§1 椭 圆
1．1 椭圆及其标准方程
授课提示：对应学生用书第31页
一、椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
二、椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c的关系
a2＝b2＋c2
[疑难提示]
求椭圆标准方程时应注意的问题
(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．
“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法．
(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为＋＝1(m>0，n>0且m≠n)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，这种形式在解题中较为方便．
[练一练]
1．已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法：
①当a＝2时，点P的轨迹不存在；
②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；
③当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；
④当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆．
其中正确的说法是__________(填序号)．
解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，①正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，②错误；③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，④错误．
答案：①③
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
解析：由10－k>k－5>0，得5
答案：(5，)
授课提示：对应学生用书第31页
探究一 椭圆的定义
[典例1] 点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝4，点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程．
[解析] ＋＝4.
即为＋＝4，设F1(0，1)，F2(0，－1)，则上式即为|MF1|＋|MF2|＝4，即动点M到两定点F1，F2的距离之和为定值2a＝4，且2a>|F1F2|＝2.∴点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)和F2(0，－1)．
∴2c＝2，c＝1,2a＝4，a＝2.
∴点M的轨迹方程为＋＝1.
到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆．特别注意焦点的位置及a，b，c的关系．
1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋y2＝1
解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上，且2a＝4，c＝1，故a＝2，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：B
2．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程．
解析：解法一 若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意，有解得a2＝4，b2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，同理这与a>b矛盾．
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
解法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将A，B坐标代入得
解得故所求椭圆方程为＋y2＝1.
探究二 椭圆定义的应用
[典例2] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解析] 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos
120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
②代入①解得|PF1|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin
C，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
3．点P在椭圆
＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.
解析：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1.
4.如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△AF1B的周长．
(2)如果直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
解析：(1)由题意知，A，B在椭圆＋＝1上，
故有|AF2|＋|AF1|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝AB，
∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.
∴△AF1B的周长为20.
(2)如果直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a与直线AB是否与x轴垂直无关，所以△AF1B的周长没有变化．
探究三 椭圆的标准方程及其应用
—
5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)a＝5，c＝2；
(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
解析：(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)解法一 ①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知，得?，
即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，得?，
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.
解法二 由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故?，即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
(3)解法一 方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，
则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵点M在椭圆上，
∴2a＝|MF1|＋|MF2|
＝＋
＝(2－)＋(2＋)
＝4，
∴a＝2，即a2＝12，
∴b2＝a2－c2＝12－4＝8，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二 由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆的方程为＋＝1(λ>0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
6.如图，已知定点A(－2,0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．
解析：连接PA(图略)，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2,0)，半径R＝8.
∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，∴|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4.
由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．
依题意，有2a＝8，c＝2，∴b2＝12，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆标准方程．
解析：由9x2＋5y2＝45，得＋＝1，
其焦点为F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵点M(2，)在椭圆上，∴＋＝1.①
又a2－b2＝4，②
由②得a2＝b2＋4，代入①得b4－6b2－16＝0，
可解得b2＝8或b2＝－2(舍去)，所以a2＝12.
故所求椭圆方程为＋＝1.
求解椭圆问题的四种常见错误
[典例] (1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
(2)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．
(3)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m为________．
[解析] (1)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
所以动点M的轨迹是线段F1F2.
(2)由题意可知
所以k∈(5,6)∪(6,7)．
(3)因为2c＝6，所以c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，所以m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.综上，实数m的值为4或.
[答案] (1)D (2)(5,6)∪(6,7) (3)4或
[错因与防范] 在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误：
(1)忽略椭圆定义中的条件2a>|F1F2|；
(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a>0，b>0，a≠b)；
(3)主观认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况；
(4)忽略对方程加限制条件．
PAGE1．2 椭圆的简单性质
授课提示：对应学生用书第33页
一、椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|y|≤a，|x|≤b
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c
对称性
对称轴坐标轴，对称中心原点
离心率
e＝
二、当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．
[疑难提示]
椭圆方程中a，b，c的意义
结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c恰好可以构成以a为斜边的直角三角形，如图所示．
[想一想]
1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以．由于e＝，又c＝，故e＝＝＝
.
[练一练]
2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：由b＝c得c2＝b2＝a2－c2，∴a2＝2c2即＝，∴e＝＝.
答案：B
3．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为______，离心率为________．
答案：18 6 (0，±6) (±3,0)和(0，±9)
授课提示：对应学生用书第34页
探究一 由椭圆方程得椭圆的几何性质
[典例1] 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率．
(1)＋＝1；
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m>0)．
[解析] (1)椭圆的方程＋＝1可转化为＋＝1.
∵16>，∴焦点在y轴上，
并且长半轴长a＝4，短半轴长b＝，
半焦距c＝＝
＝，
∴长轴长2a＝2×4＝8，短轴长2b＝2×＝5，
焦点坐标为(0，－)，(0，)，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－4)，(0,4)，
e＝＝.
(2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，可化为＋＝1.
∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上，
并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)，e＝＝.
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
2．已知椭圆mx2＋(m＋9)y2＝25m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解析：椭圆的方程可化为＋＝1.
∵25－＝>0，∴25>，
即a2＝25，b2＝，c2＝a2－b2＝，
由e＝，得＝，∴m＝16.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.
