6.3平面向量的基本定理和坐标表示 同步训练A-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

平面向量的基本定理和坐标表示A
一．选择题（共9小题）
1．已知向量，若，则　　
A．1或 B．或2 C．1或 D．或
2．平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点（靠近，则　　
A． B． C． D．
3．如图，在中，，设，，则　　
A． B． C． D．
4．已知点，，则　　
A． B． C． D．
5．如图，在中，为线段的中点，，，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则　　
A．点与图中的点重合 B．点与图中的点重合
C．点与图中的点重合 D．点与图中的点重合
6．已知点，向量，若，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
7．已知在中，点在边上，且，点在边上，且，则向量　　
A． B． C． D．
8．如图，中，是的中点，点满足，则　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
9．已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以为　　
A． B． C．1 D．
10．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
11．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为　　．
12．如图，已知，与的夹角为，与的夹角为，，用，表示，则　　．
13．已知在平面直角坐标系中，，，，若，则点的坐标为
　　．
14．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为　　．
四．解答题（共4小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点，的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
16．如图，在长方形中，为边的中点，为边上一点，且．设．
（Ⅰ）试用基底，，表示；
（Ⅱ）若为长方形内部一点，且．求证：，，三点共线．
17．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：，，三点共线．
18．如图，在直角坐标系中，，，点在直线上．
（1）求向量的坐标
（2）若、、三点共线，求点的坐标；
（3）若四边形是矩形，求点和点的坐标．
平面向量的基本定理和坐标表示A
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：向量，
由，得，
解得或．
故选：．
2．【解答】解：因为为平行四边形，
所以，
故．
故选：．
3．【解答】解：因为
，
故选：．
4．【解答】解：点，，
则，，．
故选：．
5．【解答】解：在中，为线段的中点，，，依次为线段从上至下的3个四等分点，
，，
，
点与图中的点重合．
故选：．
6．【解答】解：设点，，，，，
，，，，
，解得，
点坐标为．
故选：．
7．【解答】解：，，
，
故选：．
8．【解答】解：，
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：向量，
，，，，
，，，，
点，，能构成三角形，
，
，，，
解得．
实数可以为，，．
故选：．
10．【解答】解：因为四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，
；对
为的中线；
；对
；的、对
；错；
故正确的有
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：，，点在线段的延长线上，且，
，
设，则，，
解得，．
点的坐标为．
故答案为：．
12．【解答】解：由图可知，过点作直线的平行线，交所在的直线于点，则，
在三角形中，，，
，
，
故答案为：，
13．【解答】解：设；
则；；
因为，
故；
即；
故答案为：．
14．【解答】解：由已知可得：，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
此时的最小值为8，
故答案为：8．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】解：（1）平面直角坐标系中，，
，
又，设点，
则，
，
点，；
又，
点的坐标为，，即，；
（2）证明：，，，
，，
，
，四边形是梯形；
又，
梯形是等腰梯形．
16．【解答】解：（Ⅰ）由题，，
．
（Ⅱ），
，
，
，，三点共线．
17．【解答】解：（1），；
（2），，三点共线，所以存在实数，使得：
；
；
；
同理，由，，三点共线可得存在实数，使得：
；
根据平面向量基本定理得：；
解得，；
；
共线；
，，三点共线．
18．【解答】解：（1）由，得
；
（2）点在直线上，设的坐标为，则
，
、、三点共线，所以，
，
；
（3）设点的坐标为，点的坐标为，则
，，，
若四边形是矩形，则，
，，
的坐标为，的坐标为．