§1 定积分的概念
授课提示：对应学生用书第37页
[自主梳理]
一、定积分的概念
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示．将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b.
第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设
S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]的值最小，设
s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝A.其中∫叫作__________，a叫作________，b叫作________，f(x)叫作________．
二、定积分的几何、物理意义
1．当f(x)≥0时，f(x)dx表示的是______与________所围曲边梯形的面积；
2．当f(x)表示速度关于时间x的函数时，f(x)dx表示的是运动物体从x＝a到x＝b时所走过的________．
三、定积分的性质
性质1：1dx＝________；
性质2：kf(x)dx＝____________；
性质3：dx＝________；
性质4：f(x)dx＝________.
[双基自测]
1．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝2t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间所走的路程为( )
A.
B.
C．1
D．2
2．下列式子中不成立的是( )
A．∫sin
xdx＝∫cos
xdx
B．＝
C.sin
xdx＝cos
xdx
D.|sin
x|dx＝|cos
x|dx
3．若f(x)dx＝3，g(x)dx＝2，则[f(x)＋g(x)]dx＝________.
[自主梳理]
一、积分号 积分的下限 积分的上限 被积函数 二、1.y＝f(x) x＝a，x＝b和x轴 2.路程 三、b－a
kf(x)dx f(x)dx±g(x)dx f(x)dx＋f(x)dx
[双基自测]
1．C 所走的路程为2tdt，由定积分的几何意义作图(图略)求得2tdt＝1.
2．C 分别作出被积函数f(x)＝sin
x和g(x)＝cos
x在各区间上的图像，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立．
3．5 由定积分的性质易得[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝3＋2＝5.
授课提示：对应学生用书第38页
探究一 对定积分定义的理解(曲边梯形的面积)
[例1] 求抛物线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
[解析] (1)分割：
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，1]．
记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则S＝Si.
(2)近似代替：
记f(x)＝x2.当n很大，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f()．就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[，]上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔSi′＝f()Δx＝()2·Δx
＝()2·(i＝1,2，…，n)．
①
(3)求和：
由①，得Sn＝Si′
＝()Δx＝()2·
＝[0·＋()2·＋…＋()2·]
＝[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·＝(1－)(1－)．
从而得到S的近似值
S≈Sn＝(1－)(1－)．
②
(4)取极限：
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn＝(1－)(1－)越来越趋近于S，而当n趋向于＋∞时，②式无限趋近于，即所求面积为.
用分割，近似代替，求和，取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整为零(分割)，积零为整(取极限)的思想方法．
1．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
解析：(1)分割：
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[1，]，[，]，…，[，2]，记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si.
(2)近似代替：
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f()．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间[，]上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔSi′＝f()Δx＝·＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
小曲边梯形的面积和
Sn＝Si≈Si′＝
＝＋＋…＋
＝n(－＋－＋…＋－)
＝n(－)＝.
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限：
分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝.
∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
探究二 用定积分的几何意义求定积分
[例2] 用定积分的几何意义求dx(b＞0)的值．
[解析] 令y＝f(x)＝，则有2＋y2＝2，表示以为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝πr2＝2＝，
由定积分的几何意义可知，
dx＝.
由定积分的几何意义求定积分的步骤(1)当f(x)≥0时，f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲边梯形的三条直边，x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S而得到定积分的值：当f(x)≥0时，f(x)dx＝S；当f(x)＜0时，f(x)dx＝－S.
2．用定积分的几何意义求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
解析：(1)由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
等于圆心角为的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴＝2＋－＝＋.
(2)∵函数y＝sin
x在x∈[－，]上是奇函数，
∴＝0.
(3)函数y＝1＋sin
x的图像如图所示，
＝S矩形ABCD＝2π.
探究三 定积分性质的应用
[例3] 已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx.
[解析] (1)(3x3)dx＝3x3dx
＝3＝3×＝12.
(2)(6x2)dx＝6x2dx＝6＝6×＝126.
利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．
3．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值：
(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.
解析：(1)(2x＋x2)dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋
＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx＝2x2dx－xdx＋1dx，
因为xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
因忽视定积分的几何意义而致误
[例4] 定积分(－)dx＝________.
[解析] 曲线y＝，即x2＋y2＝4(0≤x≤2,0≤y≤2)，表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的圆弧和点(2,0)，(0,2)，dx表示被积函数y＝在积分区间[0,2]上的图像与x轴围成的平面图形的面积S＝πr2＝π，
即dx＝π，
所以(－)dx＝－dx＝－π.
[答案] －π
[错因与防范] 本题易忽视被积函数的符号而错解定积分的值为π.对于定积分f(x)dx，当f(x)≥0时，定积分就等于曲边梯形的面积；当f(x)＜0时，定积分等于曲边梯形面积的相反数；计算定积分时，常常运用定积分的性质2，即kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)，将被积函数中的系数调整位置以后再计算．
PAGE2 微积分基本定理
授课提示：对应学生用书第40页
[自主梳理]
微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有
定理中的式子称为__________，通常称F(x)是f(x)的一个________．
在计算定积分时，常常用记号F(x)|来表示F(b)－F(a)，于是牛顿?莱布尼茨公式也可写作f(x)dx＝F(x)|＝________.
