沪科版（2012）初中数学七年级下册 9.3.1 分式方程 教案

分式
9.3分式方程
——
第1课时
一、目标认知
学习目标：
　　1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．
　　2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．
　　3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．
　　
重点：
　　分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．
难点：
　　检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．
二、课前思考
什么是分式方程？解分式方程的步骤是什么？
思考题：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过5年，父亲与儿子的年龄的比是22：9。求今年父亲和儿子的年龄。
三、知识要点梳理
要点一：分式方程的定义
　　分母里含有未知数的方程叫分式方程。
　　要点诠释：
　　1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
　　2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知
　
　　数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和
　
　　都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
要点二：分式方程的解法
　　1.
解分式方程的其本思想
　　　
把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化
　　　
为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
　　2．解分式方程的一般方法和步骤
　　　
(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
　　　
(2)解这个整式方程。
　　　
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公
　　　
　
分母等于零的根是原方程的增根。
　　注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
　　3.
增根的产生的原因：
　　对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
四、经典例题透析
类型一：分式方程的定义
　　1、下列各式中，是分式方程的是（
）
　　A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．
　　思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A。因为方程里没有分母，所以不是分式方程；B。虽然有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；C。没有等号，所以不是方程，它只是一个代数式；D。具备分式方程的三个特征，是分式方程。
　　答案：D
　　总结升华：判断一个方程是不是分式方程的依据就是分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
　　举一反三：
　　【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（
）
　　A．分式方程
　　　B．一元一次方程　　
C．二元一次方程
　　　D．三元一次方程
　　答案：B
类型二：分式方程解的概念
　　2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.
　　思路点拨：分式方程是分母中含有未知数的方程，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的解.
　　解析：x＝0是方程的解，将x＝0代入得，，，所以
　　　　　只要取一对a,b的值符合，
例如
取a＝1，，得方程
　　总结升华：此题是关于分式方程的开放题，答案并不唯一，只要符合题意就可以。
　　举一反三：
　　【变式】在
中，哪个是分式方程的解，为什么？
　　解析：（1）当时，左边=，右边=0，是方程的解；
　　　　　（2）当时，左边无意义，所以不是方程的解；
　　　　　（3）当时，可得左边=右边，所以是方程的解。
类型三：分式方程的解法
　　3、解方程
　　思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。原方程的两边都要乘最简公分母，方程等号右边的常数-2也必须乘最简公分母。在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。
　　解析：方程两边都乘，得
　　　　　。
　　　　　解这个方程，得
　　　　　检验：将代入分母，这时整式的值为0
　　　　　所以是原方程的增根，应舍去
　　　　　因此，原方程无解。
　　总结升华：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,这一基本思想体现了数学思想中的转化思想；但有时在转化过程中会产生增根，所以分式方程必须验根。
　　举一反三：
　　【变式】解方程：(1)
＝
;
(2)
＋＝2.
　　解析：(1)＝
　　　　　　
去分母，方程两边同乘以x(x－1)，得
　　　　　　
3x＝4(x－1)
　　　　　　
解这个方程，得x＝4
　　　　　　
检验：把x＝4代入x(x－1)＝4×3＝12≠0，
　　　　　　
所以原方程的根为x＝4.
　　　　　(2)＋＝2
　　　　　　
去分母，方程两边同乘以(2x－1)，得
　　　　　　
10－5＝2(2x－1)
　　　　　　
解这个方程，得x＝
　　　　　　
检验：把x＝代入原方程分母2x－1＝2×－1＝≠0.
　　　　　　
所以原方程的根为x＝。
类型四：增根的应用
　　4、当m为何值时，方程会产生增根(
)
　　A.
2
　　　B.
－1　　　
C.
3　　　
D.－3
　　思路点拨：分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3。所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根。
　　答案：选C
　　总结升华：解分式方程的关键是去分母，因为在转化过程中同乘了一个含未知数的整式，可能出现使该整式值为0的解，因此，要验根，即把求得的根代入最简公分母，看结果是否为零，若为零，必须舍去。
　　举一反三：
　　【变式】.若方程＝无解，则m＝　　　　　。
　　解：原方程可化为＝－．
　　　　方程两边都乘以x－2，得x－3＝－m．
　　　　解这个方程，得x＝3－m．
　　　　因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x＝2，
　　　　所以2＝3－m，解得m＝1．
　　　　故当m＝1时，原方程无解．
五、总结反思
1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
（1）、分式方程的概念；?
（2）、解分式方程步骤（一化二解三检验）?；
（3）、增根产生的原因及验根的必要性；?
（4）、体会转化的数学思想。
2.课后作业：习题9.3
炉桥中学