P点，
由图可知、B、P在一条直线上，则P点横坐标为–3，
由图可得和的位似比为，，
所以，解得PB=2，
所以P点纵坐标为2，即P点坐标为．故答案为：．
13. 【答案】 　[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB＝1.
∵AB∥CD，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∴＝，∴＝.
∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△BDC，∴＝＝.
∵CD＝2，∴PQ＝.
14. 【答案】(－4，－8)或(4，8)
【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．
三、解答题
15. 【答案】
(1)如图所示：
(2)∵，
∴．
∴．
16. 【答案】
证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴
∴AD=3DG，
即AD=3GD．
17. 【答案】
【思维教练】(1)要证△ADE∽△ABC，现已知∠EAD＝∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由两角对应相等即可得证；(2)由(1)中的结论，利用相似三角形的性质求解即可．
(1)证明：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
在△AEF和△ACG中，
∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C.(2分)
在△ADE和△ABC中，
∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；(4分)
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
∴＝＝，(6分)
又∵△AEF∽△ACG，∴＝＝.(8分)
18. 【答案】
解：(1)证明：如图，连接OC.∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵DE⊥AB，
∴∠OBC＋∠DFB＝90°.
∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB＋∠ECF＝90°，∴OC⊥CE.
又∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线．
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝6.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB.
又∵∠ABC＝∠FBD，∴△ABC∽△FBD，
∴＝，∴＝，
∴BF＝5，∴CF＝BC－BF＝3.
∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠FCE＝90°，
∴∠ACO＝∠FCE.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.
∵∠FCE＝∠EFC，
∴∠ACO＝∠FCE＝∠CAO＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，∴＝，
∴EC＝＝＝.