[双基自测]
1.(sin
x＋cos
x)dx等于( )
A．0
B．－1
C．1
D．2
2．计算2dx＝( )
A.
B.＋1
C．－
D．0
3．若(2x＋k)dx＝2－k，则实数k的值为( )
A.
B．－
C．1
D．0
4．若＝－8，则a＝________.
[自主梳理]F(b)－F(a) 牛顿?莱布尼茨公式 原函数 F(b)－F(a)[双基自测]1．A (sin
x＋cos
x)dx＝sin
xdx＋cos
xdx＝(－cos
x)|＋sin
x|＝0＋0＝0.2．B 因为2＝sin2＋2sincos＋cos2＝1＋sin
x，所以＝
＝＋(－cos
x)
＝＋1.3．A 因为(2x＋k)dx＝2－k，所以x2＋kx＝2－k，所以1＋k＝2－k，所以k＝.4．4 因为＝－8，所以(x2－x)＝－8，所以(a2－a)－(a2＋a)＝－8，所以a＝4.
授课提示：对应学生用书第40页
探究一 用微积分基本定理计算定积分
[例1] 计算下列定积分：
(1)cos
xdx；
(2)(2x＋1)dx；
(3)(2x＋)dx.
[解析](1)取F(x)＝sin
x，
∵(sin
x)′＝cos
x，
∴cos
xdx＝sin
x|＝sin
1－sin
0＝sin
1.
(2)取F(x)＝x2＋x，
∵(x2＋x)′＝2x＋1，
∴(2x＋1)dx＝(x2＋x)|＝(1＋1)－0＝2.
(3)∵(x2)′＝2x，
∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝x2|＋ln|x||
＝4－1＋ln
2－ln
1＝3＋ln
2.
计算定积分时注意两点：一是注意确定原函数F(x)；二是注意积分区间，最后结果是F(x)在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)．
1．求下列定积分：
(1)
(2)
(3)dx.
解析：(1)
＝(27－9＋3)－(－1－1－1)＝24.
(2)
＝(－cos
x)＝1.
(3)dx＝－|＝－(－1)＝.
探究二 分段函数的定积分
[例2] (1)若f(x)＝求；
(2)
[解析] (1)＝＋(cos
x－1)dx
＝x3|＋(sin
x－x)|＝－＋sin
1.
(2)＝
＝
＝＋
＝＋
＝(sin
x＋cos
x)
－(cos
x＋sin
x)
＝2(－1)．
对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．要注意各段定积分的上、下限的取值区间．对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分．若是计算|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论f(x)的正负，转化为分段函数求原积分问题．
2．(1)计算定积分|x2－1|dx；
(2)求6x·(＋)2dx.
解析：(1)因为f(x)＝|x2－1|＝|x－1||x＋1|
＝
所以|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝1dx－x2dx＋x2dx－1dx
＝x|－x3|＋x3|－x|
＝1－＋(8－1)－(2－1)
＝1－＋－－1＝2.
(2)原式＝6(x2＋2x＋1)dx
＝6(x2＋2x＋1)dx
＝6(x3＋x2＋x)|＝112.
探究三 微积分基本定理的综合应用
[例3] 已知x∈(0,1]，f(x)＝(1－2x＋2t)dt，求f(x)的值域．
[解析] (1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]
＝2－2x，即f(x)＝－2x＋2，
因为x∈(0,1]，
所以f(1)≤f(x)＜f(0)，即0≤f(x)＜2，
所以函数f(x)的值域是[0,2)．
含有参数的定积分问题的处理方法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式等数学知识综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与原函数F(x)等概念．
3．设F(x)＝(t2＋2t－8)dt.
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求F(x)在[1,3]上的最值．
解析：依题意：F(x)＝(t2＋2t－8)dt
＝(t3＋t2－8t)|＝x3＋x2－8x，
定义域是(0，＋∞)．
(1)F′(x)＝x2＋2x－8，
令F′(x)>0，得x>2或x<－4，
令F′(x)<0，得－4由于定义域是(0，＋∞)，
∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)．
(2)令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，
由于F(1)＝－，F(2)＝－，F(3)＝－6，
∴F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)＝－6，最小值是F(2)＝－.
利用函数的奇偶性巧解定积分
[例4] 已知函数f(x)＝求的值．
[解析] 因为f(x)为偶函数，
所以＝2(x2－2x＋1)dx
＝2×＝2＝.
[感悟提高] 奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则＝0.
(2)若偶函数y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，则＝2g(x)dx，如本例为偶函数，可用该结论计算．
PAGE3 定积分的简单应用
授课提示：对应学生用书第42页
[自主梳理]
一、平面图形的面积
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形(如图)的面积为S，则
S＝f(x)dx－g(x)dx.
