湖北省2021届部分重点中学高三上学期期末联考
数
学
试
题
考试时间：2月1日15：00~17：00
考试用时：120分钟
全卷满分：150分
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
若且（其中为虚数单位），则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
抛物线的焦点坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
已知a是实数，那么“”是“方程表示圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.
已知，与是方程的两个根，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
6.
贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（
）
A.
B.
C.
D.
7.
设等比数列的前项和为，首项，且.已知，若存在正整数，使得成等差数列，则的最小值为（
）
A.
16
B.
12
C.
8
D.6
8.
设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得2分，选错不得分.
9.
关于双曲线，下列说法正确的是（
）
A.
该双曲线与双曲线有相同的渐近线
B.
过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条
C.
若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D.
过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点
10.
如右图所示，在长方体中，，，，是中点，点在侧面（含边界）上运动，则（
）
A.
直线与所成角余弦值为
B.
存在点（异于点），使得四点共面.
存在点使得
若点到平面距离与到点的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分
11.
对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
过点的直线交于，若，，则
D.
与共线
12.
当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（
）
A.
的面积
B.
C.
两函数的图象必在处有交点
D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
在二项式的展开式中，各项系数和为，各项二项式系数和为，若，则展开式中的常数项为
.
若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上、下底面圆的半径分别为，则
.
已知△ABC的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为
.
若，不等式恒成立，则的最大值为
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本题满分10分）
已知函数.
求的单调递增区间；
若对，恒有成立，且
，求△ABC面积的最大值.
在下列四个条件中，任选2个补充到上面问题中，并完成求解.其中为△ABC的三个内角所对的边.
①△ABC的外接圆直径为4；②是直线截圆O：所得的弦长；③；④.
（本题满分12分）
已知数列满足，且.
证明：数列为等比数列；
记，是数列前项的和，求证：.
（本题满分12分）
如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将△沿折起到△的位置，使平面平面.
求二面角的正弦值；
在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由.
（本题满分12分）
有治疗某种疾病的两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查：两种药物各有100位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下：
服用药物：
康复时间
10
11
12
13
14
15
16
人数
9
14
16
15
16
18
12
服用药物：
康复时间
12
13
14
15
16
17
人数
11
15
14
16
18
16
10
假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复.
若康复时间低于15天（不含15天），记该种药物对某病人为“速效药物”.当时，请完成下列列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物比服用药物更速效？
速效人数
非速效人数
合计
服用A药物
服用B药物
合计
分别从服用药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用药物的7人为Ⅰ组，服用药物的7人为Ⅱ组.现从Ⅰ、Ⅱ两组中随机各选一人，分别记为甲、乙.
①为何值时，Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等（不用说明理由）；
②在①成立且的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
（本题满分12分）
已知在平面直角坐标系中，圆:的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点.
求动点的轨迹方程；
设动点的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为的两直线交动点的轨迹于两点（异于点），若，证明：直线过定点.
（本题满分12分）
已知函数若关于的方程有两个正实数根且.
求实数的取值范围；
求证：.匕省2021
重点中学
学
考
(0)≤
解得-1所以实数b的最大值为
数学试卷参考答案
ACD解析:双曲线
的渐近线均
故A正确
过
C
DCI
多项选择题:9ACD10.ABD11ACD12.BD
线l与双曲线C的右支交
通径最短为
线l与双曲线C的
A=(-∞,+
),所以A∩
线C的渐近线为y
x,直线l与双曲线C的两支各有
线l的斜率k满
解析
所以
),故C正确:过点P(,2)可作
线和两条切线,均与双曲线
C解析:抛物线的标准方程为
其焦点坐标为0
有1个交点,故这样的直线共有4条,D正确
4.A解析:方程x
表示圆则
a>0,解得
解析
线CP与BB1所成角即为CP与AA所成角∠CPA,又
方程x
ABB,
A
充分不必要条
oS∠CPA
确;在平
内,过点作
行线
C解析
意得
(a+β)
设点M在直线AB上的射影为
B∈(0,),可得
平面ABCD内过
的
A的延长
ABCD的距离即为点M到直线AB的距
抛物线的定义可知此时点M
8盏灯笼任意挂,不同的挂法共有A种,又左右两边四盏
的轨迹是抛物线的一部分
A
有
盏灯笼
顺序位次中选4个扌
4盏灯笼,共有
ACD解析
定理可知,外心O在AB上的投影为线段AB的
所以AO
C=70种)
故A成
则HA.HB=HA.HC=HB.HC,故B不正确;因为G、E
点共
在实数t,使得
AF=1AB+(1-1)uAC又G为△ABC的重心,故
是等比数列,则an=2
成等差数
所
故C成
仅
3时等号成
最
AC·BC
十
析:因为当x≥0时,f(x)=a2(a>1),且f(x)为R上偶函数,故f(x)=a
0+∞)
AB
cosB
ACIcosc
递增。所以∫(x)
f(2x),故∫(x+b)≥f(2x)
所以
所以
62x
≤0对任
0
成立,设g(x)=3
bx-b
共线,故D成
ACics
數学试卷参考答案
解析:因为图象恰有三个交点P、M、N,且△PMN是直角三角形,可知△PM
得sin(A+一)
等腰直角三角形,可得斜边长为2
得
),则A为锐角。同理
锐角
5分
a"+
△ABC为直角三角形,不符
故B正确;△P
积
故A
线的距离为
0x+φ∈q,~+q|,由正弦、余弦函数图象可得
又△ABC的外接圆直径2R
所
故D正确:Ox+φ<一π,故C不正确。
定理得:b=4
9解
各项系数和为4”,各项二项式系数和2”,所
BC的面积
得n=3,则(√x
展开式中常数项为9
为锐角三角形
B∈
4.4解析:扇环的面积为-πF
所
△ABC的面积S有最大值为
0分
0解析:设角A的平分线交BC
角平分线定理得
若选①④
C
求得D(
得
所以直线AD的方程为7x-y
又A为锐角,→A
6.e2解析:设f(x)=lnx
又a>0→f(x)在区间(0,a)若选②④
②可得圆0的圆心到直线的距离为
单调递减
递增,所以f(x)mi=f(
≥b,则
g(a)
则sin(A+-)
又A为锐角
6
g(a)<0
(0,e-2)上单调递增,在
单调递减,故
弦定理得
的最大值为e
2
得
2
是首项为
为2的等比数
2k兀≤2x≤-+2
Z可
x
kπk∈Z
故函数f(x)的单调递增区间为
(k∈z)
數学试卷参考答案
