第二章 整式的加减全章学案

第二章 整式的加减
2.1.1整式-单项式
学习目标:
1、理解单项式及单项式系数、次数的概念；会准确的确定一个单项式的系数和次数。
2、了解代数式的含义，会根据题意列代数式，并按要求书写代数式。
3、初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
重、难点：
掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确的确定一个单项式的系数和次数。[
学习过程：
一、课前准备：
1、用含有字母的式子填空。
(1)、若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
(2)、若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
(3)、若x表示正方形棱长，则正方形的体积是 ；
(4)、若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
(5)、小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
二、自主探究：
1、用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点。
①、一个数为a，则他的相反数是 ；
②、边长为a的正方体的表面积是 ，体积是 ；
③、温度由t下降10后是 ；
④、买一本笔记本需要x元，买一支笔需要y元，现买5本笔记本和2支笔共需要
花费 元。
上面所填的这些式子中， 是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式；当数与字母相乘或字母与字母相乘时，可以省略 号，且把数字因数写在字母因数的 面。如。一个单项式中， 叫做这个单项式的系数。一个单项式中， 叫做这个单项式的次数。
2、(1)单项式－5y的系数是____，次数是____(2) 单项式a3b的系数是_____，次数是_____(3) 单项式的系数是_____，次数是____(4) 单项式 －5πR2 的系数是_____，次数是_____
点拨：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；③单项式次数只与字母指数有关。
3、已知a3xb2y=a6b8，则x=________，y=________．
4、若(m-2)xny4是四次单项式,求m,n应满足的条件.
5、单项式2xmyn+2与3xm+2y4-n的次数相同,求n的值。
6、如果（k-5）x|k-2|y3是关于x，y的六次单项式，则求k的值。
三、运用新知:
1、下面各题的判断是否正确？
①－7xy2的系数是7（ ） ②－x2y3与x3没有系数（ ） ③－ab3c2的次数是0＋3＋2（ ）
④－a3的系数是－1（ ） ⑤－32x2y3的次数是7（ ） ⑥πr2h的系数是（ ）
2、练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)； (2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。
3、学生阅读课本P55页，完成例1。
4、游戏：规则：一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小组哪一组回答得快而准。
5、课堂练习：课本P56页第1～2题。
6、指出下列各单项式、、、、、的系数和次数。
7、已知代数式是一个六次单项式，求的值。
四、达标训练：
1、下列代数式中，单项式有 。
2、单项式的系数是 ，次数是 ；的系数是 ，次数是 。
3、写出一个系数为2008，且只含x、y两个字母的三次单项式： 。
4、在单项式与中x、y的指数分别相同，则m= ，n= 。
5、判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x＋1； ②； ③πr2； ④－a2b。
6、指出下列各单项式、、x的系数和次数。
7、当（a-1）x2ya+1是关于x、y的五次单项式时，求下列代数式的值：（1）、；（2）、
五、课堂小结：
2.1.2整式-多项式
学习目标:
1、通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2、通过小组讨论、合作交流，培养学生的比较、分析、归纳的能力。
3、初步体会类比和逆向思维的数学思想。
重、难点：
1、掌握整式及多项式的有关概念，
2、掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念；多项式的次数。
学习过程：
一、课前准备：
1、列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是 ；(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生 人；(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚 只。
2、 ，x＋1, －2，， 0.72xy，各式中单项式的个数是
3、单项式－x2yz2的系数、次数分别是 1. 单项式m2n2的系数是_______,次数是______, m2n2是____次单项式.
4、用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
（1）每包书有12册，n包书有（ ）册，它的系数是_____，次数是_____；
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积（ ），它的系数是_____，次数是_____;
（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h,它的体积是（ ），它的系数是_____，次数是_____；
（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为（　）元，它的系数是_____，次数是_____；
（5）一个长方形的长是0.9，宽是a，这个长方形的面积是（　），它的系数是_____，次数是_____。
二、自主探究：
1、学生阅读课本57页完成下列问题：
⑴、 叫做多项式；在多项式中， 叫做多项式的项。其中， ，叫做常数项。例如，多项式有三项，它们是， ，5。其中5是 项。
⑵、一个多项式含有几项，就叫几项式。
⑶、多项式里， 的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式是一个二次三项式。
⑷、问题：多项式的次数是所有项的次数之和吗？多项式的每一项都包括它前面的符号吗？⑸、 统称整式。
注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
2、练习：课本P59页1、2
三、课堂练习：
1、判断：
①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12（ ）；
②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1（ ）。
2、指出下列多项式是几次几项式并指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2 (2)4x3＋2x－2y2 (3)x3－x＋1 (4)x3－2x2y2＋3y2
3、已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
点拨：多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。
4、①填空：－a2b－ab＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
②已知代数式2xm－nx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。
四、达标训练：
1、多项式是单项式 , , _____的和,它是___次___项式.