∴椭圆的长轴长为10，短轴长为8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．
探究二 利用几何性质求标准方程
[典例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝；
(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)；
(3)过点(3,0)，离心率e＝.
[解析] (1)由a＝2，e＝，可得a2＝4，且＝，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.
因此所求的标准方程为＋＝1.
(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，
所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，
所以＝，所以a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．
3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由椭圆的定义可知2a＋2a＝12，即a＝3.由e＝＝，解得b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：D
4．求符合下列条件的椭圆标准方程：
(1)焦距为8，离心率为；
(2)焦点与较接近的长轴端点的距离为－，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；
(3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．
解析：(1)由题意，因为2c＝8，所以c＝4；
又因为＝，所以a＝5，所以b2＝9，
焦点在x轴上时，椭圆标准方程为＋＝1；
焦点在y轴上时，椭圆标准方程为＋＝1.
(2)由题意，a－c＝－，b＝c，a2＝b2＋c2，
所以解得a2＝10，b2＝5，
焦点在x轴上时，椭圆标准方程为＋＝1；
焦点在y轴上时，椭圆标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知a＝2
B.①
又过点(2，－6)，因此有
＋＝1或＋＝1.②
由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
探究三 椭圆的离心率
—
5．椭圆＋＝1的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由方程知a＝3，b＝2，∴c＝＝，∴e＝＝.
答案：A
6．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设椭圆的焦距为2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，∴e＝.故选A.
答案：A
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
答案：2－5
7．F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．
解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，
|F1Q|＝m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.
∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a，
即m＋m＋m＝4a，(＋2)m＝4a.∴m＝(4－2)a.
又|PF2|＝2a－m＝(2－2)a.
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.
即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2.
∴＝9－6＝3(－1)2，
∴e＝＝(－1)＝－.
8.如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．
解析：由余弦定理得cos
60°
＝
＝＝，
解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
即|PF1|·|PF2|＝，
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝a2，
∴3a2≥4(a2－c2)，解得≥，又∵0∴所求椭圆离心率e的取值范围为[，1)．
因忽略讨论椭圆焦点位置致误
[典例] 若椭圆＋＝1的离心率为，则k＝________.
[解析] 当焦点在x轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，
所以c2＝k，因为e＝，
所以＝，即＝，所以k＝.
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，
所以c2＝－k.由e＝，所以＝，所以＝.
所以k＝－1.
综上可知，k＝或k＝－1.
[答案] 或－1
[错因与防范] 本例易主观认为焦点在x轴上，漏掉另一个解－1，从而导致答案不全面．对椭圆方程＋＝1，当分母含参数时，一要注意隐含条件分母m>0，n>0，m≠n，二要注意讨论焦点位置(即分母大小)．
PAGE§2 抛物线
2．1 抛物线及其标准方程
授课提示：对应学生用书第35页
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．
二、抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
(－，0)
x＝
x2＝2py(p>0)
(0，)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
(0，－)
y＝
[疑难提示]
抛物线定义的理解
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．
[想一想]
1．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？
提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定．
[练一练]
2．若－|x－y＋3|＝0，则动点M(x，y)的轨迹是( )
A．一条线段
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
解析：由已知得＝，这表明点M(x，y)到定点F(－3,1)的距离与到定直线l：x－y＋3＝0的距离相等．又F?l，所以由抛物线的定义，知动点M(x，y)的轨迹是抛物线．
答案：D
3．抛物线y2＝4x的准线方程是________，焦点坐标是________．
解析：由y2＝4x知＝1，所以准线方程为x＝－1，焦点坐标为(1,0)．
答案：x＝－1 (1,0)
授课提示：对应学生用书第36页
探究一 由抛物线求焦点和准线
[典例1] 求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．
[解析] 将y＝2ax2化为标准方程得x2＝y.
∴焦点为(0，)，准线方程为y＝－，
顶点坐标为(0,0)，当a>0时，开口向上，p＝；
当a<0时，开口向下，p＝－.
一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F(，0)，准线方程均为x＝－；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F(0，)，准线方程为y＝－，而p(指焦点到准线的距离)总是正数．
1．已知抛物线标准方程，分别求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝8x；
(2)2x2－5y＝0.
解析：(1)因为p＝4，所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.
(2)2x2－5y＝0化为x2＝y，抛物线开口向上，
∴p＝.
∴抛物线焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
2．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．
(1)y＝x2；
(2)x＝ay2(a≠0)．
解析：(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，
∴2p＝.
①当a>0时，＝，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－；
②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．
探究二 求抛物线的标准方程
[典例2] 根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上；
(4)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
[解析] (1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝.所以所求抛物线方程为x2＝－y.
(2)设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8)的坐标代入y2＝2px，得p＝8，将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y.当焦点坐标为(4,0)时，由＝4，得p＝8，
所以所求抛物线方程为y2＝16x.
综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
所以所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
1．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
2．求抛物线标准方程的方法
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．
3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝－8y
B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
解析：∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，
∴p1＝，∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，∴p2＝4，∴抛物线的方程为x2＝－8y.
答案：A
4．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；
(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点p(m,1)到焦点F的距离为6；
(3)焦点在直线x－3y－15＝0上．
解析：(1)由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
因为焦点到准线的距离为6，所以p＝6，
故抛物线的标准方程为y2＝－12x.
