均值不等式与最大值、最小值
一、复习巩固
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4
B．2
C．8
D．16
解析：由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立．故选B.
答案：B
2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：因为＋＝，所以a，b同号且均大于零，由均值不等式可得＝＋≥2，所以ab≥2.
当且仅当＝时取等号，所以ab最小值为2.
答案：C
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C.
D.
解析：由题意知，x＋2y＝8－x·2y≥8－2，整理得(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，故选B.
答案：B
4．若a，b都是正数，则(1＋)·(1＋)的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：∵a，b都是正数，∴(1＋)(1＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．
答案：C
5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A.
B.
C．2
D.
解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案：C
6．已知x＞0，y＞0且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2，
∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2，
∴4≤4xy－2，
则(－2)(＋1)≥0，
∴≥2，∴xy≥2.
答案：D
7．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，所以≥1；
又≥M恒成立，所以M≤1，
即M的最大值为1.
答案：A
8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝·6＋4x＝＋4x≥2＝240.
当且仅当＝4x，即x＝30时，y取最小值．
答案：30
9．已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
解析：∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3，即ab≥9.
10．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，求＋的最小值．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当a＝2b＝时取等号．
二、综合应用
11．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4
B．a＋b≥2
C．2＜a＋b＜4
D．a＋b＞4
解析：因为a＋b＋＋＝(a＋b)(1＋)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4.
答案：A
12．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )
A.
B.
C.
D．L2
解析：设菜园的长为x，宽为y，
则x＋2y＝L，面积S＝xy，
因为x＋2y≥2.所以xy≤＝.
当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时，
Smax＝，故选A.
答案：A
13．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16.
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
答案：m≥6
14．已知直线l：ax＋by－ab＝0(a＞0，b＞0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．
解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝＞0，所以a－3＞0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．
答案：5＋2
15．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．
解析：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－(＋)＋.
当x＜时，有3－2x＞0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
16．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900
m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1
m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1
m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3
m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解析：(1)由题设，得S＝(x－8)(－2)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8＜x＜450，
所以2x＋≥2＝240，
当且仅当2x＝，即x＝60时等号成立，
从而S≤－240＋916＝676.
故当矩形温室的室内长为60
m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676
m2.
PAGE均值不等式
一、复习巩固
1．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2
B．(－a)＋(－)≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋(－)2≤－2
答案：C
2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0
A．m>n
B．mC．m＝n
D．m≤n
解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．
所以m>n.
答案：A
3．已知0A.
B.
C.
D.
解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：B
4．已知y＝x＋－2(x<0)，则y有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
答案：C
5．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由均值不等式可知D项正确．
答案：D
6．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．
答案：C
7．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(aA．aB．v＝
C.D．v＝
解析：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.
答案：A
8．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
答案：≤
9．下列不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________．
解析：由均值不等式可知②④正确．
答案：2
10．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥()2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式是________．
解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
答案：①②
二、综合应用
11．若－4＜x＜1，则f(x)＝( )
A．有最小值1
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
答案：D
12．已知x≥1，则函数f(x)＝的最大值是________．
解析：∵x≥1，∴f(x)＝＝≤＝.当且仅当x＝且x≥1，即x＝2时等号成立．
答案：
13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为x＞a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥.即a的最小值为.
答案：
14．设x＞0，求证：x＋≥.
证明：因为x＞0，所以x＋＞0，
所以x＋＝x＋
＝x＋＋－≥2－＝.
当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立．
15．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.
求证：＋＋＜＋＋.
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得
2≥2(＋＋)，
又因为a，b，c不全相等，所以＋＋＜＋＋.
16．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
PAGE一元二次不等式的解法
一、复习巩固
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：②④一定是一元二次不等式．
答案：B
2．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|x2＜4}，则( )
A．M∩N＝?
B．M∩N＝M
C．M∪N＝M
D．M∪N＝R
解析：M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，
∴M∩N＝M.故选B.
答案：B
3．不等式x(2－x)＞3的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1}
D．?
解析：将不等式化为标准形式x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为?.
答案：D
4．关于x的不等式mx2－ax－1＞0(m＞0)的解集可能是( )
A.
B．R
C.
D．?
解析：因为Δ＝a2＋4m＞0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点．又m＞0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.
答案：A
5．若a＜0，则关于x的不等式a(x＋1)＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜－}
B．{x|－＜x＜－1}
C．{x|x＜－}∪{x|x＞－1}
D．{x|x＜－1}∪{x|x＞－}
答案：D
6．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为( )
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝6
D．a＝－1，c＝－6
解析：易知a＜0，且?