2、多项式的常数项是____,一次项是_____, 二次项的系数是_____.
3、－a2b－ab＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
5、写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4，这个多项式是_____________
6、已知代数式x2+4x-2的值是3，求代数式2x2+8x-5的值。
7、下列式子中哪些是单项式,哪些是多项式，哪些是整式? 是单项式的指出它的系数和次数？是多项式的指出下列多项式是几次几项式？并指出下列多项式的项和次数？
、5a、、a、x-y、、0、、-m+1、-2x+4xy2-5x4-1、
五、尝试小结：
2.2.1 整式的加减-合并同类项
学习目标：
1、理解同类项的概念，在具体情景中认识同类项；并能判断几个单项式是否是同类项。
2、掌握合并同类项的法则，并会正确合并同类项。
3、会解有关整式的化简求值问题。
重、难点：
根据同类项的概念在多项式中找同类项；会正确合并同类项及化简求值问题。
学习过程：
一、课前准备
1、运用有理数的运算律计算：
①、100×2+252×2= ②、100×(-2)+252×(-2)=
③、100t+252t= ④、100t—252t=（ ）t
⑤、3x2＋2 x2 = ( ) x2 ⑥、3ab2－4ab2 = ( ) ab2
上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？
二、自主学习
1、观察：3x2 和 2 x2 ; 3ab2 与 －4 ab2 在结构上有哪些相同点和不同点?
2、归纳：______________________________________叫做同类项____________________也是同类项。如3和-5是同类项
点拨:①两个相同:字母相同;相同字母的指数相等。②两个无关:与系数无关;与字母顺序无关。③所有的常数项都是同类项。两个项虽然所含字母相同，但相同字母的指数不全相同就不是同类项。
3、思考：具备什么特点的多项式可以合并呢？
4、因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，4x2+2x+7+3x-8x2-2 （找出多项式中的同类项）
= （交换律）
= (结合律)
= (分配律)
=
归纳：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。
思考：合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？
归纳：合并同类项法则：
若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0·ab2=0。
5、合并下列各式的同类项：
（1）、xy2-xy2； (2)、-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2； (3)、4a2+3b2+2ab-4a2-4b2
(4)、-c2-3a+c2+3a (5)、3x－2y＋1＋3y－2x－5； (6)、3x2y－2xy2＋xy2－yx2；
三、课堂练习：
1、判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
(1)、3x与3mx是同类项。 ( ) (2)、2ab与－5ab是同类项。 ( )
(3)、3x2y与－yx2是同类项。 ( ) (4)、5ab2与－2ab2c是同类项。 ( )
(5)、23与32是同类项。 ( ) (6)、5πab2与－2b2a是同类项。 ( )
2、已知xmy2与－5ynx3是同类项，则m= ，n= 。若和是同类项，则m=_____,n=________。
3、游戏：规则：一学生说出一个单项式后，指定一位同学回答它的两个同类项。
4、若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。
(1)(s＋t)－(s－t)－(s＋t)＋(s－t)；
(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋(s－t)。
5、观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，…
（1）按此规律写出第6个单项式.