(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)．
因为点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，
所以1－＝6，解得p＝10，
所以抛物线的标准方程为x2＝20y.
(3)因为抛物线的焦点在直线x－3y－15＝0上，
所以易知抛物线的焦点坐标为(15,0)或(0，－5)，
所以抛物线开口向右或向下．
若抛物线开口向右，则可设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p>0)，
于是根据焦点坐标为(15,0)，得＝15，解得p1＝30，
所以抛物线的标准方程是y2＝60x；
若抛物线开口向下，则可设抛物线的标准方程为x2＝－2p2y(p2>0)，于是根据焦点坐标为(0，－5)，得－＝－5，解得p2＝10，
所以抛物线的标准方程是x2＝－20y.
综上可知，所求抛物线的标准方程是y2＝60x或x2＝－20y.
探究三 抛物线的实际应用
[典例3] 一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[解析] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，
由点B在抛物线上，
得()2＝－2p(－)，
p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
由点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.
解得a>12.21或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，∴a的最小值为13.
5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
探究四 抛物线定义的应用
—
6．若抛物线的焦点为(2,2)，准线方程为x＋y－1＝0.求此抛物线方程．
解析：设P(x，y)是抛物线上任一点，由抛物线的定义可知：＝，两边平方整理可得，此抛物线方程为x2－2xy＋y2－6x－6y＋15＝0.
7．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
解析：解法一 设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，
由条件知|AP|＝r＋1，
即＝|x－1|＋1，
化简，整理得y2＝－8x.
所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.
解法二 如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K.
PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，
则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1.
又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，
故点P到圆心A(－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，
所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．所以＝2，所以p＝4.
所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.
8.某地地震发生后，由于公路破坏严重，救灾物资需水运到合适地点再转运到受灾严重的A，B两地，如图所示，需要在河岸PQ上某点M处抢修一码头和到A，B两地的公路，经测算，A地在损毁的公路l正东方向2
km处(方位：上北下南)，B地在A地北偏东60°方向2
km处，河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等．已知修建公路的费用均为每千米2万元，修建码头的费用是10万元，则抢修费用最低为多少万元？
解析：因为河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等，所以河流沿岸所在曲线为抛物线．于是，可建立如图所示的平面直角坐标系．从而，依题意可得点A(1,0)，直线l：x＝－1，点B(4，)．
过点B，M分别作BE⊥l，MF⊥l，垂足分别为E，F，
则由抛物线的定义，得|MA|＋|MB|＝|MF|＋|MB|≥|BE|，当且仅当E，M，B三点共线(M在线段BE上)时取等号．又|BE|＝4－(－1)＝5，所以(|MA|＋|MB|)min＝5.故总抢修费用最低为2×5＋10＝20(万元)．
9．设P是曲线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．
解析：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为＝.
(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，
此时，|P1Q|＝|P1F|，
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
因忽略抛物线定义中的限制条件致误
[典例] 若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是________．(填椭圆、抛物线或直线)．
[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，则由题意可得＝，整理得x－3y＋2＝0.即P点的轨迹是直线x－3y＋2＝0.
[答案] 直线
[错因与防范] 本例易忽略抛物线定义中的限制条件(定义不在定直线上)而错填为抛物线．要注意定义中的限制条件，不能忽略．
PAGE2.2 抛物线的简单性质
授课提示：对应学生用书第38页
一、四种标准形式的抛物线几何性质的比较
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图像
性质
焦点
(，0)
(－，0)
(0，)
(0，－)
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
二、抛物线的通径
过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段叫作抛物线的通径，抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为2p.
[疑难提示]
抛物线的开口大小与参数p的关系
参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，由方程y2＝2px(p>0)知，对于同一个x值，p越大，|y|的值也
越大，或者说抛物线开口也越大．所以可以说一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大．
[想一想]
1．抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？
提示：有一条对称轴；不是中心对称图形．
[练一练]
2．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点，则( )
A．通径AB的长为8，△AOB的面积为4
B．通径AB的长为8，△AOB的面积为2
C．通径AB的长为4，△AOB的面积为4
D．通径AB的长为4，△AOB的面积为2
解析：由抛物线x2＝－4y知通径长为4，△AOB的面积为×2p×＝×4×1＝2.
答案：D
3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有1个公共点，则这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：点(2,4)在抛物线y2＝8x上，故过点(2,4)且与抛物线只有1个交点的直线有2条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．
答案：B
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P点的横坐标为________，p的值为________．
答案：9或1 2或18
授课提示：对应学生用书第39页
探究一 抛物线的几何性质及应用
[典例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．
[解析] ∵椭圆＋＝1的短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6，
∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.
1．用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)定位置；(2)设方程；(3)寻关系；(4)得方程．
2．注意只有抛物线的标准方程中p才有几何意义，即焦点到准线的距离．
1．(1)已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．0
(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)最近的点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是( )
A．a＞0
B．0C．a≤1
D．a≤0
解析：(1)z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2，
因为x≥0.
所以x＝0时，z有最小值，zmin＝3.
(2)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝d2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2
＝y2－(2a－2)y＋a2
＝[y－(a－1)]2＋(2a－1)．
因为y∈[0，＋∞)，根据题意知，
①当a－1≤0，即a≤1时，y＝0时，d＝a2.