答案：B
7．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵t∈(0,1)时，t＜，
∴原不等式的解集为.
答案：D
8．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a＋b的值是________．
答案：－14
9．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．
解析：由Δ＝(m－3)2－4m≥0可得m≥9或m≤1.
答案：m≤1或m≥9
10．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
答案：k≤2或k≥4
二、综合应用
11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜－2}∪{x|x＞1}
D．{x|－1＜x＜2}
解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故不等式的解集是{x|－2＜x＜1}．
答案：B
12．已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是( )
A．{x|x≤－1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x<0}∪{x|x≥1}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥1}
解析：转化为或
∴x≤－1或x≥1.
答案：D
13．不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0.
其中正确结论的序号是________．
解析：由ax2－bx＋c>0的解集为{x|－0.
又＝－＋2>0，∴b<0.
∵－1?{x|－又1∈{x|－∴a－b＋c>0，故③⑤正确．
答案：③⑤
14．若关于x的不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1解析：∵不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1∴1，m是方程x2－3x＋t＝0的两根，
∴解得∴t＋m＝4.
答案：4
15．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，解不等式ax2＋bx－1>0.
解析：因为方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，
得
解得a＝－2，b＝3.
ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0，
即2x2－3x＋1<0，解得所以不等式ax2＋bx－1>0的解集为{x|16．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2＋bn<(an＋b)x.
解析：(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根且a>0，b≥1.
由一元二次方程根与系数的关系式
解得
所以a＝1，b＝2.
(2)由(1)知a＝1，b＝2，故原不等式可化为x2－(2＋n)x＋2n<0，即(x－2)(x－n)<0.
①当n>2时，原不等式的解集为{x|2②当n＝2时，原不等式的解集为?.
③当n<2时，原不等式的解集为{x|nPAGE不等式的解集
一、复习巩固
1．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是( )
答案：D
2．不等式|x－3|＜2的解集是( )
A．{x|x＞5或x＜1}
B．{x|1＜x＜5}
C．{x|－5＜x＜－1}
D．{x|x＞1}
解析：不等式|x－3|＜2等价为－2＜x－3＜2，解得1＜x＜5，即原不等式的解集为{x|1＜x＜5}，故选B.
答案：B
3．不等式的解集是( )
A．{x|x<－2}
B．{x|x≤3}
C．{x|－2D．{x|－2解析：由可得，则x<－2，故选A.
答案：A
4．关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是( )
A．(－∞，－1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．[－1,2]
解析：x≥1时，x＋x－1≥3，解得：x≥2，
0＜x＜1时，x＋1－x≥3，不成立，
x≤0时，－x＋1－x≥3，解得：x≤－1，
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
故选C.
答案：C
5．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，则实数a＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意可得，不等式|ax＋1|≤3，即－3≤ax＋1≤3，即－4≤ax≤2，由解集为{x|－2≤x≤1}，
∴a＝2，故选B.
答案：B
6．关于x的不等式|2x＋3|≥3的解集是________．
解析：∵|2x＋3|≥3，
∴2x＋3≥3或2x＋3≤－3，
解得x≥0或x≤－3，
故不等式的解集是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．
答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)
7．不等式|x－8|≥2的解集为________．
解析：∵|x－8|≥2，
∴x－8≥2或x－8≤－2，
解得x≥10或x≤6，
故不等式的解集是{x|x≥10或x≤6}．
答案：{x|x≥10或x≤6}
8．不等式|x＋1|<2x－1的解集为________．
解析：∵|x＋1|＜2x－1，
∴或，
解得x＞2，
故不等式的解集是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
9．解不等式组：.
解析：解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞－3，
所以不等式组的解集为(－3,1]．
二、综合应用
10．不等式组的正整数解的个数是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：解不等式1－2x＜3，得：x＞－1，
解不等式≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为{x|－1＜x≤3}，
所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，
故选C.
答案：C
11．不等式1≤|2x－1|＜2的解集为( )
A.∪
B.
C.∪
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：由题意得，解得－＜x≤0或1≤x＜，故不等式的解集是∪，故选C.
答案：C
12．不等式|3x－12|≤9的整数解个数是( )
A．7
B．6
C．5
D．4
解析：原不等式|3x－12|≤9可化为－9≤3x－12≤9，
∴1≤x≤7.又x∈Z，
∴x的取值为1,2,3,4,5,6,7，
∴不等式|3x－12|≤9的整数解的个数为7.
故选A.
