§1 命 题
授课提示：对应学生用书第1页
一、命题
1．命题的定义
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的命题叫作真命题；判断为假的命题叫作假命题．
2．命题的形式
一个命题由条件和结论两部分组成．数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．
二、四种命题
一般地，对于两个命题
1．若一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题叫作互为逆命题．若把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆命题．
2．若一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互为否命题．若把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．
3．若一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题．若把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．
三、四种命题之间的关系
[疑难提示]
一个语句是命题，必须具备两个特征
(1)是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等一般都不是命题；(2)可以判断真假，这个语句是对还是错是唯一确定的，不能模棱两可．
[想一想]
1．命题“正方形是平行四边形”的结论和条件各是什么？
提示：条件：一个四边形是正方形．结论：这个四边形是平行四边形．
[练一练]
2．下列语句是命题的是( )
A．p(x)：x2－1＝0
B．q(x)：5x是5的倍数
C．三角函数是周期函数吗？
D．对所有整数x,5x－1是整数
解析：只有D能判断为真命题．A中x＝±1时，x2－1＝0为真，x≠±1时，x2－1＝0为假．所以选项A无法判断真假．选项B中，x可能是小数，所以B也不能判断真假．选项C是疑问句，不涉及真假．
答案：D
3．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( )
A．真命题的个数一定是奇数
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D．以上判断都不正确
解析：因为原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题也互为逆否命题，它们也同真同假，所以四种命题中，真命题个数为0或2或4，都是偶数个．
答案：B
4．命题“奇函数的定义域和图像均关于原点对称”的条件p是__________，结论q是________________________________________________________________________．
解析：将题中命题写成“若p，则q”的形式：若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图像均关于原点对称．
答案：一个函数是奇函数 这个函数的定义域和图像均关于原点对称
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 判断命题的真假
[典例1] 判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)奇数的平方仍是奇数．
(2)两条对角线垂直的四边形是菱形．
(3)所有的质数都是奇数．
(4)5x>4x.
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？
(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数．
[解析] (1)是命题，而且是真命题．
(2)是命题，而且是假命题．如图所示，四边形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD时，对角线AC也垂直于对角线BD.
(3)是命题，而且是假命题．因为2是质数，但不是奇数．
(4)不是命题．因为x是未知数，不能判断不等式的真假．
(5)是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立．
(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题．
(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(8)是命题，而且是假命题．如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．
1．判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假．
2．在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
1．给出下列命题：
①函数y＝sin
x的最小正周期是π；
②函数y＝2x3是指数函数；
③一次函数y＝x＋1的图像与x轴的交点为(－1,0)；
④f(x)＝x2在R上是增函数．
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：函数y＝sin
x的最小正周期为T＝＝2π，所以①是假命题；易知②是假命题；令x＋1＝0，得x＝－1，故一次函数y＝x＋1的图像与x轴的交点为(－1,0)，所以③是真命题；易知f(x)＝x2在R上不是增函数，所以④是假命题．故选C.
答案：C
2．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个数不是合数就是质数．
(2)x≥16.
(3)一个实数不是正数就是负数．
(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．
(5)空集是任何非空集合的真子集．
(6)指数函数是增函数吗？
解析：(1)是假命题．例如：1既不是质数也不是合数．
(2)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．
(3)是假命题．因为0既不是正数也不是负数．
(4)是真命题．代入验证即可．
(5)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．
(6)不是命题．因为无法判断真假．
探究二 四种命题的关系
[典例2] 用“若p，则q”的形式写出下列命题及其逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
(2)如果x>8，那么x>0.
(3)当x＝－1时，x2－x－2＝0.