这时dmin＝|a|.
②当a－1>0，即a>1时，
y＝a－1时d2取到最小值，不符合题意．
综上可知a≤1.
答案：(1)B (2)C
2．已知抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点O，经过点M(2，y0)，且点M到该抛物线焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求|OM|的值．
解析：(1)由题意设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－.
∵点M在抛物线上，∴点M到焦点的距离等于其到准线的距离，即|MF|＝2＋＝3，
∴＝2＋＝3.
解得p＝2，y0＝±2，
∴抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)知点M(2，±2)，根据两点间的距离公式有|OM|＝＝2.
探究二 直线与抛物线相交问题
[典例2] 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点．求△ABN面积的最小值．
[解析] 解法一 由题意知，点N的坐标为(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得消去y，得x2－2pkx－2p2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝p＝p＝2p2.所以当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.
解法二 同解法一，再由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝2p·.
又由点到直线的距离公式，得d＝(d为点N到直线AB的距离)，从而S△ABN＝·|AB|·d＝·2p··＝2p2.所以当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点．
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点．
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
3．(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
(2)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )
A．36
B．48
C．56
D．64
解析：(1)Q点坐标为(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
代入y2＝8x得y＝k(＋2)，即ky2－8y＋16k＝0，
当k＝0时，y＝0，x＝0，公共点为(0,0)，符合题意；当k≠0时，Δ＝(－8)2－64k2≥0，所以k∈[－1,1]，故选C.
(2)由得：x2－10x＋9＝0，x1＝1，x2＝9，
所以A(1，－2)，B(9,6)，|AP|＝1＋1＝2，|BQ|＝9＋1＝10，
|PQ|＝6－(－2)＝8.故S梯形APQB＝(|AP|＋|BQ|)·|PQ|＝48.
答案：(1)C (2)B
4．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan
60°＝，又F，所以直线l的方程为y＝.
联立，消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由抛物线的定义，知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x3＋＋x4＋＝x3＋x4＋p＝x3＋x4＋3＝9，∴x3＋x4＝6，∴线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
∴点M到准线的距离为3＋＝.
探究三 抛物线中的定点、定值(最值)、焦点弦问题
—
5．等腰直角△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( )
A．8p2
B．4p2
C．2p2
D．p2
解析：设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由
得A(2p,2p)，则B(2p，－2p)，
所以AB＝4p.
所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.
答案：B
6．求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值．
解析：解法一 设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，
则由，消去y，有3x2－4x－m＝0，
令Δ＝0，得m＝－.
∴两直线间的距离d＝＝.
∴抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
解法二 设(x0，－x)是抛物线y＝－x2上任一点，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离是d＝＝＝.
∴当x0＝时，d有最小值.
∴抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.
7．斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线y2＝2px(p＞0)中，|AB|＝p＋(x1＋x2)．由于抛物线y2＝4x中，p＝2，于是|AB|＝x1＋x2＋2.因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，且直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为y＝x－1①. 将①代入方程y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，由根与系数的关系知，x1＋x2＝6.
于是|AB|＝x1＋x2＋2＝8.所以，线段AB的长是8.
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：x＝2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E、F两点，证明：|DE|·|DF|恒为定值．
解析：(1)由已知，得，解得a＝2，b＝.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知A1(－2,0)，A2(2,0)．
设P(x0，y0)，依题意－2于是直线A1P的方程为y＝(x＋2)，
令x＝2，则y＝.
即|DE|＝(2＋2).
又直线A2P的方程为y＝(x－2)，
令x＝2，则y＝，
即|DF|＝(2－2).
所以|DE|·|DF|＝(2＋2)·(2－2)＝＝. (
)
又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x＋4y＝12，即4y＝12－3x，代入(
)式，得|DE|·|DF|＝＝3，
所以|DE|·|DF|为定值3.
9.如图所示，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)证明：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
解析：(1)证明：设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x.
由解得或
∴A点的坐标为(，)．
同理由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
∴AB所在直线的方程为x－2k2＝(y＋2k)，
化简并整理，得(－k)y＝x－2.
不论k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有
y＝0.
故直线AB必过定点P(2,0)．
(2)由于AB所在直线必过定点P(2,0)．
∴可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.
由消去x并整理得y2－2my－4＝0.
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.
分类讨论思想在直线与抛物线位置关系中的应用
[典例] 若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C；y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解析] 因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，
所以方程组只有一组实数解．
消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，
方程①是关于x的一元一次方程，
解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，
方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，
解得a＝0或a＝－.
当a＝0时，原方程组有唯一解
当a＝－时，原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是{－1，－，0}．
[感悟提高] 用代数方法研究直线与抛物线的位置关系，若方程组消元后所得方程平方项系数含有字母参数，则需用分类讨论思想讨论平方项系数是否为零．
PAGE§3 双曲线
3．1 双曲线及其标准方程
授课提示：对应学生用书第41页
一、双曲线的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线；这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
二、双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c关系
c2＝a2＋b2
[疑难提示]
双曲线定义的理解
(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了．
(2)双曲线的定义中要注意两点：
①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|.
这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|－|PF2|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|－|PF1|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”．
[想一想]
1．双曲线中的a，b，c的关系与椭圆中的关系一样吗？
提示：不一样，双曲线中为c2＝a2＋b2，椭圆中为c2＝a2－b2.