二、常见的平面图形的计算
1．求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a
图(1)中，f(x)>0，f(x)dx>0，因此面积S＝________；
图(2)中，f(x)<0，f(x)dx<0，因此面积S＝__________＝________；
图(3)中，当a≤x≤c时，f(x)<0，当c≤x≤b时，f(x)>0，因此面积S＝________＝________.
2．求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a
图(4)中，f(x)>g(x)>0，面积S＝________；
图(5)中，f(x)>0，g(x)<0，面积S＝______＝______.
3．旋转轴是x轴的旋转体的体积公式是V＝π[f(x)]2dx(a[双基自测]
1．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b(aA.f(x)dx
B．－f(x)dx
C.[f(x)－a]dx
D.[f(x)－b]dx
2.dx等于( )
A.
B.
C．π
D．2π
3．由y＝cos
x(0≤x≤)与坐标轴所围图形的面积为________．
[自主梳理]二、1.f(x)dx |f(x)dx| －f(x)dx|f(x)dx|＋f(x)dx －f(x)dx＋f(x)dx 2.[f(x)－g(x)]dx f(x)dx＋|g(x)dx| [f(x)－g(x)]dx[双基自测]1．B 画示意图(图略)，利用定积分表示面积．2．A 设y＝
，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因而dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方x∈[0,1]的面积，即圆面积的.即dx＝.3．3 所围成图形的面积为S＝|∫0cos
xdx|＋|∫cos
xdx|＝∫0cos
xdx－∫cos
xdx＝sin
x|0－sin
x|＝1＋2＝3.
授课提示：对应学生用书第43页
探究一 计算简单平面图形的面积
[例1] 试求曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
[解析] 由解得或.曲线y＝x2－2x＋3及直线y＝x＋3的交点为(0,3)和(3,6)．因此所围成的图形的面积是
S＝(x＋3－x2＋2x－3)dx＝.
求函数图像围成平面图形面积的方法(1)画出两个函数的图像，先将两个函数方程联立方程组求解，得到函数图像的交点的横坐标a，b(a＜b)，确定积分区间[a，b]．(2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积函数，定积分的值就等于两个函数图像围成平面图形的面积，即S＝[f1(x)－f2(x)]dx(其中f1(x)＞f2(x))．
1．函数y＝sin
x，y＝cos
x在区间内围成的面积为________．
解析：在x∈内，y＝sin
x，y＝cos
x围成一封闭图形，如图所示．
S＝∫(sin
x－cos
x)dx
＝(－cos
x－sin
x)
＝
－
＝－(－)
＝2.
答案：2
探究二 计算复杂平面图形的面积
[例2] 求正弦曲线y＝sin
x，x∈[0，]和直线x＝及x轴所围成的平面图形的面积．
[解析] 如图，所求面积为
S＝
＝sin
xdx－
＝－cos
x|＋cos
x|π
＝2＋1＝3.
求复杂平面图形面积的步骤以及注意事项(1)步骤①画函数的图像，联立方程组求出曲线的交点坐标；②将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积；③确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．(2)注意事项根据图形特点选择适当的积分变量：若公共积分区间在x轴上，选取x为积分变量；若公共积分区间在y轴上，选取y为积分变量，要把函数变形为用y表示x的函数．
2．求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x围成的图形面积．
解析：如图所示，
由与及得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
∴S＝[－(－x)]dx＋[(2－x)－(－x)]dx
＝(＋x)dx＋[(2－x)＋x]dx
＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|
＝＋＋(2x－x2)|＝＋6－×9－2＋
＝.
探究三 计算简单旋转体的体积
[例3] 求抛物线y2＝2px(p>0)与直线x＝p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
[解析] 如图所示，
因为y2＝2px(p>0)，
所以f2(x)＝2px，x∈[0，]．
所以V＝
＝
＝πpx2＝.
找到被积函数f2(x)＝2px和积分区间[0，]是求旋转体体积的关键．求解的方法有观察分析法、数形结合法，观察几何体，列出定积分式子进行求解．旋转体的体积公式为V＝π[f(x)]2dx，注意其中的被积函数是π[f(x)]2，其解题步骤是：先求y＝f(x)的表达式，然后再用公式求定积分．
3．求半椭圆＋y2＝1(y≥0)绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．
解析：因为＋y2＝1(y≥0)可变形为y＝
，
所以V＝
＝2π(1－)dx
＝2π(1dx－dx)
＝2π(x|－×x3|)
＝2π(2－×8)＝.
因被积函数及原函数确定不准确而致误
[例4] 已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．
[解析] 根据题意，得f(x)＝
从而得y＝xf(x)＝
10x2dx＋(10x－10x2)dx
＝x3＋(5x2－x3)
＝×＋－＝.
[答案]
[错因与防范] 本题易因处被积函数和处原函数确定错误导致面积错误，当图像为折线时，对应的函数为分段函数，要分段来求，最后再相加．
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