[解析] (1)原命题：若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；真命题．
逆命题：若一个四边形是圆的内接四边形，则这个四边形的对角互补；真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；真命题．
逆否命题：若一个四边形不是圆的内接四边形，则这个四边形的对角不互补；真命题．
(2)原命题：若x>8，则x>0；真命题．
逆命题：若x>0，则x>8；
假命题．
否命题：若x≤8，则x≤0；
假命题．
逆否命题：若x≤0，则x≤8；真命题．
(3)原命题：若x＝－1，则x2－x－2＝0；真命题．
逆命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1；假命题．
否命题：若x≠－1，则x2－x－2≠0；假命题．
逆否命题：若x2－x－2≠0，则x≠－1；真命题．
1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：
(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．
2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
解析：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.
4．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．
否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．
逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数．该命题是真命题．
探究三 等价命题的应用
—
5．判断命题“若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”的真假．
解析：先判断它的逆否命题的真假．
原命题的逆否命题为“若△ABC是直角三角形，则a2＋b2＝c2”，显然它是假命题，又因为逆否命题与原命题等价，所以原命题为假命题．
6．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.
证明：原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.
因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1，
所以原命题成立．
7．现有张三、李四、王五三人，张三说：“李四在说谎”，李四说：“王五在说谎”，王五说：“张三、李四都在说谎”，请问：张三、李四、王五谁在说谎，谁说的是真话？
解析：设张三为A，李四为B，王五为C，说真话为1，说谎话为0.
(1)若A＝1，即张三说真话，由于张三说：“李四在说谎”，所以B＝0，而李四说：“王五在说谎”，但李四说假话，所以王五说真话，C＝1；
由于王五说：“张三和李四都在说谎”，即A＝0，B＝0与A＝1矛盾．
所以A＝1时，问题无解．
(2)若张三说假话，即A＝0.由于张三说：“李四在说谎”，可知李四说真话，即B＝1，由李四说：“王五在说谎”知C＝0，由于王五说：“张三、李四都在说谎”，且C＝0，可得A＝0，B＝1或A＝1，B＝0或A＝1，B＝1，只要这三种情况有一种成立，就说明王五说的是假话．因为这三种情况至少有一人说的是真话，由这三种情况可挑选出A＝0，B＝1，C＝0符合要求．
所以张三、王五说假话，李四说真话．
等价命题的应用
[典例] 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[证明] “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
因为a＝2b＋1，
所以a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
所以命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
[感悟提高] 当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
PAGE2 充分条件与必要条件
授课提示：对应学生用书第3页
一、充分条件和必要条件的概念
若“p”成立，则“q”一定成立．记作“p?q”，称p是q的充分条件；q是p的必要条件．换个角度考虑，p?q，就是说，为了使q成立，具备条件p就足够了．反过来说，一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．
二、充要条件
对于p和q，如果有p?q，又有q?p，那么，记作p?q.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件；同时，q既是p的充分条件，也是p的必要条件．我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．也称p与q是等价的．
[疑难提示]
p是q的充要条件与p的充要条件是q的区别
p是q的充要条件指的是p?q是充分性，p的充要条件是q中，q?p是充分性．
[想一想]
1．若p是q的充分条件，那么p唯一吗？
提示：不唯一，如x>3是x>0的充分条件，x>5、x>10也是x>0的充分条件．
[练一练]
2．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．
答案：A
3．“x2－3x＋2<0”是“－1解析：由x2－3x＋2<0，得1答案：充分不必要
授课提示：对应学生用书第4页
探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
[典例1] 指出下列各命题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：m>4，q：关于x的方程x2＋mx＋3＝0有实根；
(3)p：x＝1，或x＝2，q：x－1＝；
(4)在△ABC中，p：sin
A>sin
B，q：tan
A>tan
B.
[解析] (1)∵a＋b＝0?/
a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)当m>4时，判别式Δ＝m2－12>0，
∴方程有实根，即p?q；
若方程有实根，
则Δ＝m2－12≥0，即m≥2或m≤－2，推不出m>4.