答案：A
13．已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是( )
A.≤a＜1
B.≤a≤1
C.＜a≤1
D．a＜1
解析：由x＞2a－3和2x≥3(x－2)＋5，解得：2a－3＜x≤1，
由关于x的不等式组
仅有三个整数解，
解得－2≤2a－3＜－1，
解得≤a＜1，
故选A.
答案：A
14．解下列不等式：
(1)|2x－1|＜x；
(2)|2x－3|＋|x－1|≥5.
解析：(1)x≥时，2x－1＜x，解得x＜1，
x＜时，1－2x＜x，解得x＞，
∴不等式的解集是.
(2)原不等式可化为或或
解得x≤－或x≥3，
故不等式的解集为.
15．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1.已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．
(1)写出a所满足的不等式；
(2)数－3,0,4所对应的点到点B的距离小于3吗？
解析：(1)根据题意得：|a－1|<3，
得出－2(2)由(1)得：到点B的距离小于3的数在－2和4之间，
∴在－3,0,4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3.
PAGE不等式的证明
一、复习巩固
1．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．
答案：B
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
解析：反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
答案：C
3．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
解析：“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
答案：C
4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．③①②
解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
答案：D
5．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0
B．b>a
C．aD．ab(a－b)<0
解析：由a，但>不能推出a∴a的一个充分不必要条件．
答案：C
6．设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A、B的大小关系为________．
解析：∵A－B＝－＝＝≥0.
∴A≥B.
答案：A≥B
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
解析：∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c，
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
答案：a>c>b
8．已知三个不等式：①>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
解析：对不等式②作等价变形：>?>0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③?②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①②?③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③?①.因此可组成3个正确的命题．
答案：3
9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
证明：假设a，b，c均小于1，
即a<1，b<1，c<1，
则有a＋b＋c<3.
由已知可得，a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，这与a＋b＋c<3矛盾，故假设不成立，
即a，b，c至少有一个不小于1.
二、综合应用
10．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
解析：∵P>0，Q>0
∴要比较P、Q的大小关系，
只需比较P2、Q2的大小关系，
∵P2＝a＋a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝a＋3＋a＋4＋2·
＝2a＋7＋2.
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7)．
∴Q2>P2.
∴P答案：C
11．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
答案：A
12．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________．
解析：由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.8，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
答案：12
13．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
解析：因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．
答案：丙
15．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明：当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式成立．
PAGE不等式及其性质
一、复习巩固
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200
B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200
D．5x＋4y≤200
解析：据题意知，500x＋400y≤20
000，即5x＋4y≤200，故选D.
答案：D
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
D．M≤－5
答案：A
3．已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d
B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d
D．6ad解析：由于b<2a,3d答案：C
4．若a>b，x>y，下列不等式不正确的是( )
A．a＋x>b＋y
B．y－aC．|a|x＞|a|y
D．(a－b)x>(a－b)y
解析：当a≠0时，|a|>0，|a|x>|a|y，当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y，故选C.
答案：C
5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>>
B.>>a
C.>a>
D.>>a
解析：取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a.
答案：D
6．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．MB．M>N
C．M＝N
D．不确定
解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1
＝(a－1)(b－1)．
∵a，b∈(0,1)，∴a－1<0，b－1<0，
∴M－N>0，∴M
＞N.
答案：B
7．已知a>b，不等式：①a2>b2；②>；③>成立的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意可令a＝1，b＝－1，此时①不对，③中，此时a－b＝2，有<，故③不对，令a＝－1，b＝－2，此时②不对，故选A.
答案：A
8．给出下列结论：
①若a②若<<0，则a>b；
③若a>b，c>d，则a－c>b－d；
④若a>b，c>d，则ac>bd.
其中正确的结论的序号是________．
答案：②
9．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1>0.
故a2＋b2＋c2>2(a＋b＋c)－4.
答案：>
10．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
答案：－1≤a－b≤6
二、综合应用
11．下列命题中，一定正确的是( )
A．若a>b，且>，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b，且ac>bd，则c>d
解析：对于A，∵>，∴>0，
又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正确；
对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错；
对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C错；
对于D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错．故选A.
答案：A
12．已知实数a，b，c满足b－a＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a
B．a>c≥b
C．c>b>a
D．a>c>b
解析：∵b－a＝6－4a＋3a2＝3(a－)2＋>0，
∴b>a，∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，
∴c≥b>a.
答案：A
13．已知a，b为非零实数，且a①a2b解析：对于①，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于②，∵a0，∴<成立；
对于③，当a＝－1，b＝1时，
＝＝－1，故不成立．
答案：②
14．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围是________．
解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)
＝(a＋4b)x－(a＋b)y，
∴?
∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，
∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，
又－4≤x－y≤－1，
∴－6≤9x－3y≤9.
答案：[－6,9]
15．(1)比较x2＋3与3x的大小；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解析：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥>0，所以x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
因为a>0，b>0，且a≠b，
所以(a－b)2>0，a＋b>0，
所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
16．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．
解析：由于＋－(＋)
＝－＋－＝－
＝(a－b)(－)＝(a－b)·.
∵a－b＝(－)(＋)，
∴(a－b)·＝(－)2·，
∵a>0，b>0，∴＋>0，>0.
又∵(－)2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，
∴(－)2·≥0.
∴＋≥＋(当且仅当a＝b时等号成立)．
PAGE方程组的解集
一、复习巩固
1．下列方程组是二元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
2．二元一次方程组的解是( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
3．解三元一次方程组的具体过程如下：
(1)②－①，得b＝2，④
(2)①×2＋③，得4a－2b＝7.⑤
(3)所以
(4)把④代入⑤，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)．其中错误的一步是( )
A．(1)
B．(2)
C．(3)
D．(4)
答案：B
4．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y钱，可列方程(组)为( )
A.
B.
C.＝
D.＝
答案：A
5．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
6．二元一次方程组的解集是________．
答案：{(x，y)|(3，－2)}
7．若二元一次方程组的解为，则a－b＝________.
答案：
8．已知方程组则x∶y∶z＝________.
解析：把z看作已知数，解关于x，y的方程组即可．
答案：1∶2∶3
9．方程组的解集是________．
答案：{(x，y)|(－1,0)，(4,5)}
二、综合应用
10．为了丰富学生课外小组活动，培养学生的动手操作能力，王老师让学生把5
m长的彩绳截成2
m或1
m长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，不同的截法种数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设截成2
m长的彩绳x根，1
m长的彩绳y根，根据题意，得2x＋y＝5.显然，x，y均为非负整数，符合题意的解为因此，共有3种不同的截法．
答案：C
11．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如4◆3，因为4＞3.所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组，则x◆y＝________.
解析：由题意可知：，
解得：.
∵x＜y，
∴原式＝5×12＝60.
答案：60
12．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________．
答案：
13．在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝2；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝12.则a＝________，b＝________，c＝________.
解析：分别把x，y的三组值代入原等式中，可以得到关于a，b，c的三元一次方程组解方程组得
答案：1 3 2
14．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解析：设每餐甲、乙两种原料各需x
g，y
g，则有下表：
甲原料x
g
乙原料y
g
所配的营养品
其中所含蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
(0.5x＋0.7y)单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
(x＋0.4y)单位
根据题意及上述表格，可列方程组
化简，得
①－②，得y＝30，
把y＝30代入②中，得x＝28.
答：每餐需甲种原料28
g，乙种原料30
g.
PAGE一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一、复习巩固
1．把方程2x2－3x＋1＝0化为(x－k)2＝t的形式，正确的是( )
A.2＝16
B．22＝16
C.2＝
D．22＝
答案：C
2．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
解析：∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，
∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，
则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，
解得b＝4.
故选A.
答案：A
3．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞
B．m＞且m≠2
C．－＜m＜2
D.＜m＜2
答案：D
4．若2x2＋1与4x2－2x－5互为相反数，则x的值为( )
A．－1或
B．1或－
C．1或－
D．－1或
答案：C
5．如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值范围为( )
A．m＞
B．m＞
C．m＝
D．m＝
解析：∵一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝9－8m＝0，解得m＝.故选C.
答案：C
6．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是________．
解析：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，
∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m＝4.
答案：4
7．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2
019的值为________．
解析：由题意可知：2m2－3m－1＝0，
∴2m2－3m＝1，
∴原式＝3(2m2－3m)＋2
019＝2
022.
答案：2
022
8．利用求根公式解方程3x2－2x－2＝0.
解析：x＝＝，
即x1＝，x2＝，
∴原方程的解为x1＝，x2＝.
二、综合应用
9．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
答案：B
10．已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )
A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
D．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
解析：∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，
∴
∴b＝a＋1或b＝－(a＋1)．
当b＝a＋1时，有a－b＋1＝0，此时－1是方程x2＋bx＋a＝0的根；
当b＝－(a＋1)时，有a＋b＋1＝0，此时1是方程x2＋bx＋a＝0的根．
∵a＋1≠0，
∴a＋1≠－(a＋1)，
∴1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根．
故选D.
