§1 变化的快慢与变化率
授课提示：对应学生用书第30页
一、平均变化率
定义
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)．它的平均变化率为
实质
函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的改变量(Δx＝x2－x1)的比值
作用
刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢
二、瞬时变化率
定义
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则当Δx趋于0时，平均变化率＝＝趋于函数在x0点的瞬时变化率
实质
平均变化率为当自变量的改变量趋于0时的值
作用
刻画函数值在x0点处变化的快慢
[疑难提示]
对平均变化率的正确理解
(1)Δx的意义：Δx是相对于x1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x1＋Δx代替x2.
(2)＝，式子中Δx，Δy的值都可正可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.
(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．
(4)为求点x0附近的平均变化率，上述表达形式常写为的形式．
[想一想]
1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么特征？
提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢．
[练一练]
2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
解析：根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
答案：D
3．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx________0.(填“>”“<”或“≠”)
答案：≠
授课提示：对应学生用书第31页
探究一 求平均变化率
[典例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[解析] (1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，
＝4×1＋2×＝5.
1．求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：
(1)先求Δx＝x2－x1；
(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)由定义求出＝.
2．理解平均变化率要注意以下几点：
(1)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；
(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式；
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
1．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．
解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)
＝－8Δx－2(Δx)2，
∴＝－8－2Δx.
即平均变化率为－8－2Δx.
2．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义．
解析：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5
＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.
当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，
所以平均变化率＝＝21.
(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，
所以平均变化率＝＝19.2.
(3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．
探究二 求瞬时变化率
[典例2] 在赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．
求：(1)t＝20，Δt＝0.1时，Δs与的值；
(2)求t＝20时的瞬时速度．
[解析] (1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．
＝＝210.5(m/s)．
(2)＝
＝5Δt＋210.
当Δt趋于0时，5Δt＋210→210(m/s)，
因此，t＝20时的瞬时速度为210
m/s.
1．求瞬时变化率时首先要明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．
2．瞬时速度是平均速度在时间改变量趋向于零时，平均变化率逼近的值．
3．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬间速度是( )
A．1米/秒
B．－1米/秒
C．2米/秒
D．－2米/秒
解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬间速度是－1米/秒．
答案：B
4．已知s(t)＝5t2，
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；
(3)求t＝3秒时的瞬时速度．
解析：(1)当3≤t≤3.1时，
Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05，
∴＝＝30.5(m/s)．
(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)
＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005，
∴＝＝30.05(m/s)．
(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，
即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)
∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32
＝5·Δt·(6＋Δt)，
∴＝＝30＋5Δt.
当Δt→0时，→30.
∴在t＝3时的瞬时速度为30
m/s.
探究三 变化率的应用
—
5．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，求割线的斜率．
解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以＝＝2＋Δx.
当Δx＝0.1时，2＋Δx＝2.1，所以直线PQ的斜率为2.1.
6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？
解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但<，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)写出r关于V的函数r(V)；
(2)当空气容量V从0增加到1
L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1
L增加到2
L时，气球的平均膨胀率又是多少？
(3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？
解析：(1)∵V＝πr3，∴r3＝，∴r＝(V>0)．
(2)由已知可得，气球的平均膨胀率为：.
∴由0
L到1
L的膨胀率为
＝≈0.62(dm/L)．
由1
L到2
L的膨胀率为：
＝－≈0.16(dm/L)．
(3)由(2)可知，随着气球体积的增大，它的半径增加得越来越慢，因此它的平均膨胀率逐渐减小．
无限逼近(极限)思想的应用
[典例] 求函数f(x)＝
在x＝1时的瞬时变化率．
[解析] 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
所以＝－.
当Δx趋于零时，无限趋近于常数－，
故函数f(x)＝在x＝1时的瞬时变化率为－.
[感悟提高] 定义法求函数瞬时变化率的步骤：
第一步：计算Δy；第二步：计算；第三步：求Δ
x趋于零时，的值．
PAGE2 导数的概念及其几何意义
授课提示：对应学生用书第32页
一、导数的概念
1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率＝＝趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率，也称为y＝f(x)在x0点的导数．
2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝li
＝li
.