[练一练]
2．动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
解析：由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2<4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．
答案：C
3．已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是________．
解析：由2c＝26，∴c＝13.
又＝，∴a2＝25.
∴b2＝c2－a2＝132－25＝144.
∴所求方程为－＝1或－＝1.
答案：－＝1或－＝1
授课提示：对应学生用书第41页
探究一 求双曲线的标准方程
[典例1] 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(3，)，Q(－，5)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
[解析] (1)解法一 若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，
所以解得(舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将P、Q两点坐标代入可得
解之得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
解法二 设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)解法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
解法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
1．若已知a，b的值，直接将其代入双曲线方程即可；若已知a，c或b，c的值，利用a2＋b2＝c2求出b2或a2，再代入双曲线的方程．
2．若已知a，b，c中的一个量及双曲线上一个点的坐标，则设出双曲线的标准方程，由a2＋b2＝c2得到a2，b2的一个关系式，再将点的坐标代入双曲线方程，得到a2，b2的第二个关系式，联立可解．
上述两种情况中，若根据已知条件不能确定焦点所在的轴，需注意双曲线的方程可能有两种形式．
3．若已知双曲线上两点的坐标，不确定焦点所在的轴，需分别设出双曲线的两种方程，将两点的坐标代入，分别求a2，b2的值．为避免烦琐，也可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，待定出A，B的值．
1．已知双曲线过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
解析：解法一 若焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
∴解得
若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
同理有解得(舍去)
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二 设所求双曲线的方程为
mx2＋ny2＝1(mn<0)．
将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上；
(2)a＝4，经过点A(1，)．
解析：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为a＝4，c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则将a＝4代入得－＝1.
因为点A(1，)在此双曲线上，
所以－＝1，
由此得b2<0，应舍去．
若所求的双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，同理解得b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.
探究二 双曲线标准方程的应用
[典例2] 求适合下列条件的参数的值或范围．
(1)已知－＝－1，当k为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x轴上的双曲线；③表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值．
(3)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点．
[解析] (1)①若方程表示双曲线，则需满足或解得k<－3或1②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k<－3.
(2)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，
∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
∴－k＋(－)＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
(3)由双曲线方程可知焦点在x轴上，且c＝(a>0)．
由椭圆方程可知c＝，∴a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0.
解得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴a的值为1.
解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．
3．(1)设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin
θ>0，－cos
θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选
B.
答案：B
(2)设双曲线x2－＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于( )
A．10
B．8
C．8
D．16
答案：C
4．已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
解析：(1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，曲线C为椭圆；
当|t|<1且t≠0时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1.
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
当|t|<1且t≠0时，双曲线C的方程为－＝1，
∵c2＝a2＋b2＝t2＋(1－t2)＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
探究三 双曲线的定义及应用
—
5．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：在△
ABP中，由正弦定理，得＝＝＝＝.
答案：A
6．若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解析：由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，F1为左焦点，F2为右焦点，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4.所以c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，
由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0.
所以∠F1PF2＝90°.
7．已知△ABC外接圆的半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上，且y轴垂直平分边BC，求过点A且以B，C为焦点的双曲线的标准方程．
解析：因为sin∠BAC＝＝，所以cos∠BAC＝，AC＝2Rsin∠ABC＝2××＝14，
sin∠ACB＝sin(60°－∠BAC)＝sin
60°cos∠BAC－cos
60°·sin∠BAC＝×－×＝，
所以AB＝2Rsin∠ACB＝2××＝6，
所以2a＝|AC－AB|＝14－6＝8，所以a＝4.
又c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
忽略双曲线定义中的限制条件致误
[典例] 方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．
[解析] 依题意有或
解得－33.
所以m的取值范围是{m|－33}．
[答案] {m|－33}
[错因与防范] (1)本例易误认为焦点在x轴上而忽略焦点在y轴上的情况；
(2)对于＋＝1，当m，n>0且m≠n时表示椭圆，当mn<0时，表示双曲线．
PAGE3．2 双曲线的简单性质
授课提示：对应学生用书第43页
双曲线的几何性质
类型
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，c)，(0，－c)
焦距
2c
范围
x∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)
y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)
对称性
关于x轴，y轴，原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，a)，(0，－a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝>1
渐近线
y＝±x
y＝±x
[疑难提示]
双曲线的渐近线与双曲线的方程之间的关系
(1)双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
(2)双曲线确定时，渐近线唯一确定，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．
(3)若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．
①分两种情况设出方程进行讨论．
②依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．
[想一想]
1．双曲线的离心率对双曲线有何影响？
提示：e＝，e>1，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大．
(1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．∵＝
＝，
∴e越大，越大，∴双曲线开口越大．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e＝.
[练一练]
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4.
答案：C
3．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
解析：－＝1(b>0)的渐近线为y＝±bx，由题意知b＝，∴b＝1.
答案：1
授课提示：对应学生用书第44页
探究一 由双曲线方程研究其几何性质
[典例1] 求双曲线9y2－16x2＝144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程、离心率．
[解析] 双曲线方程可化为－＝1.
因为a＝4，b＝3，c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5.
