苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步测试（word含解析）

7.6用锐角三角函数解决问题
同步测试
一．选择题
1．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）
A．m
B．4m
C．4m
D．8m
2．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（　　）
A．20米
B．10米
C．10米
D．20米
3．如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为a，则两条平行线间的距离为（　　）
A．asinα
B．asinα+acosα
C．2acosα
D．asinα﹣acosα
4．重庆是一座著名的旅游城市，有着非常多的旅游景点，其中南山的大金鹰就是一个有名的人文景观．某周末，小李到大金鹰游玩，他从大金鹰底部的中心点A处水平向前走15米到点C，再沿坡度为1：0.75的斜坡CD走一段距离到达点D，在点D处观察测得大金鹰顶端点B的仰角为45°，再往前沿水平方向走45米到达点E，然后观察测得点B的仰角为22°，则大金鹰的高度AB约为（　　）（点A、B、C、D、E在同一平面内，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．22米
B．41米
C．50米
D．62米
5．周末时，小明和妈妈在小区对面的山上玩儿，回家走到E点时，在E点处测得楼顶A的仰角为53°，沿着坡度i＝1：2.4的山坡向下走了13米达到C处，再往前走了42米达到了B处，则小明家所住楼房的高度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．72
B．77
C．40.5
D．45.5
6．秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为a和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（忽略两人的身高与手臂长度）（　　）米．
A．120tanα+120tanβ
B．+
C．120cosα+120cosβ
D．+
7．如图，一个坡角为15°的看台横截面上看旗杆CD，在这横截面上进行测量得到以下数据：在点A和点B处测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，点A离地面高度为1米，且测得点A到点B的距离为8米，则旗杆的高度为（　　）
A．25米
B．24米
C．23米
D．26米
8．如图，某通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座垂直于水平面的5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离24m的点D处测得通信塔底B处的仰角是30°，通信塔顶A处的仰角是45°．则通信塔的高度AB为（　　）（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）
A．17m
B．16m
C．14m
D．12m
9．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东α°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝m米，则A、B两点相距（　　）
A．m（cosα+sinα）米
B．m（cosα﹣sinα）米
C．米
D．米
10．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2.4，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30'，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．顶棚的E处离地面的高度EF约为（　　）（sin18°30'≈0.32，tan18°30'≈0.33，结果精确到0.1m）
A．7.6m
B．21.6m
C．22.9m
D．23.0m
二．填空题
11．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为　
　米（结果保留根号）．
12．如图，一个公共房屋门前的台阶共高出水平地面1.2米（即BC＝1.2米）．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．若轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°，则从斜坡的起点A至房屋门B的最短的水平距离AC长约为　
　米．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】
13．如图1，AB＝EG＝5，FG＝10，AD＝4，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她包裹的方法如图2所示，则矩形ABCD未包裹住的面积为　
　．
14．如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝88cm，宽AB＝51cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退　
　cm．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到个位）
15．如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为　
　cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
三．解答题
16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度iBC＝1：，求大楼AB的高．
17．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交汇处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，其主楼BC是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，其高度为332米，在楼DE底端D点测得A的仰角为71.5°，在高楼DE的顶端E点测得B的仰角为37°，B，E之间的距离为200米．
（1）求九龙仓国际金融中心主楼BC的高度（精确到1米）；
（2）求发射塔AB的高度（精确到1米）；
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）
18．2018年，被“抖音”抖成“网红城市”大部分在西部地区，其中西安位居第二，该市青龙寺空海纪念碑游客明显高于去年同期．
如图，小丽和小明决定用所学知识测量纪念碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小丽从寺庙古塔的底端D点出发，沿直线步行5.6米到达E点，再沿坡度i＝1：2.4的斜坡EF行走2.6米到达F点，最后沿直线步行12米到达纪念碑底部B点，小明从古塔DG的底端上行到离D点25.8米的顶端G点，从G点观察到纪念碑顶端A点的俯角为21°，若A、B、C、D、E、F、G在同一平面内，且B、F和C、E、D分别在同一水平线上，试求出纪念碑AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin21°≈0.358，cos21°≈0.934，tan21°≈0.384）
参考答案
一．选择题
1．解：作CE⊥AB交AB
的延长线于E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝30°，
∴CE＝BC＝4m．
故选：C．
2．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝20米，
∴BC＝BD?sin60°＝10（米），
故选：C．
3．解：如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE≌△CFB（AAS），
∴BE＝CF，
在Rt△BCF中，BF＝a?sinα，CF＝a?cosα，
∴BE＝a?cosα，
∴EF＝BE+BF＝asinα+acosα，
即两条平行线间的距离为asinα+acosα，
故选：B．
4．解：延长ED交AB于F，则DF⊥AB，过D作DH⊥AC于H，
