第2课时 充要条件
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解充要条件的含义．
数学抽象逻辑推理
2.会证明充要条件的关系.
授课提示：对应学生用书第17页
[教材提炼]
知识点 充要条件
1．一般地，如果p?q且qp，则称p是q的充分不必要条件．
2．一般地，如果pq且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
3．一般地，如果p?q且q?p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p?q.
[自主检测]
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
2．“ab＝0”是“a＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
4．p：|a|＋|b|＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
授课提示：对应学生用书第17页
探究一 充要条件的判断
[例1] 已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为( )
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③
B．①②
C．①②③
D．①②③④
[解析] 首先我们应搞清楚Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知：上述①②③是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的．
[答案] D
当p是q的充要条件正确时，p是q的充分条件及p是q的必要条件将都是正确的，故上述结论③正确时，结论①②也正确．应该指出的是：p是q的充分条件包含了两种可能：p是q的充分不必要条件与p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包含了两种可能：p是q的必要不充分条件与p是q的充要条件．其实结论④可进一步明确成：Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分不必要条件．
给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
其中p是q的充要条件的有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
解析：对(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q?p，但pq，p是q的必要不充分条件；对(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|?(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2?x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2?xy＝|xy|?xy≥0，所以p是q的充要条件；对(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－，所以p?q但qp，p是q的充分不必要条件；对(4)，|x－1|＞2?x＞3或x＜－1，所以pq但q?p，所以p是q的必要不充分条件．综上可知选A.
答案：A
探究二 证明充要条件
[例2] 已知⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d.
求证d＝r是点P在⊙O上的充要条件．
[证明] (充分性)根据圆的定义，
当d＞r，P在圆外．
d＜r时，P在圆内．
故当d＝r时，点P在圆上
(必要性)若P在⊙O上，则满足P到⊙O的距离d＝r.
证明充要条件，即证明条件的充分性和必要性．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0.
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
探究三 利用充要条件求参数
[例3] 求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
[解析] ①当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－为一负根．
当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝＜0，x1＋x2＝－＞0，为一正根、一负根．
当a＞0时，得0＜a≤1.
综上：a≤1.
充要条件是一种等价转化，解决问题的关键就是找清原问题的充要条件．
函数y＝x2－2x－a的图像与x轴无交点的充要条件是________．
解析：Δ＝4＋4a＜0，
∴a＜－1.
答案：a＜－1
授课提示：对应学生用书第18页
一、识得庐山真面目——转化与化归思想的应用
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，转化的唯一原则就是“等价”，而“等价”就是“寻找充要条件”的关系．
[典例] 设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A?B，所以m＋1＞3，即m＞2.
[答案] m＞2
二、转化不等价致错
[典例] 设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B?A，则实数m的取值范围是________．
[解析] ①当B≠?时，则有
解得1≤m≤3；
②当B＝?时，2m＞m＋3，解得m＞3.
综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．
[答案] {m|m≥1}
纠错心得 此题求解时只求了一种情况，当B≠?时，1≤m≤3，而实际与B?A等价的有B≠?与B＝?两种情况.
PAGE1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件
内 容 标 准
学 科 素 养
1.根据具体命题，明确条件与结论的关系．
数学抽象、逻辑推理
2.针对具体命题理解必要条件、充分条件的意义.
授课提示：对应学生用书第15页
[教材提炼]
知识点 充分条件与必要条件
命题真假
若“p，则q”为真命题
若“p，则q”为假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了结论成立的充分条件性质定理给出了结论成立的必要条件
[自主检测]
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．无法判断
答案：A
2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)
答案：充分
3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)
答案：必要
授课提示：对应学生用书第15页
探究一 充分条件、必要条件的判定
[例1] 指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB.