所以实轴长2a＝8；虚轴长2b＝6；焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；渐近线方程为y＝±x；离心率e＝＝.
根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．
双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置(x轴、y轴)有关．
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的虚轴长为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，故b2＝c2－a2＝9，所以虚轴长为2b＝6.
答案：B
2．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
解析：将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，即－＝1.∴a＝1，b＝2，c＝.
因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－，0)，F2(，0)；实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；离心率e＝＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±2x，草图如图所示．
探究二 由双曲线的几何性质求标准方程
[典例2] 根据以下条件，求双曲线的标准方程：
(1)过P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝；
(3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2；
(4)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．
[解析] (1)若双曲线的焦点在x轴上，
设为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2，即a2＝b2.①
又过点P(3，－)，有－＝1，②
由①②得a2＝b2＝4，
∴双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设为－＝1(a>0，b>0)．
同理有a2＝b2③
－＝1④
由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，
半焦距c1＝＝，
所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设条件及双曲线的性质，有，解得.
即双曲线方程为－y2＝1.
(3)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos
60°)．
化简，得4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
所以|PF1|·|PF2|＝48.
即3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
故所求双曲线的方程为－＝1.
(4)∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
∴设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
将点(－3,2)代入得λ＝，
∴双曲线方程为－＝，即－＝1.
1．已知双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．
2．若已知双曲线的渐近线方程为±＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．
3．与双曲线－x2＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：设与双曲线－x2＝1有共同的渐近线的双曲线方程为－x2＝λ≠0，∵双曲线过点(2,2)，∴－4＝λ，∴λ＝－3，
∴所求双曲线的方程为－x2＝－3，即－＝1，故选
B.
答案：B
4．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(，2)，求双曲线方程；
(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程．
解析：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意可得?
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
－＝1，解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
探究三 直线和双曲线的位置关系
[典例3] 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论双曲线与直线公共点的个数．
[解析] 联立方程组消去y，得
(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，方程(
)化为2x＝5，
方程组有一解．故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时；
①由Δ＝4(4－3k2)>0，得－)有两解，方程组有两解．故直线与双曲线有两个公共点．
②由Δ＝4(4－3k2)＝0，得k＝±，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切．
③由Δ＝4(4－3k2)<0，得k<－或k>，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点；
综上所述，当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有一个公共点；当－时，直线与双曲线无公共点．
把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知量，如消去y，得到一个方程ax2＋bx＋c＝0，则
(1)a≠0时，方程为一元二次方程．
①Δ>0，则直线与圆锥曲线相交，有两个公共点；
②Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切，有且只有一个公共点；
③Δ<0，则直线与圆锥曲线相离，没有公共点．
(2)a＝0，b≠0时，直线与圆锥曲线有一个公共点，对抛物线来说，此时直线与对称轴平行或重合；对双曲线来说，此时直线与渐近线平行．
5．直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
解析：由(x≤－1)，消去y，
得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0，①
∵直线m与双曲线的左支有两个交点，∴方程①有两个不相等的负实数根．
∴，∴1设M(x0，y0)，则，
由P(－2,0)，M(，)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b＝.
设φ(k)＝－2k2＋k＋2＝－2(k－)2＋.
∴φ(k)在(1，)上为减函数，φ()<φ(k)<φ(1)且φ(k)≠0.
∴－(2－)<φ(k)<0或0<φ(k)<1，
∴b<－2－或b>2.
即l在y轴上的截距b的取值范围为(－∞，－2－)∪(2，＋∞)．
探究四 与渐近线、离心率有关的问题
—
6．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
解析：由题可知2a＝×2c＝c，则4a2＝c2＝a2＋b2，解得＝3，所以＝，故该双曲线的渐近线方程是y＝±x，选C.
答案：C
7．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求此双曲线的离心率．
解析：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，c＝＝a，
∴e＝＝；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，
c＝＝a，∴e＝＝.
∴此双曲线的离心率为或.
8．已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a1>0，b1>0)．
由题意知，解得，
此时双曲线的标准方程为－＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a2>0，b2>0)，
由题意知，解得，
此时双曲线的标准方程为－＝1.
综上，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
9．已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，求该双曲线的离心率的取值范围．
解析：如图，设双曲线的左焦点为F′，半焦距为c，连接MF′，NF′.由于MF⊥NF，所以四边形F′NFM为矩形，故|MN|＝|FF′|＝2c.
在Rt△NFM中，|FN|＝2ccos
β，|FM|＝2csin
β，由双曲线的定义可得2a＝|NF|－|NF′|＝|NF|－|FM|＝2ccos
β－2csin
β＝2ccos，
∴e＝＝.
∵≤β≤，∴≤β＋≤，
∴≤cos≤，∴≤e≤＋1，
即双曲线的离心率的取值范围是[，＋1]．
忽视双曲线焦点位置致误
[典例] 已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率e为________．
[解析] 当双曲线的焦点在x轴上时，
因为一条渐近线方程为y＝x，所以＝，
所以离心率e＝＝＝＝.
当双曲线的焦点在y轴上时，
因为一条渐近线方程为y＝x，
所以＝，这时＝.
所以离心率e＝＝＝＝.
故双曲线的离心率为或.