即q?/
p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵x＝1，或x＝2?x－1＝；
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的充要条件．
(4)取A＝120°，B＝30°，p?/
q，又取A＝30°，B＝120°，q?/
p，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
判断充要条件的方法
(1)判断p是q的什么条件，其实质是判断p?q及q?p两命题的正确性，若p?q为真且q?p为假，则p是q的充分不必要条件；若p?q为假而q?p为真，则p是q的必要不充分条件；若p?q与q?p均为真，则p是q的充要条件；若p?q及q?p均不正确，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题．
(3)当不易判断p?q的真假时，可从集合角度入手考虑．
建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B，且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
1．“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－
”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当k＝－时，圆心(2,0)到直线y＝－x＋1的距离为＝1，直线y＝－x＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，故必要性成立；若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则k＝－或k＝0，故充分性不成立，所以“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－”的必要不充分条件，故选C.
答案：C
2．指出下列各题中，p是q的什么条件：
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；
(2)p：同位角相等，q：两直线平行；
(3)p：x＝3，q：x2＝9；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
解析：(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件；
(2)因为命题“若同位角相等，则两直线平行”是真命题，而命题“若两直线平行，则同位角相等”也是真命题，所以p是q的充要条件；
(3)因为命题“若x＝3，则x2＝9”是真命题，而命题“若x2＝9，则x＝3”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；
(4)因为命题“若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形”是假命题，而命题“若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等”也是假命题，所以p不是q的充分条件，也不是必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．
探究二 充要条件的证明
[典例2] 设a，b，c分别为△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
[证明] 充分性：因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.该方程有两根：x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同样，另一个方程x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0.该方程也有两根：x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．从而可以发现x1＝x3，所以两方程有公共根．
必要性：设x是两方程的公共根，
则
由①＋②得x＝－(a＋c)，将其代入①并整理可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°.
充要条件的证明关键是根据定义确定条件和结论，然后搞清充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件．也可以理解为：证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．
3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
∴必要性成立．
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－
B.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：
ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
4．关于x的不等式或方程，证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.
证明：先证明必要性：解x2＋px＋q≤0，
若Δ＝p2－4q>0，则不等式的解集为
{x|≤x≤}，与题意不符；
若Δ<0，x2＋px＋q>0恒成立，则不等式的解集为?，也与题意不符；
所以只有Δ＝p2－4q＝0，即p2＝4q才使得原不等式的解集中只含有一个元素{x|x＝－}．
再证明充分性：由p2＝4q，则原不等式可以整理成x2＋px＋q＝x2＋px＋＝(x＋)2≤0.
因此解集为{x|x＝－}，只有一个元素．
综上所述，x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.
探究三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
—
5．若“x2－3x－4>0”是“x2－3ax－10a2>0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(－∞，－3]∪
D．(－∞，－2]∪
解析：x2－3x－4>0?x>4或x<－1.当a≥0时，由x2－3ax－10a2>0，得x>5a或x<－2a，当a<0时，由x2－3ax－10a2>0，得x<5a或x>－2a.由题意，得或，解得a≥或a≤－2，选D.
答案：D
6．已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：∵q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．
对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10.
设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，
由题意知P?Q，
或，解得m≥9，
∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．
应用转化思想在有关命题的充分、必要条件中求参数的范围
[典例] (1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
(2)已知p：x2－x－2≤0，q：x2－3mx＋2m2≤0，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由x2－x－2>0，
解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}．
由题意得B?A，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x2－x－2＞0，
所以当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．
(2)由p是q的必要条件，得q?p，其中，p：{x|－1≤x≤2}．
不等式x2－3mx＋2m2≤0，即(x－m)(x－2m)≤0，
当m＝0时，解得x＝0，符合题意；
当m>0时，解得m≤x≤2m，依题意，得
所以0当m<0时，解得2m≤x≤m，依题意，得
所以－≤m＜0.
综上所述，实数m的取值范围是[－，1]．
[感悟提高] 设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则命题的充分条件，必要条件与集合的基本关系的转化有以下两个途径：
(1)p?q可得A?B；q?p可得B?A；
(2)A?B，可得p?q；B?A，可得q?p.