[解析] (1)这是一条平行四边形的判定定理，p?q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．
(2)这是三角形相似的一条性质定理，p?q，所以q是p的必要条件．p是q的充分条件．
(3)这是一条菱形的性质定理，p?q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．
(4)这是线段平分线的性质p?q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中p与q的条件关系，只需判断是否有“p?q”，即“若p，则q”是否为真命题．只有p?q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果p?q，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．
(1)“xy为无理数”是“x，y为无理数”的____________．
(2)“x是无理数”是“x2也是无理数”的________．
答案：(1)既不充分也不必要 (2)必要条件
探究二 充分条件、必要条件与集合的关系
[例2] 指出下列各组题中，p是q的什么条件．
(1)p：x＜1，q：x≤2；
(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；
(3)p：0＜x＜5，q：0＜x≤3.
[解析] (1)∵{x|x＜1}?{x|x≤2}，
即p?q但q?p.
p是q的充分不必要条件．
(2)p：?{(x，y)|xy＞0}
p?q但qp.
p是q的充分不必要条件．
(3)p：{x|0＜x＜5}?{x|0＜x≤3}
pq但q?p.
∴p是q的必要不充分条件．
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
①若A?B，则p是q的充分条件．
②若B?A，则p是q的必要条件．
③若A?B且BA，即A?B，则p是q的充分不必要条件．
④若B?A且AB，即B?A，则p是q的必要不充分条件．
⑤若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
“x＜1”是“＞1”的________条件．(充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)
解析：∵＞1即0＜x＜1，
∴{x|x＜1}?{x|0＜x＜1}．
答案：必要不充分
探究三 由充分，必要条件求参数
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
将条件关系转化为集合的包含关系．从而建立参数的不等式(组)求解.
将例3中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
所以或
解不等式组得m＞9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
授课提示：对应学生用书第16页
一、“充分”与“必要”的孪生兄弟关系
对于一个命题“若p则q”，研究p与q的条件关系时．
一要明确所问：“p是q的什么条件”还是“q是p的什么条件”．
二要明确推导关系，即原命的真假，对于同一个推理形式“p?q”而言，“p是q”的充分条件，同时“q是p”的必要条件．二者是同一个问题、相伴孪生．
就命题而言，如果将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．
结论
原命题
逆命题
p与q的关系
真
假
p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件
假
真
p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件
假
假
p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件
即：
(1)若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若pq，且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
[典例] p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件．s是r的必要条件，也是q的充分条件．判断p是q的什么条件，p是s的什么条件．
[解析] 由题意得，p、q、r、s之间的关系．
如图：
p是q的充分不必要条件．
p是s的充分不必要条件．
二、混淆“充分条件”“必要条件”
[典例] 若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件．求m的范围．
[解析] 由题意得{x|x＜m}?{x|x＞2或x＜1}．
如图：
∴m≤1.
纠错心得 本题将条件关系转化为集合的真包含关系．借助数轴，易去掉m＝1或者将包含关系弄错．
PAGE1．2 常用逻辑用语
1．2.1 命题与量词
1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断．
数学抽象逻辑推理
2.理解全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的定义．
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
授课提示：对应学生用书第12页
[教材提炼]
知识点一 命题的概念与量词
全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
任意、所有、每一个
存在、有、至少有一个
符号
?
?
命题
含有全称量词的命题称为全称量词命题
含有存在量词的命题称为存在量词命题
命题形式
“对集合M中所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“?x∈M，r(x)”
“存在集合M中元素x，s(x)”，可用符号简记为“?x∈M，s(x)”
知识点二 命题的否定
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
2．若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
知识点三 含量词的命题的否定
p
綈p
结论
全称量词命题?x∈M，q(x)
?x∈M，綈q(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
[自主检测]
1．下列语句中是全称量词的命题有________，是存在量词命题的有________．
(1)2x＋1是整数；
(2)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数；
(3)至少有一个x∈Z，使2x＋1为整数；
(4)x∈R，|x|＋1≥1.