答案：D
11．规定：a?b＝(a＋b)b，如：2?3＝(2＋3)×3＝15，若2?x＝3，则x＝________.
解析：依题意得：(2＋x)x＝3，
整理，得x2＋2x＝3，
所以
(x＋1)2＝4，
所以x＋1＝±2，
所以x＝1或x＝－3.
答案：1或－3
12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为________．
解析：解方程x2－10x＋21＝0得x1＝3，x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7.
∴这个三角形的周长是3＋6＋7＝16.
答案：16
13．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2.当k＝1时，求x＋x的值．
解析：(1)∵方程①有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4×1×k2＞0，
解得k＞－.
∴k的取值范围是k＞－.
(2)当k＝1时，方程①为x2＋3x＋1＝0，
∴由根与系数的关系可得
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝9－2＝7.
PAGE等式的性质与方程的解集
一、复习巩固
1．下列各种变形中，不正确的是( )
A．由2＋x＝5可得到x＝5－2
B．由3x＝2x－1可得到3x－2x＝－1
C．由5x＝4x＋1可得到4x－5x＝1
D．由6x－2x＝－3可得到6x＝2x－3
答案：C
2．将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为( )
A．(x＋5)(x－1)
B．(x－5)(x＋1)
C．(x＋5)(x＋1)
D．(x－5)(x－1)
解析：x2＋4x－5＝(x＋5)(x－1)，故选A.
答案：A
3．若一元二次方程x2－8x－3×11＝0的两根为a、b，且a＞b，则a－2b＝( )
A．－25
B．－19
C．5
D．17
解析：(x－11)(x＋3)＝0，
x－11＝0或x＋3＝0，
所以x1＝11，x2＝－3，
即a＝11，b＝－3，
所以a－2b＝11－2×(－3)＝11＋6＝17.
故选D.
答案：D
4．下列变形一定正确的是( )
A．若ax＝bx，则
a＝b
B．若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1
C．若x＝y，则x－5＝5－y
D．若x＝y，则＝
解析：正确运用等式的性质2进行变形时，应注意字母的取值范围．
答案：D
5．要在二次三项式x2＋( )x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是( )
A．1，－1
B．5，－5
C．1，－1,5，－5
D．以上答案都不对
解析：－6可以分成：－2×3,2×(－3)，－1×6,1×(－6)，( )中填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1,5，－5.故选C.
答案：C
6．因式分解：2x2－8＝________.
答案：2(x＋2)(x－2)
7．分解因式：2x3－6x2＋4x＝________.
解析：2x3－6x2＋4x
＝2x(x2－3x＋2)
＝2x(x－1)(x－2)．
答案：2x(x－1)(x－2)
8．若a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝________.
解析：∵a＋b＝4，ab＝1，
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)
＝1×4
＝4.
答案：4
9．方程x2－4x－12＝0的解集为________．
解析：因为x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝0，所以(x－2)2＝42，解得x＝－2或x＝6.
答案：{－2,6}
10．分解因式：
(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(2)－8a2b＋2a3＋8ab2.
解析：(1)原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y)．
(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2.
二、综合应用
11．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k的值为( )
A．11
B．22
C．11或22
D．11的倍数
答案：A
12．若x2－y2＋mx＋5y－6能分解为两个一次因式的积，则m的值为( )
A．1
B．－1
C．±1
D．2
解析：x2－y2＋mx＋5y－6＝(x＋y)(x－y)＋mx＋5y－6，
－6可分解成(－2)×3或(－3)×2，因此，存在两种情况：
由(1)可得m＝1，
由(2)可得m＝－1.
故选C.
答案：C
13．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________．
解析：∵a＋b＝4，a－b＝1，
∴(a＋1)2－(b－1)2
＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)
＝(a＋b)(a－b＋2)
＝4×(1＋2)
＝12.
答案：12
14．若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为________．
解析：∵a＋b＝2，ab＝－3，
∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2
＝－3×4
＝－12.
答案：－12
15．分解因式：(1)x2－4x－12；
(2)a2＋ab－2b2；
(3)x3－x2－20x.
解析：(1)x2－4x－12＝x2－4x＋4－16
＝(x－2)2－42＝(x－2＋4)(x－2－4)
＝(x＋2)(x－6)．
(2)a2＋ab－2b2＝a2＋ab＋b2－b2
＝2－2
＝
＝(a＋2b)(a－b)．
(3)x3－x2－20x＝x(x2－x－20)
＝x
＝x
＝x
＝x
＝x(x＋4)(x－5)．
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