[答案] 或
[错因与防范] (1)本例易主观认为焦点在x轴上，忽略考虑焦点在y轴上的情况而漏解．
(2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件，要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论．
PAGE§4 曲线与方程
4．1 曲线与方程
授课提示：对应学生用书第46页
一、方程的曲线与曲线的方程的意义
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
1．曲线上点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．
二、求曲线方程(直接法)的一般步骤
1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
2．写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}；
3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
4．化方程f(x，y)＝0为最简形式；
5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程．
[疑难提示]
对曲线与方程的理解
曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制．
[想一想]
1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
[练一练]
2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
解析：“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错．B显然错．
答案：D
授课提示：对应学生用书第47页
探究一 曲线与方程的概念
[典例1] 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．
[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝，y＝－m适合上述方程，即()2＋(－m－1)2＝10，化简整理得5m2＋8m－36＝0，解得m＝2或m＝－，
∴m的值为2或－.
“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
也就是说，曲线C是一个点集，以方程f(x，y)＝0的实数解为坐标的点的集合F＝{(x，y)|f(x，y)＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C?F；(2)F?C.
由两个集合相等的概念知C＝F.所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准．
1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由．
(1)曲线C：过点A(2,0)且平行于y轴的直线；方程f(x，y)＝0：|x|＝2.
(2)曲线C：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f(x，y)＝0：xy＝1.
解析：(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线上的点的坐标x＝2都是方程|x|＝2的解；而以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C的方程为x＝2，方程|x|＝2表示两条直线．
(2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy＝1的解为坐标的点都在曲线C上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C的方程为xy＝±1，方程xy＝1表示位于一、三象限的双曲线．
2．(1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．
解析：(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，
因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，
所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点C(，2)的坐标代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)，解得m＝±，n＝±或±.
探究二 根据方程研究曲线
[典例2] 方程y＝所表示的图形是( )
[解析] 方程y＝＝结合各选项的图形可得正确的图形为
B.
[答案] B
判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止．
对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线．
3．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
解析：由(2x＋3y－1)(－1)＝0，得2x＋3y－1＝0(x≥3)或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，所以方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D.
答案：D
4．(1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
解析：(1)由方程(x＋y－1)＝0可得：
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，
(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴∴
∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
探究三 求曲线的方程
—
5．已知A(0,4)，点B是曲线2x2＋1－y＝0上任意一点，且M是线段AB的中点，求动点M的轨迹方程．
解析：设B(x1，y1)，M(x，y)，由M是线段AB的中点，得，∴.
又点B在曲线2x2＋1－y＝0上，
∴2x＋1－y1＝0，∴2×(2x)2＋1－(2y－4)＝0，即8x2－2y＋5＝0，
∴动点M的轨迹方程是8x2－2y＋5＝0.
6．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在⊙C1的内部，且和⊙C1内切，和⊙C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．
解析：由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4，0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，
可得|C1C|＝r1－r.①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，
可得|C2C|＝r2＋r.②
由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹是以C1与C2为焦点的椭圆．
由题意，得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
即动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
其方程为＋＝1.
7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．
解析：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．
设△ABC的外心为P(x，y)，
因为点P在线段BC的垂直平分线上，所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．
连接AP，BP.因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，
即＝，化简得x2－6y＋5＝0.
于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.
8．A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．
解析：解法一(直接法) 建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0，3)．设外心P的坐标为(x，y)，∵P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．
∵P也在AB的垂直平分线上，
∴|PA|＝|PB|，即＝，
化简，得x2－6y＋5＝0.
即△ABC的外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.
解法二(参数法) 建立坐标系(同解法一)，得A(0,3)．设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，①
则点B的坐标为(t＋2,0)，
于是AB的中点是，从而AB的垂直平分线方程为y－＝.②
由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求．
转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用
[典例] 已知点Q(2,0)和圆x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长等于圆O的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程．
[解析] 如图，过M作圆的切线MN，N为切点，设M(x，y)．由题意知|MN|＝|MQ|＋|ON|，
由于|MN|＝＝
，
|MQ|＝
，|ON|＝1，
所以＝＋1
两边平方整理得2x－3＝，
再两边平方整理得3x2－y2－8x＋5＝0.
即：92－3y2＝1.因为2x－3＝中2x－3≥0，所以x≥.所以动点M的轨迹方程为92－3y2＝1.
[感悟提高] (1)对方程的化简及自变量的取值是重难点．
(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价．
PAGE4．2 圆锥曲线的共同特征
4．3 直线与圆锥曲线的交点
授课提示：对应学生用书第48页
一、圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.
当01时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线C1：f(x，y)＝0和曲线C2：g(x，y)＝0，由于M(x0，y0)是C1与C2的一个交点?f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，所以，求两条曲线C1与C2的交点，就是求方程组的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系
方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同交点；方程组没有实数解，两条曲线就无交点．
[想一想]
1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切．
因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属直线与双曲线、直线与抛物线相交．
[练一练]
2．已知动点P(x，y)满足＝·，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．直线
解析：点P(x，y)到直线3x－4y－1＝0的距离为d＝；点P(x，y)到A(1,5)的距离为|PA|＝，∴＝3>1，∴动点P的轨迹是双曲线．
答案：B
授课提示：对应学生用书第48页
探究一 圆锥曲线的共同特征及应用
[典例1] 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时，P点坐标．
[解析] 如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|
＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，
∴P(1,2)．
利用抛物线定义解决有关最值问题
(1)要将问题利用定义首先转化为几何知识．
(2)注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用．
1．试在抛物线y2＝4x上求一点A，使A到点B(，2)与到焦点的距离之和最小．
解析：由已知易得点B在抛物线内，＝1，准线方程x＝－1，过B作BC′⊥准线l于C′，直线BC′交抛物线于A′，则|A′B|＋|A′C′|为满足题设的最小值．
因为C′B∥x轴，B点坐标为(，2)，
所以A′点坐标为(x,2)．
又因点A′在抛物线上，所以x＝＝1，
所以A′(1,2)即为所求A点，此时最小值为|BC′|＝＋1.