答案：(2)(4) (3)
2．判断下列全称量词命题的真假：
(1)每个四边形的内角和都是360°；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)?x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．
答案：(1)真 (2)假 (3)假
3．判断下列存在量词命题的真假：
(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；
(3)?x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．
答案：(1)真 (2)假 (3)真
4．写出下列命题的否定：
(1)?n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形．
答案：(1)?n∈Z，n?Q；
(2)存在一个数为奇数，它的平方不是奇数；
(3)存在一个平行四边形，不是中心对称图形．
授课提示：对应学生用书第13页
探究一 全称量词命题、存在量词命题的判断
[例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的平行四边形是菱形；
(3)有一个数是素数也是合数；
(4)菱形的对角线互相垂直．
[解析] (2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题．
判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质，只有全称量词才可省略.
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)负数没有倒数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除；
(3)?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)x＞7.
答案：(1)(3)(4)为全称量词命题
(2)为存在量词命题
探究二 全称量词命题、存在量词命题的真假
[例2] 判断下列命题的真假
(1)梯形的对角线相等；
(2)有些菱形是正方形；
(3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数．
[解析] (1)假：省略了全称量词，如直角梯形的对角线不相等．
(2)真：正方形是菱形的特例．
(3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍数．
1．全称量词命题真假的判断
对于全称量词命题“?x∈M，p(x)”：
(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)
2．存在量词命题真假的判断
对于存在量词命题“?x0∈M，p(x0)”：
(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)
(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
下列命题中是假命题的个数为________．
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数；
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(3)有些实数是无限不循环小数；
(4)存在一个三角形不是等腰三角形；
答案：0
探究三 含有量词的命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)p：?x＞1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[解析] (1)綈p：?x＞1，x2－2x－3≠0.假命题，如x＝3时，x2－2x－3＝0.
(2)綈p：任意素数不是奇数．假命题，如素数3为奇数．
(3)是全称命题，其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．是真命题，如a＝0、b＝0时，x∈R；a＝0、b≠0，解不存在．
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.真命题，如15.
1．全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
2．存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x0∈M，p(x0)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
解析：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
探究四 全称量词命题、存在量词命题的应用
[例4] (1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围；
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.
通过量词的意义及命题的真假，建立关于参数的不等式(组)或方程求解．
?a∈R，|a－1|＝1－a成立，求a的范围．
解析：由题意得a－1≤0，
∴a≤1.
授课提示：对应学生用书第14页
借问量词何处有——无量词命题的否定
1．量词的理解
通常量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词．全称量词，如“所有”“任何”“一切”等，其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物X来说，X都是F”．例句：“所有的鱼都会游泳”；存在量词，如“有”“有的”“有些”等，其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物X，X是F”．例句：“有的工程师是工人出身”．
2．全称量词命题与存在量词命题
判断一个命题为全称量词命题还是存在量词命题，关键是看命题中是否有全称量词和存在量词．
这里需要注意的是：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：(1)“末位是0的整数，可以被5整除”；(2)“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；(3)“负数的平方是正数”；(4)“梯形的对角线相等”都是全称命题，因此在判断是否为全称命题时要注意，这也是为后面学习全称命题的否定打好基础．
应当指出，同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择：
命题
全称量词命题“?x∈M，p(x)”
存在量词命题“?x∈M，p(x)”
表述方式
(1)所有的x∈M，p(x)成立(2)对一切x∈M，p(x)成立(3)对每一个x∈M，p(x)成立(4)任意一个x∈M，p(x)成立(5)凡x∈M，都有p(x)成立
(1)存在x∈M，使得p(x)成立(2)至少有一个x∈M，使p(x)成立(3)对有些x∈M，使p(x)成立(4)对某个x∈M，使p(x)成立(5)有一个x∈M，使p(x)成立
关键量词的否定
词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
词语的否定
一个也没有
至多有n－1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个成立
[典例] 写出下列命题的否定．
(1)若x2＞4，则x＞2.
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．
(3)可以被5整除的整数，末位是0.