PAGE3 全称量词与存在量词
授课提示：对应学生用书第6页
一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题
二、特称命题的否定
特称命题：存在x0∈M，p(x0)成立，它的否定：任意x∈M，p(x)不成立，特称命题的否定是全称命题．
三、全称命题的否定
全称命题：任意x∈M，p(x)成立，它的否定：存在x0∈M，p(x0)不成立，全称命题的否定是特称命题．
[疑难提示]
省略量词的命题的否定
对含有量词的命题，容易知道它是全称命题还是特称命
题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“任意”，它的否定是特称命题．
[想一想]
1．同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？
提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．
[练一练]
2．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
答案：D
3．已知命题p：对任意x∈R，都有cos
x≤1，则命题p的否定为( )
A．存在x0∈R，使得cos
x0≤1
B．对任意x∈R，都有cos
x>1
C．存在x0∈R，使得cos
x0>1
D．存在x0∈R，使得cos
x0≥1
解析：根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第6页
探究一 判断全称命题与特称命题及其真假
[典例1] 试判断以下命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)对任意的x∈R，x2＋2>0；
(2)对任意的x∈N，x4≥1；
(3)存在x∈Z，x3<1；
(4)对任意的x∈R，x2－3x＋2＝0；
(5)存在x∈R，x2＋1＝0.
[解析] (1)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．对任意的x∈R，x2≥0，所以x2＋2≥2，所以x2＋2>0，所以该命题是真命题．
(2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以该命题是假命题．
(3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以该命题是真命题．
(4)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为对于x∈R，只有当x＝2或x＝1时满足x2－3x＋2＝0，所以该命题为假命题．
(5)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为不存在一个实数x，使x2＋1＝0成立，所以该命题为假命题．
1．要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
1．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1x1x2.
(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．
(4)存在T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sin
x|.
解析：(1)是全称命题．
∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)是全称命题．
存在x1＝0，x2＝π，x10＝tan
π，∴命题(2)是假命题．
(3)是特称命题．
由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，
∴命题(3)是假命题．
(4)是特称命题．
y＝|sin
x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(4)是真命题．
2．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)对任意x∈R，都有x2－x＋1>成立；
(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos
α－cos
β成立；
(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立．
解析：(1)解法一 当x∈R时，x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞，所以该命题是真命题．
解法二 x2－x＋1>?x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝，cos
α－cos
β＝cos－cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos
α－cos
β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2?N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题．
探究二 全称命题与特称命题的否定
[典例2] 写出下面命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意x∈R，都有|x|＝x；
(2)p：任意x∈R，都有x3>x2；
(3)p：至少有一个二次函数没有零点．
[解析] (1)p是全称命题．其否定为：存在x0∈R，使得|x0|≠x0；如x0＝－1，则|－1|＝1≠－1，所以其否定是真命题．
(2)p是全称命题．其否定为：存在x0∈R，使得x≤x；如x0＝－1时，(－1)3＝－1≤(－1)2，所以其否定是真命题．
(3)p是特称命题．其否定为：所有二次函数都有零点；如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，无零点，所以其否定为假命题．
一般而言，全称命题的否定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题．因此，在叙述命题的否定时，要注意量词间的转换．同时，还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质．如“三角形有外接圆”的本质应为“所有三角形都有外接圆”，因此，其否定为“存在一个三角形没有外接圆”．
3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；
(3)存在x∈R，使log2x>0成立；
(4)对任意m∈Z，都有m2－3>0成立．
解析：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．
(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．
(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.