二、与导数相关的概念
1．平均变化率与导数
平均变化率
导数
表达式
＝
f′(x0)＝li
几何意义
曲线y＝f(x)上过两点(x0，f(x0))和(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的割线的斜率
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
图示
2.切线的定义
如表中图，当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋向于点A，割线AB将绕点A转动，最后趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
[疑难提示]
利用导数的几何意义求过某点的切线方程的步骤
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
[想一想]
1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗？
提示：导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．
[练一练]
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
答案：C
3．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数的增量与自变量的增量之比
B．一个函数
C．一个常数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
答案：C
4．已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
解析：∵二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B.
答案：B
授课提示：对应学生用书第33页
探究一 导数概念的理解
[典例] (1)求函数y＝在x＝1处的导数；
(2)设f′(a)＝3，求
的值．
[解析] (1)∵f(x)＝，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝
＝＝.
当Δx→0时，→，∴f′(1)＝.
(2)∵
＝3，
∴
＝
＝
＋
＝f′(a)＋f′(a)＝2f′(a)＝6.
1．解答此类问题，应注意以下几条：
(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．
(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.
(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．
2．利用导数定义求函数y＝f(x)在某点处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝
.
1．一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
解析：因为＝＝＝3，
所以f′(2)＝
＝3.
f′(2)＝3的意义是：水流在2
s时的瞬时流量为3
m3/s，即如果保持这一速度，每经过1
s，水管中流过的水量为3
m3.
2．利用导数的定义求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
解析：Δy＝[＋2]－(＋2)
＝－1＝
＝，
当Δx→0时，＝－2，
∴函数y＝＋2在x＝1时的导数为－2.
探究二 导数几何意义的应用
—
3．(1)求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程；
(2)求过点A(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
解析：(1)∵点(－2，－1)在曲线y＝上，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝在点(－2，－1)处的导数．
∴k＝f′(－2)＝
＝
＝li
＝－，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为
y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
(2)∵当x＝3时，f(3)＝32＝9，
∴点(3,5)不在曲线y＝x2上，
设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x)，
则过点A的切线斜率
k＝f′(x0)＝
＝
＝
(2x0＋Δx)＝2x0，
∴过点A的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，
即2x0x－y－x＝0，又∵点(3,5)在切线上，
∴6x0－5－x＝0，即x－6x0＋5＝0，
∴x0＝1或5，∴切点为(1,1)或(5,25)，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
4．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：
(1)平行于直线y＝x＋1；
(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0；
(3)倾斜角为135°.
解析：设P点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝－＝
＝，
∴＝，∴当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于－，即f′(x0)＝－.
(1)因为切线与直线y＝x＋1平行．
∴由导数几何意义知f′(x0)＝1，即－＝1，
∴x0＝－2，y0＝1.即P(－2,1)．
(2)∵切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，
∴有f′(x0)·()＝－1，
∴－·＝－1，∴x0＝1，y0＝4，即P(1,4)．
(3)∵切线倾斜角为135°，
∴f′(x0)＝tan
135°＝－1，∴－＝－1，
∴x0＝2，y0＝1，即P(2,1)．
5．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积．
解析：(1)y′＝
＝
＝
(2x＋Δx＋1)＝2x＋1.
∴y′＝2×1＋1＝3，
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，解得b＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得.
∴直线l1和l2的交点坐标为.
l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，，
∴所求三角形的面积S＝××＝.
6.如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图像，试根据图像，描述、比较曲线f(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．
解析：(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以在t＝t0附近曲线比较平坦．几乎没有升降．
(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减．
(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图像可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
因对导数的概念理解不透彻致误
[典例] 已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则
＝________.