(4)被8整除的数能被4整除．
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
[解析] (1)否定：存在实数x0，虽然满足x＞4，但x0≤2.或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x＞4.(原意表达为对任意的实数x，若x2＞4则x＞2)
(2)否定：虽然实数m≥0，但存在一个x0，使x＋x0－m＝0无实数根．(原意表达：对任意实数m，若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．)
(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等．(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等．)
PAGE第2课时 补集
内 容 标 准
学 科 素 养
1.在具体情境中，了解全集的含义．
数学抽象数学运算直观想象
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3.能使用Venn图表达补集的运算.
授课提示：对应学生用书第9页
[教材提炼]
知识点一 全集与补集
1．全集
(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
自然语言
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
知识点二 补集的性质
A∩?UA＝?，A∪?UA＝U.
[自主检测]
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则?UM＝( )
A．{2,4,6}
B．{1,3,5}
C．{1,2,4}
D．U
答案：A
2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则?UM＝( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜0，或x＞2}
D．{x|x≤0，或x≥2}
答案：A
3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(?UA)∩B＝________.
答案：{c，d}
4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.
答案：2
授课提示：对应学生用书第10页
探究一 补集的运算
[例1] (1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则?UA＝( )
A．{x|－2＜x＜2}
B．{x|x＜－2，或x＞2}
C．{x|－2≤x≤2}
D．{x|x≤－2，或x≥2}
[解析] 依题意，画出数轴，如图所示：
观察数轴可知，?UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案] C
(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且?UM?N，则必有( )
A．M??UN
B．M??UN
C．?UM＝?UN
D．M?N
[解析] 依据题意画出Venn图，
观察可知，M??UN.
[答案] A
(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.
[解析] 因为A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
求集合补集的两种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求?SA.
(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
解析：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：
由图知?SA＝{x|x＜－1，或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：
由图易知?SA＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：
由图知?SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．
探究二 集合交、并、补的综合运算
[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(?UB)＝( )
A．{2,5}
B．{3,6}
C．{2,5,6}
D．{2,3,5,6,8}
[解析] 因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以?UB＝{2,5,8}．
又A＝{2,3,5,6}，
所以A∩(?UB)＝{2,5}．
[答案] A
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP)．
[解析] 将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
?UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，
又P＝，
所以(?UB)∪P＝.
又?UP＝，
所以(A∩B)∩(?UP)
＝{x|－1＜x＜2}∩，
＝{x|0＜x＜2}．
解决集合交、并、补综合运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．
1．在本例(2)的条件下，求(?UA)∩(?UP)．
解析：画出数轴，如图所示：
观察数轴可知，
(?UA)∩(?UP)＝.
2．将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(?UB)．
解析：画出数轴，如图所示：
∴A∪(?UB)＝{x|x＜2，或3＜x≤5}．
探究三 根据补集的运算求参数的值或范围
[例3] 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，?UA＝{5}，求实数m.
[解析] 因为?UA＝{5}，所以5∈U但5?A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足?UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上，可知m＝3.
由集合的补集求参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解.
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求实数m的取值范围．
解析：因为A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x＜－m}．
又B＝{x|－2＜x＜4}，(?UA)∩B＝?，结合数轴(图略)分析可知－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.
授课提示：对应学生用书第11页
一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用
“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
[典例] 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x＜0，x∈R}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
[解析] 当A＝?时不符合题意，∴A≠?.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}
U＝.
若A∩B＝?，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有
因为m＝关于U的补集为?UM＝{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围为m≤－1.
二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件
[典例] 设全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?SA＝{5}，求实数a的值．
[解析] 由题意得a2＋2a－3＝5，
即a2＋2a－8＝0，
∴a＝－4或a＝2，
当a＝2时，|2a－1|＝3∈S，符合题意，
当a＝－4时，|2a－1|＝9?S，不符合题意，故a＝2.
纠错心得 求一个集合A的子集，首先A是全集的子集，如本题当a＝－4时A＝{9,2}不是S的子集，故求出a值还需检验．
PAGE1．1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集．
数学抽象、数学运算直观想象
2.理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集．
3.能使用Venn图表达集合的并集、交集
授课提示：对应学生用书第7页
[教材提炼]
知识点一 交集
1．交集的表示
2．交集的运算性质
(1)A∩B＝B∩A.