2．曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x＝的距离之比是常数，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P使|PF|＝5.
解析：(1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足＝，
由此得＝，
即＝，
两边平方整理得－＝1.
(2)设P(x，y)到l的距离为d，由|PF|＝5，得d＝4.
即＝4，解得x＝或x＝－.
由于|x|≥4，故x＝－不合题意，舍去．
由x＝得y＝±.
∴点P的坐标为.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题
[典例2] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解析] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组，将①代入②，
整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为F(x，y)＝0，
由，
消元(如y)后，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a＝0，直线与圆锥曲线有一个公共点，当直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，把直线方程代入相应圆锥曲线方程后得到的方程是一次方程，因此，直线和圆锥曲线只有一个交点，但不相切．
(2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac，
①Δ>0时，相交于两点；
②Δ＝0时，相切于一点；
③Δ<0时，无公共点．
3．已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C相切的直线方程．
解析：设直线l的方程为y＝kx＋2.当k＝0时，直线方程为y＝2，代入y2＝6x得x＝，可知此时直线l与抛物线相交于点(，2)；
当k≠0时，将y＝kx＋2代入y2＝6x并消去x，得ky2－6y＋12＝0，关于y的一元二次方程的判别式Δ＝36－48k.
由Δ＝0得k＝，可知此时直线l与抛物线C只有一个公共点，即它们相切，直线l的方程为3x－4y＋8＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，符合题意．
所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0或x＝0.
4．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．
解析：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，
由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去x得y2＝8?y2－6y－16＝0?y1＝8，y2＝－2.
∴|AB|＝
|y1－y2|＝，
由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.
探究三 与弦长、中点、对称有关的问题
—
5．过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长A
B.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得：
，两式相减得：x－x＋2y－2y＝0，
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
显然x1≠x2，故得：kAB＝＝－.①
因为点P是AB的中点，所以有：
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得：kAB＝，故AB的直线方程是
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由，消去y得：3x2＋6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝·
＝
·＝.
6．已知椭圆＋y2＝1.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
由＋y＝1，＋y＝1.
两式作差得：＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，
∴＝－＝－.
即kAB＝－.①
(1)设弦中点为M(x，y)，由①式，2＝－，∴x＋4y＝0.
故所求的轨迹方程为x＋4y＝0(在已知椭圆的内部)．
(2)不妨设l交椭圆于A、B，弦中点为M(x，y)．
由①式，kl＝kAB＝－，
又∵kl＝kMN＝，∴－＝.
整理得x2＋2y2－x－4y＝0，此式对l的方程为x＝1时也成立．
∴所求中点的轨迹方程是x2＋2y2－x－4y＝0(在已知椭圆的内部)．
7．已知过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A，B两点，直线y＝x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x－1)，代入椭圆方程，整理得
(k2a2＋b2)x2－2k2a2x＋a2k2－a2b2＝0.
∵直线l与C交于A，B两点，
∴Δ＝4k4a4－4(a2k2－a2b2)(k2a2＋b2)>0，
即k2a2－k2＋b2>0.①
当Δ>0时，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，则
x0＝(x1＋x2)＝.
∴y0＝(y1＋y2)＝[k(x1－1)＋k(x2－1)]
＝－.
∵M(x0，y0)在直线y＝x上，
∴－＝·，∴k＝－.
又＝1－e2＝1－＝，∴k＝－＝－1.
∴直线l的方程为y＝－x＋1.
∵a2＝2b2，∴椭圆C的方程为＋＝1.其右焦点为(b,0)，设点(b,0)关于直线y＝－x＋1的对称点为点(x′，y′)，则?
∵点(1,1－b)在椭圆上，∴1＋2(1－b)2＝2b2，
解得b2＝.
把b2＝，a2＝，k2＝1代入①式，得Δ>0.
∴b2＝，a2＝.
∴椭圆C的方程为x2＋2y2＝，直线l的方程为
y＝－x＋1.
转化思想在研究圆锥曲线最值问题中的应用
[典例] 已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小．
[解析] 因为a2＝16，b2＝12，
所以c2＝4，所以c＝2.
所以F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，
即d＝2|PF|.所以|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小．
把y＝2代入＋＝1
得x＝，即P为所求的点．
[感悟提高] (1)利用圆锥曲线的共同特征能实现到焦点与到对应准线距离间的相互转化．
(2)在求形如：|AM|＋|MF|(其中F为焦点，A为定点，M为圆锥曲线上动点)的最小值时，常利用共同特征(也叫圆锥曲线的第二定义)把|MF|转化为焦点F到相应准线的距离解决．
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