[解析]
＝
[×2]
＝2
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
[答案] 8
[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，解决此类问题关键是变形分母中x的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为
c
(c，k为常数且kc≠0)的形式．
PAGE3 计算导数
授课提示：对应学生用书第35页
一、导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝
，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
二、常见函数的导数
函数
导函数
函数
导函数
y＝c
(c是常数)
y′＝0
y＝sin
x
y′＝cos_x
y＝xα(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝cos
x
y′＝－sin_x
y＝ax
(a>0，a≠1)
y′＝axln_a(a>0)
特别地，(ex)′＝ex
y＝tan
x
y′＝
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝特别地，(ln
x)′＝
y＝cot
x
y′＝－
[疑难提示]
“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．
(2)导函数简称导数，所以
导数—个别与一般
(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．
[想一想]
1．(sin)′＝cos＝，正确吗？
提示：不正确．因为sin＝是一个常数，所以(sin)′＝0.
[练一练]
2．曲线f(x)＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵f′(x)＝nxn－1，
∴f′(2)＝n·2n－1＝12，
∴n＝3.
答案：C
3．曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为__________．
解析：易知y′＝′＝－，则－＝－4，解得x＝±，所以点P的坐标为或.
答案：或
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探究一 利用导数公式求导数
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝π＋1；(2)y＝；(3)y＝x；
(4)y＝2x；(5)y＝logx；(6)y＝(sin＋cos)2－1.
[解析] (1)y′＝(π＋1)′＝0.
(2)y′＝()′＝(x－2)′＝－2x－3.
(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.
(4)y′＝(2x)′＝2xln
2.
(5)y′＝(logx)′＝＝－.
(6)∵y＝(sin＋cos)2－1＝sin2＋2sin·cos＋cos2－1＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
基本初等函数的导数公式是我们解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检验．
1．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．
解析：f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或，解得a＝或a＝－2.
答案：或－2
2．求下列函数的导数．
(1)y＝log3x；
(2)y＝；
(3)y＝5x.
解析：(1)y′＝(log3x)′＝.
(2)∵y＝＝＝tan
x，
∴y′＝(tan
x)′＝.
(3)y′＝(5x)′＝5xln
5.
探究二 导数公式的应用
—
3．(1)求曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln
x的斜率等于4的切线方程．
解析：(1)∵y′＝()′＝x－，∴k＝y′＝，
∴曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)∵y′＝，曲线y＝ln
x的一条切线的斜率等于4，
∴y′＝＝4，得x＝，此时y＝－ln
4，
∴切点为，
∴所求切线方程为y＋ln
4＝4，即4x－y－1－ln
4＝0.
4．已知某运动着的物体运动方程为s(t)＝t5(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3
s时物体的瞬时速度．
解析：∵s′(t)＝5t4，
∴s′(3)＝5×34＝405，
即物体在t＝3
s时的瞬时速度为405
m/s.
5．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线，求实数a，b，c的值．
解析：∵f(x)过点(2,0)，∴f(2)＝2×23＋a×2＝0，
解得a＝－8，同理，g(2)＝4b＋c＝0.
∵f′(x)＝6x2－8，∴在点P处切线斜率k＝f′(2)＝6×22－8＝16.又g′(x)＝2bx，∴2b×2＝16，∴b＝4，∴c＝－4b＝－16.
综上，a＝－8，b＝4，c＝－16.
数形结合思想在导数问题中的应用
[典例] 已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△ABP的面积最大．
[解析] 如图所示，因为|AB|为定值，要使△PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只需点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可．
设P(x，y)，由图可知，点P在x轴的下方的图像上，
所以y＝－2，所以y′＝－，因为kAB＝－，所以－＝－，所以x＝4.
由y2＝4x(y<0)得y＝－4.所以P(4，－4)为所求点的坐标．
[感悟提高] 本例借助图形分析，由于|AB|是定值，只要P点到AB的距离最大，则S△ABP就最大．问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大．因此找到曲线上到已知直线距离最大的点就是与直线平行且与曲线相切的切点，是解决本题的关键，体现了数形结合思想的应用．
PAGE4 导数的四则运算法则
授课提示：对应学生用书第37页
一、导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
二、导数的乘法与除法法则
若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[]′＝(g(x)≠0)．
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝kf′(x)．
[想一想]
1．导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导数的运算还成立吗？
提示：两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
2．导数运算法则成立的条件是什么？
提示：要求两个函数必须都可导且商式中要求分母不为零．
[练一练]
3．函数f(x)＝x(x2＋1)的导数为( )
A．x2＋1
B．3x2
C．3x2＋1
D．3x2＋x
解析：∵f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
答案：C
4．设f(x)＝x2ex，则f′(x)＝( )
A．x2ex＋2x
B．2xex
C．(2x＋x2)ex
D．(x＋x2)ex
解析：f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
答案：C
授课提示：对应学生用书第37页
探究一 直接利用法则求导数
[典例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝xtan
x；
(3)y＝.