(2)A∩A＝A.
(3)A∩?＝?∩A＝?.
(4)如果A?B，则A∩B＝A，反之也成立．
知识点二 并集
1．并集
2．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A.
(2)A∪A＝A.
(3)A∪?＝?∪A＝A.
(4)如果A?B，则A∪B＝B，反之也成立．
[自主检测]
1．若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
答案：D
2．已知集合P＝{x|x＜3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∩Q＝( )
A．{x|－1≤x＜3}
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}
D．{x|x≥－1}
答案：A
3．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
4．设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________________.
答案：{x|x是等腰直角三角形}
授课提示：对应学生用书第7页
探究一 并集概念及简单应用
[例1] (1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝( )
A．{x|0≤x≤1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x＜1}
D．{x|x≤1}
[解析] M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．
[答案] A
(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．
[答案] A
求集合并集的两种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．
1．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，
∴A∪B＝A，即B?A.∴x2＝3，或x2＝x.
当x2＝3时，得x＝±，
若x＝，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，符合题意；
若x＝－，则A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，符合题意．
当x2＝x时，得x＝0，或x＝1，
若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
综上知，x＝±，或x＝0.故满足条件的实数x有3个．
答案：C
2．已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．则M∪N＝________.
解析：将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，
可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
答案：{x|x＜－5或x＞－3}
探究二 交集概念及简单应用
[例2] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{－2，－1,0,1,2}
[解析] 由题意知A∩B＝{0,2}．
[答案] A
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0}
B．{1}
C．{1,2}
D．{0,1,2}
[解析] 由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．
[答案] C
(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.
[解析] 借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．
求集合交集的两种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则( )
A．A∩B＝
B．A∩B＝?
C．A∪B＝
D．A∪B＝R
解析：由3－2x＞0，得x＜，
所以B＝，
又因为A＝{x|x＜2}，
所以A∩B＝，
A∪B＝{x|x＜2}．
答案：A
2．已知集合U＝R，集合M＝{x|－2≤x＜2}和N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
解析：由题意得，阴影部分所示的集合为M∩N，由N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}知N表示奇数集合，又由M＝{x|－2≤x＜2}得，在－2≤x＜2内的奇数为－1,1.
所以M∩N＝{－1,1}，共有2个元素．
答案：B
探究三 集合交、并集运算及应用
[例3] 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围．
(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．
[解析] (1)因为A∪B＝B，所以A?B，
观察数轴可知，所以≤a≤2.
(2)A∩B＝?有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．
观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，
所以0＜a≤或a≥4.
由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项
(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；
(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观；
(3)对于A∩B＝A的情况要考虑到A是否为?的情况.
1．本例条件下，若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．
解析：画出数轴如图．
观察图形可知
即a＝3.
2．若本例题变为：已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解析：由a＜a＋8，又B＝{x|x＜－1或x＞5}，
在数轴上标出集合A，B，如图．
∴，
∴－3≤a＜－1.
授课提示：对应学生用书第9页
一、并集元素个数何其多
(1)“或”的理解：“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B.
(2)一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
[答案] 8
二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用
[典例] 集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
[解析] (1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，
画出数轴如图所示．
由图可知，若A∩B＝?，则
解得－1≤a≤2.
(2)由A∩B＝A，得A?B.
则a＋3＜－1或a＞5，即a＜－4或a＞5.
纠错心得 由于A中含端点a、a＋3，而B中不含端点－1及5.根据A∩B＝?的含义，a＝－1，a＋3＝5时，也成立．而A?B时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．
PAGE1．1.2 集合的基本关系
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．能识别给定集合的子集．
数学抽象、直观想象数学运算
2.针对具体集合，利用集合包含关系求参数．
3.在具体情境中了解空集的含义.