(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
4．判断下列命题的真假，写出这些命题的否定并判断其真假．
(1)每条直线在y轴上都有一个截距；
(2)平面内，存在一个三角形，它的内角和小于180°；
(3)存在一个四边形没有外接圆．
解析：(1)命题为假命题；命题的否定为：“并非每条直线在y轴上都有一个截距”或“存在一条直线在y轴上没有截距”，其命题的否定为真命题．
(2)命题为假命题；命题的否定为：“平面内，不存在一个三角形，它的内角和小于180°”或“对任意三角形，它的内角和都不小于180°”，其命题的否定为真命题．
(3)命题为真命题；命题的否定为：“不存在一个四边形没有外接圆”或“对任意一个四边形，都有外接圆”，其命题的否定为假命题．
探究三 全称命题、特称命题的应用
—
5．写出下列命题的否定与否命题．
(1)正数a的平方根不等于零；
(2)平行四边形的对边相等．
解析：(1)命题的否定：正数a的平方根等于零；
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于零．
(2)命题的否定：平行四边形的对边不相等；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则它的对边不相等．
6．已知p(x)为真命题，求实数x的取值范围．
(1)p(x)：log2x2－1>0；
(2)p(x)：4x－2x＋1－3<0.
解析：(1)由log2x2－1>0，得x2>2，解得x∈(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)由4x－2x＋1－3<0，得(2x－3)(2x＋1)<0.
因为2x＋1>0，
所以2x<3，解得x∈(－∞，log23)．
7．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)若命题“对于任意x∈R，不等式m＋f(x)>0恒成立”为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x使不等式m－f(x)>0成立”为真命题，求实数m的取值范围．
解析：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，则m>－4，
故实数m的取值范围是(－4，＋∞)．
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．
若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，得f(x)min＝4，所以m>4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
因否定不全面致误
[典例] 写出命题p：“存在x∈[0,1]，<0”的否定，并判断p与其否定的真假．
[解析] p的否定为：“对任意x∈[0,1]，≥0或无意义”．
由于不存在x∈[0,1]，使<0成立，故p为假命题．其否定为真命题．
[错因与防范] (1)本例易出现把p的否定写为“对任意的x∈[0,1]，≥0”，从而漏掉无意义这一可能出现的情况．
(2)对于含有一个量词的命题否定时，应注意无意义的情况是否可能出现．
PAGE4 逻辑联结词“且”“或”“非”
授课提示：对应学生用书第8页
一、用逻辑联结词构成新命题
1．用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．
2．用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．
3．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”．
二、含有逻辑联结词的命题的真假
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
[疑难提示]
命题的否定和否命题的区别
命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题是对“若p，则q”形式命题的条件和结论分别否定后得到的新命题，如命题“若x>1，则x3>1”的否定为“若x>1，则x3≤1”，而它的否命题为“若x≤1，则x3≤1”．
[想一想]
1．命题“p且q”，“p或q”的否定是什么？
提示：“p且q”的否定是“綈p或綈q”，“p或q”的否定是“綈p且綈q”．
[练一练]
2．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真
B．p假q假
C．p真q假
D．p假q真
解析：“p或q”的否定“綈p且綈q”为真，则綈p和綈q均为真，从而p、q均为假．
答案：B
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 用逻辑联结词联结新命题
[典例1] 分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题：
(1)p：等比数列的公比可以是负数，q：等比数列可以是等差数列；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
[解析] (1)“p或q”：等比数列的公比可以是负数或等比数列可以是等差数列；
“p且q”：等比数列的公比可以是负数且等比数列可以是等差数列；
“非p”：等比数列的公比不可以是负数．
(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或该方程的两根的绝对值相等；
“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且该方程的两根的绝对值相等；
“非p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．
(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；
“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
“非p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
在解题过程中，不但要注意，从结构上组成“p或q”，“p且q”与“非p”形式的复合命题，同时还应从字面上对语句的表达加以适当地调整．
1．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示( )
A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选
B.