[解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′
＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(x·tan
x)′
＝x·(tan
x)′＋x′·tan
x
＝＋tan
x.
(3)y′＝
＝
＝.
理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进行求导运算的前提条件，若运算过程中出现失误，其原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．另外，在求导过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋3x＋；
(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；
(3)y＝3＋4.
解析：(1)y′＝(x5－x3＋3x＋)′
＝(x5)′－(x3)′＋(3x)′＋()′＝x4－4x2＋3.
(2)∵y＝12x10－7x8－12x6，
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(3＋4)′＝(3)′＋(4)′
＝3×＋4×
＝4＋6＝4＋6.
2．(1)已知f(x)＝，则f′(x)＝( )
A.
B.－1
C．1－ln
x
D.
解析：f′(x)＝＝＝，所以选D.
答案：D
(2)已知函数f(x)＝，求f′(π)．
解析：f′(x)＝
＝
＝，
所以f′(π)＝＝＝.
探究二 先变形再求导
[典例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x－sincos；
(3)y＝＋；
(4)y＝.
[解析] (1)∵y＝＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′
＝2x＋3x2＋4x3.
(2)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sincos＝x－sin
x，
∴y′＝(x－sin
x)′＝(x)′－(sin
x)′
＝1－cos
x.
(3)y＝＋＝＝－2，
∴y′＝(－2)′＝
＝.
(4)∵f(x)＝＝＝cos
x－sin
x，
∴f′(x)＝－sin
x－cos
x.
较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数式化简；(2)注意公式法则的层次性．
3．求下列函数的导数．
(1)y＝(x2＋1)2；
(2)y＝.
解析：(1)y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1，
所以y′＝4x3＋4x.
(2)解法一 ＝1＋，所以y′＝1′＋′＝＝－.
解法二 y′＝
＝
＝.
4．求下列函数的导数：
(1)y＝＋；
(2)y＝sin4＋cos4.
解析：(1)y＝，
∴y′＝()′＝.
(2)∵y＝(sin2＋cos2)2－2sin2cos2
＝1－sin2＝＋cos
x，∴y′＝－sin
x.
探究三 导数运算法则的灵活应用
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5．求下列函数的导数：
(1)y＝ex＋log3x；
(2)y＝(n≠0)．
解析：(1)y′＝(ex＋log3x)′＝ex＋.
(2)∵y＝xm－1＋，
∴y′＝(xm－1＋)′＝(m－1)xm－2＋·.
6．已知f′(x)是一次函数，且对于任意x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解析：由f′(x)为一次函数，可知f(x)是二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使对任意x∈R方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1，
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析：∵y＝ax2＋bx＋c，∴y′＝2ax＋b，
∵在点(2，－1)处的切线为y＝x－3，
∴4a＋b＝1. ①
又抛物线过点(1,1)和点(2，－1)，
∴
解由①②③组成的方程组可得a＝3，b＝－11，c＝9.
8．已知函数f(x)＝k(x－1)ex＋x2.
(1)求导函数f′(x)；
(2)当k＝－时，求函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程．
解析：(1)f′(x)＝kex＋k(x－1)ex＋2x＝kxex＋2x.
(2)∵k＝－，∴所求切线的斜率为f′(1)＝－×e＋2＝1，
∴函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程为x－y＝0.
求两曲线的公切线的方法
[典例] 已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
[解析] 设l与C1相切于点P(x1，x)，
与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①
对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x－4.②
因为两切线重合，
所以2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
[感悟提高] 公切线问题分两类：
第一类是有公共切点，利用公切点的性质列方程组求解；
第二类是无公共切点，常分别设两曲线的切点，求出切点处的两条切线使之重合，借助重合条件得出切点坐标，再求公切线方程．
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