授课提示：对应学生用书第4页
[教材提炼]
知识点一 子集与真子集
1．子集与真子集
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A称为集合B的子集
A?B(或B?A)
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集
A?B(或B?A)
2.维恩图
用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图称为维恩图．
3．子集、真子集的性质
(1)任何集合A都是它自身的子集，即A?A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即??A.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
(4)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
知识点二 集合相等与子集的关系
1．如果A?B，B?A，则A＝B；
2．如果A＝B，则A?B且B?A.
[自主检测]
1．下列关系式正确的是( )
A．{0}?{0}
B．{0}∈{0}
C．0＝{0}
D．0?{0}
答案：A
2．下列集合中是空集的是( )
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|x＜4或x＞8}
D．{x|x2＋2x＋1＝0}
答案：B
3．集合{a、b}的非空真子集为________．
答案：{a}，{b}
4．用适当的符号填空：
(1)a________{a，b，c}；
(2)?________{x∈R|x2＋7＝0}；
(3){0}________(x|x2＝x)．
答案：(1)∈ (2)＝ (3)?
授课提示：对应学生用书第5页
探究一 集合关系的判断
[例1] 已知集合M＝，N＝，P＝.试确定M，N，P之间的关系．
[解析] 集合M＝.
关于集合N：
①当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，
则N＝；
②当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，
则N＝
＝.
从而，得M?N.
关于集合P：①当p＝2m(m∈Z)时，
P＝；
②当p＝2m－1(m∈Z)时，
P＝
＝.
从而，得N＝P.综上，知M?N＝P.
判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
(3)数形结合法
利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．
1．集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是( )
A．A?B
B．A＝B
C．A?B
D．B?A
解析：∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴B?A.
答案：D
2．已知集合A＝{x|x＜－2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )
A．A＝B
B．A?B
C．B?A
D．A?B
解析：在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
答案：C
探究二 子集、真子集及个数问题
[例2] (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．
[答案] B
(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？
[解析] 子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，?共8个．
真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，?共7个．
(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？
[解析] 25＝32个．
1.元素个数与集合子集个数的关系
(1)探究．
集合A
集合A中元素的个数n
集合A子集个数
?
0
1
{a}
1
2
{a，b}
2
4
{a，b，c}
3
8
{a，b，c，d}
4
16
(2)结论．
①A的子集的个数有2n个．
②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．
③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．
2．求给定集合的子集的两个关注点
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集.
1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( )
A．－2
B．4
C．0
D．以上答案都不是
解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
答案：C
2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )
A．3
B．6
C．7
D．8
解析：由题意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6,8,12}，所以集合B的非空真子集个数为：23－2＝6.
答案：B
探究三 由集合间的关系求参数的取值范围
[例3] 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．
(2)若B?A，求实数a的取值集合．
[解析] (1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B?A.
(2)当B＝?时，满足B?A，此时a＝0；当B≠?时，a≠0，集合B＝{}，由B?A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.综上所述，实数a的取值集合为.
根据集合的包含关系求参数的两种方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若A?B，求a的取值范围．
解析：由题意，在数轴上表示出集合A，B，如图所示：
若A?B，由图可知，a＞2.
授课提示：对应学生用书第6页
一、相逢又相识——∈、?、?及0、{0}、?、{?}的区别与联系
1．元素与集合、集合与集合的关系．
“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．
“?或?”是两个集合之间的包含关系．
2．0、{0}、?、{?}的关系
(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，?，{?}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；
?为不含任何元素的集合；{?}为含有一个元素?的集合，此时?作为集合{?}的一个元素．
(2)联系：0∈{0},0??，0?{?}，??{0}，??{0}，??{?}，??{?}．
[典例] 已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．
[解析] 因为B?A，所以当x＋2＝3，即x＝1时，A＝{1,3,1}不满足互异性，所以x＝1(舍)．
当x＋2＝x2，即x＝2或x＝－1，
若x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足B?A；
若x＝－1时，A＝{1,3,1}不满足互异性．
综上，存在x＝2使得B?A.