答案：B
2．在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题p1：“第一次射击中靶”，命题p2：“第二次射击中靶”，试用p1，p2及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
(1)两次射击均中靶；
(2)两次射击均未中靶；
(3)两次射击恰好有一次中靶；
(4)两次射击至少有一次中靶．
解析：(1)因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需用逻辑联结词“且”，应为：“p1且p2”；
(2)“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是綈p1发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是綈p2发生了，并且是綈p1与綈p2同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“綈p1且綈p2”；
(3)“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“p1且綈p2”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“綈p1且p2”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“p1且綈p2或綈p1且p2”；
(4)“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“p1或p2”．
探究二 复合命题的否定
[典例2] 写出下列命题的否定．
(1)p：100既能被4整除，又能被5整除；
(2)p：三条直线两两相交；
(3)p：一元二次方程至多有两个解．
[解析] (1)非p：100不能被4整除或不能被5整除．
(2)非p：三条直线中至少有两条直线不相交．
(3)非p：一元二次方程至少有三个解．
命题“p且q”的否定为“綈p或綈q”，命题“p或q”的否定为“綈p且綈q”．
3．写出下列命题的否定：
(1)p：函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有唯一交点；
(2)q：若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12＝0.
解析：(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有交点或至少有两个交点．
(2)若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12≠0.
4．p：若函数f(x)＝msin
x的最大值是5，则m＝－5，写出下列命题：
(1)非p；
(2)p的否命题．
解析：(1)非p：若函数f(x)＝msin
x的最大值是5，则m≠－5.
(2)若函数f(x)＝msin
x的最大值不是5，则m≠－5.
探究三 复合命题真值表的应用
—
5．分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇数，q：1是质数；
(3)p：0∈?，q：0∈{x|x2－3x－5<0}；
(4)p：5≤5，q：27不是质数；
(5)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．
解析：(1)p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，非p：4?{2,3}．
因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．
(2)p或q：1是奇数或是质数，p且q：1是奇数且是质数，非p：1不是奇数．
因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．
(3)p或q：0∈?或0∈{x|x2－3x－5<0}，
p且q：0∈?且0∈{x|x2－3x－5<0}，
非p：0??.
因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．
(4)p或q：5≤5或27不是质数，p且q：5≤5且27不是质数，非p：5>5.
因为p为5<5或5＝5，而5＝5为真，故p为真，又q也为真，
所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
(5)p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}，
p且q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}，
非p：不等式x2＋2x－8<0的解集不是{x|－46．判断下列命题是否为复合命题，若是，请指出它们的构成形式及构成它们的简单命题．
(1)李明是运动员兼教练员；
(2)x＝1是方程x2＝1的根；
(3)不等式|x＋1|≤0没有实数解；
(4)1是合数或是素数．
解析：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：李明是运动员，q：李明是教练员．
(2)此命题不是复合命题，是简单命题．
(3)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：不等式|x＋1|≤0有实数解．
(4)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是合数；q：1是素数．
7．已知命题p：关于x的方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解，命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0.若p或q是假命题，求实数a的取值范围．
解析：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，
∴当p为真命题时，≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2，即－2≤a≤2.
∵只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，
∴当q为真命题时，a＝0或a＝2.
∵p或q为假命题，
∴p，q均为假命题，即，
∴a<－2或a>2，
∴实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
含量词命题的复合命题
[典例] (本题满分12分)已知命题p：“对任意x>0，x＋＋1≥a”；命题q：“方程x2－ax＋2a＝0有两个不等实根”．若p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围.
[解析] 命题p为真命题时，a≤3，
命题q为真命题时，a＜0或a＞8.4分
因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q一真一假.6分
当p真q假时，0≤a≤3；当p假q真时，a＞8，……8分
所以实数a的取值范围是[0,3]∪(8，＋∞)．…12分
[规范与警示]
(1)正确理解“且”或“或”的含义是解此类题的关键，由“p且q”为假知p，q中至少一假，由“p或q”为真知p，q中至少一真．
(2)充分利用集合中的“交”“并”与命题中的“且”“或”的对应关系理解题意，注意转化思想的应用．
PAGE