∵斜坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DH＝4x，CH＝3x，
∴DF＝AH＝15+3x，AF＝DH＝4x，
在Rt△ABD中，∵∠BDF＝45°，
∴BF＝DF＝15+3x，
∴EF＝45+15+3x，
在Rt△BEF中，∵∠BEF＝22°，
∴tan22°＝＝＝0.40，
∴x＝5，
∴AB＝AF+BF＝4x+15+3x＝50（m），
故选：C．
5．解：过点E作EF⊥BC的延长线于点F，作EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i＝EF：CF＝，CE＝13米，
∴EF＝5米，CF＝12米，
∴BH＝EF＝5米，HE＝BF＝BC+CF＝42+12＝54（米），
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝90°﹣53°＝37°，
∴AH＝＝＝72（米），
∴AB＝AH+HB＝72+5＝77（米）．
故选：B．
6．解：在Rt△ABD中，AD＝＝（米）；
在Rt△ABC中，BC＝＝（米）；
故两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（+）米．
故选：D．
7．解：过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于点F，
∵∠BAC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∠ABC＝45°
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝8，
∴AF＝BF＝AB＝8，
∴AC＝2AF＝16，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，
∴CE＝AC＝24，
∵DE＝1，
∴CD＝24+1＝25（米），
答：旗杆的高度为25米，
故选：A．
8．解：延长AB交DC延长线于点E，则AE⊥DC，
由题意知∠BDC＝30°，∠ADE＝45°，CD＝24，
∵BC的坡度为2：1，
∴设CE＝x、则BE＝2x、DE＝24+x，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，即，
解得：x＝10，
∴DE＝24+x＝34，BE＝2x＝20，
在Rt△ADE中，AE＝DE?tan∠ADE≈34×1＝34，
则AB＝AE﹣BE＝34﹣20＝14，
答：通信塔AB的大约高度约为14米．
故选：C．
9．解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：
由题意得：∠ACD＝45°，∠DCB＝α，
在Rt△BCD中，BC＝m，
∴DB＝BCsinα°＝m?sinα（米），CD＝BCcosα＝m?cosα（米），
在Rt△ACD中，AD＝CD＝m?cosα（米），
∴AB＝AD+DB＝m（cosα+sinα）（米）．
故选：A．
10．解：作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∵观众区AC的坡度i为1：2.4，顶端C离水平地面AB的高度为10m，
∴AB＝2.4BC＝24（m），
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝24+3＝27，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，
则EN＝DN?tan∠EDN＝27×0.33≈8.91，
∴EF＝EN+MN+MF＝8.91+4+10≈22.9（m），
故选：C．
二．填空题
11．解：在Rt△ADM中，
∵AM＝4，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM＝4，
∵AB＝8，
∴MB＝AM+AB＝12，
在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，
∴MC＝MBtan30°＝4，
∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）
答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，
故答案为：（4﹣4）．
12．解：在Rt△ABC中，∠A＝9°，BC＝1.2，
∴AC＝＝≈7.6（米）．
答：从斜坡的起点A至房屋门B的最短的水平距离AC长约为7.6米．
故答案为：7.6．
13．解：如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，
∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，
∴＝，即＝，
解得：GB′＝8，
∴S△B′C′G＝?B′C′?B′G＝×4×8＝16，
故答案是：16．
14．解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，如图所示：
则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，
∴PH＝EM，
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝66cm，
∵∠FGK＝80°，
∴∠GFK＝10°，
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴△EFM是等腰直角三角形，
∴EM＝EF＝×66≈46.53，
∵AB＝51，O为AB中点，
∴AO＝BO＝25.5，
∵PH＝EM≈46.53，
∵GN＝100?cos80°≈17，CG＝15，
∴OH＝25.5+15+17＝57.5，OP＝OH﹣PH＝57.5﹣46.53≈11，
∴他应向前约11cm，
故答案为：11．
15．解：如图，连接FA，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED，AO＝200﹣20＝180（cm），∠AFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FAO中，tan46°＝，
∴FO＝＝≈173（cm），
∴CE＝CD+DE＝50+173＝223（cm）．
故答案为：223．
三．解答题
16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，
∵ED⊥CD，
∴四边形DEFG是矩形，
∴EF＝DG，ED＝FG，
根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，
∴AF＝EF，
∵坡度，
∴BG：CG＝3：4，
设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，
∴5x＝10，
解得x＝2，
∴CG＝8，BG＝6，
∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，
∴AF＝EF＝18，
∵FG＝ED＝15，
∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，
∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．
答：大楼AB的高为27米．
17．解：（1）过点E作EF⊥AC于点F，
则四边形EFCD为矩形，
∴DE＝CF＝332米，
∵∠BEF＝37°，BE＝200米，
∴BF＝BE?sin37°＝200×0.60＝120米，
∴BC＝BF+CF＝120+332＝452米，
答：九龙仓国际金融中心主楼BC的高度为452米；
（2）∵BE＝200米，∠BEF＝37°，
∴EF＝BE?cos37°＝200×0.80＝160米，
∴DC＝160米，
在Rt△ADC中，
∵tan∠ADC＝，
∴AC＝160×3.00＝480，
∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28米，
故发射塔AB的高度为28米．
18．解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH是矩形．
在Rt△FEM中，FM：EM＝1：2.4，EF＝2.6米，
∴FM＝BC＝1米，EM＝2.4米，CM＝BF＝12米，
∴CD＝CM+EM+DE＝12+2.4+5.6＝20米，
∴GH＝CD＝20米，
在Rt△AGH中，AH＝GH?tan21°＝20×0.384≈7.68米，
∵CH＝DG＝25.8米，
∴AB＝CH﹣BC﹣AH＝25.8﹣1﹣7.68＝17.12≈17.1（米），