此时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}．
二、?的呐喊——勿忘我
[典例] 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 当B＝?时，B?A
显然成立，
此时有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，如图．
则即
解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为{m|m≤4}．
[答案] {m|m≤4}
纠错心得 空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x|a＜x＜b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解题中要十分注意．
PAGE1．1 集合
1．1.1 集合及其表示方法
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
数学抽象数学建模
2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.
授课提示：对应学生用书第1页
[教材提炼]
知识点一 元素与集合的概念
1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．
2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．
3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作?.
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就记作a?A，读作a不属于集合A.
3．无序性：集合中的元素，可以任意排列，与次序无关．
知识点三 集合元素的特点
1．确定性：集合的元素必须是确定的．
2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
知识点四 集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合．
2．无限集：含有无限个元素的集合．
知识点五 几种常见的数集
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N
Z
Q
R
知识点六 集合的表示方法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．
2．描述法
(1)特征性质：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．
(2)描述法：用特征性质p(x)来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．
知识点七 区间及其表示
1．如果a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
定义
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x[自主检测]
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．与定点A，B等距离的点
B．高中学生中的游泳能手
C．无限接近10的数
D．非常长的河流
答案：A
2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案：D
3．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则?N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
答案：A
4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．
解析：描述法：{x∈N|0＜x＜6}，列举法：{1,2,3,4,5}．
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 集合的概念
[例1] 下列对象中可以构成集合的是( )
A．大苹果
B．小橘子
C．中学生
D．著名的数学家
[解析]
选项
正误
原因
A
×
大苹果到底以多重算大，标准不明确
B
×
小橘子到底以多重算小，标准不明确
C
√
中学生标准明确，故可构成集合
D
×
“著名”的标准不明确
[答案] C
判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．
给出下列元素
①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解；③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．
其中能组成集合的是( )
A．②
B．①③
C．②④
D．①②④
答案：A
探究二 元素与集合的关系
[例2] 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] 由∈N，x∈N知x≥0，＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2.当x＝0时，＝2∈N；当x＝1时，＝3∈N；当x＝2时，＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
[答案] 0,1,2
1．若本例2中集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如数2－1)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
解析：＝＋1＝1×＋1，
而1,1∈Z，所以＋1∈A，即∈A.
2．若本例2集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A，则10－x∈A”，则集合A中元素个数至多有多少个？
解析：由x∈A，则10－x∈A可得：x＞0,10－x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N
.
若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.
因此集合A中元素个数至多有9个．
答案：9
探究三 集合的表示
[例3] 奇数集合可表示为{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．
(1)用这样的方法表示偶数集．
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．
(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？
[解析] (1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}．
(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}．
1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N
＝{1,2,3，…}．
2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．
用另一种方法表示下列集合：
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；
(4){－3，－1,1,3,5}．
解析：(1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z且x＜5，
所以x＝0,1,2,3,4.
所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
探究四 集合元素的特性及应用
[例4] 已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．
[解析] 因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．
若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，
当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上可知，a＝0，或a＝1.
利用集合中元素的互异性求参数问题
(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；
(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是( )
A．0
B．0或1
C．1
D．不能确定
解析：集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－，此时A＝，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.
答案：B
授课提示：对应学生用书第3页
“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识
1．两步认识描述法表示的集合
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．
2．四个集合的区别
(1)A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R.
(2)B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此，B＝{y|y≥1}．
(3)C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合．
(4)P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.
[典例] 1.已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A
B＝{x|x∈A且x?B}，则集合A
B等于( )
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{1,3}
D．{2}
[解析] x＝1∈A,1?B；
x＝2∈A,2∈B；
x＝3∈A,2?B；
∴A
B＝{1,3}．
[答案] C
2．二次函数y＝x2－1上的图像上纵坐标为3的点的集合为________．
[解析] 点可看作由组成的解集可用描述法．
令y＝3得：x2－1＝3，所以x＝－2或x＝2.所以在y＝x2－1的图像上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．
[答案] {(－2,3)，(2,3)}或
PAGE