（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
四、尝试小结
2.2.2 整式的加减-化简求值
学习目标：
1、在合并同类项的基础上，进行简单的化简求值的运算。
2、能利用合并同类项解决一些实际问题。
重、难点：
会利用合并同类项将多项式进行化简，再求多项式的值。能利用合并同类项解决一些实际问题。
学习过程：
一、课前准备：
1、已知
2、填空：（1）3x-(-2x)= （2）-2x2-3x2= （3）-4xy-(-2xy)=
3、合并同类项：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
二、自主探究：
探究1：有A、B二个图形，其中A是边长为x的正方形，B是长和宽分别为2x 和 x 的长方形。
（1）二个图形的周长一共是多少？面积一共是多少？
（2）当x=3时，二个图形的周长一共是多少？面积是多少？
解：（1）二个图形的周长一共是 ，面积一共是
（2）当x=3时，二个图形的周长一共是
探究2：（1）求多项式的值，其中x=。
探究3：化简求值：
解：原式=
当x=1,y=-1时
原式=
探究4：
（1）水库中水位第一天连续下降了小时，每小时平均下降2cm；第二天连续上升了小时，每小时平均上升0．5cm，这两天水位总的变化情况如何？
解：把下降的水位变化量记为负，上升的水位量变化记为正。
则第一天水位的变化量为（ ），第一天水位的变化量为（ ）
两天水位的变化量为：
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克。上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋。进货后这个商店有大米多少千克？
三、巩固练习：
1、①、，其中x=-2 ②、，其中=0，b=2
③、
2、已知与是同类项，求的值。
3、求多项式2x2-5x+x2 +4x-3x2 - 2的值，其中x=。
4、求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值，其中a=-，b=2，c=-3。
5、化简求值。（选做题）
①、求多项式的值，其中，c=-3
②、求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3。
③、求多项式a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b的值，其中a=0.1，b=0.01；
④、求多项式的值，其中x＝－2．
⑤、求多项式的值，其中a＝－3,b=2．
四、尝试小结：
2.2.3 整式的加减-去括号
学习目标:
1、掌握去括号法则，并能运用去括号法则准确、熟练的去括号；
2、能利用去括号法则将整式化简。并能解决一些简单的实际问题。
重、难点：
1、去括号法则，准确应用法则将整式化简。
2、括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。
学习过程：
一、温故知新：
1、合并同类项：
（1） （2） （3） （4）
二、自主探究
1、利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为 100t+120（t-0.5）千米 ①
冻土地段与非冻土地段相差 100t-120（t-0.5）千米 ②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
100t+120（t－0.5）=100t+ =
100t－120（t－0.5）=100t =
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．上面两式去括号部分变形分别为：
+120（t－0.5）= ③ －120（t－0.5）= ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
归纳去括号的法则：

特别地，+（x-3）与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）；
2、化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）；
3、两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．⑴、2小时后两船相距多远？⑵、2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
点拨：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号。
三、课堂练习：
1．课本第68页练习1、2题．
2、x-[y-2x-(x+y)]化简后为 ；减去-3m等于5m2-3m-5的式子为 。
3、化简下列各式。
①、8a+2b+(5a-b) ②、(5a2-3b)-3(a2-2b) ③、-5a+2(3a-2)-3(1-a)
④、（5a+7b）+(-3b-6a) ⑤、（9y-3）-2(y+1) ⑥、-(2x2+3x)-4(-x2+x)
归纳：去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．
3、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示。
试化简|a-b|-|c-a|+|b-c|-|a|
4、计算：5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2． （一般地，先去小括号，再去中括号。）
四、尝试小结
2.2.4 整式的加减
学习目标：
1、让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算。
2、熟练的运用整式的加减运算解决实际问题，
重、难点：
1、正确进行整式的加减及整式的加减的实际运用。
2、总结出整式的加减的一般步骤。　
学习过程：
一、知识链接
1、多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？
2、如何去括号，它的依据是什么？
去括号、合并同类项是进行整式加减的基础．
二、自主学习
1、计算：（1）（2x-3y）+（5x+4y） （2）（8a-7b）-（4a-5b）．
2、一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？
3、做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）．小纸盒的长为a，宽为b，高为c；大纸盒长为1.5a，宽为2b，高为2c。⑴、做这两个纸盒共用料多少平方厘米？⑵、做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？（点拨：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．）
4、求x-2（x-y2）+（-x+y2）的值，其中x=-2，y=．
（点拨：先去括号，合并同类项化简后，再代入数值进行计算，去括号时，特别注意符号问题。）
三、课堂练习；
1、课本P70页练习1、2、3题。
2、计算
①、 ②、
③、(2)―［―(―x+)］―(x―1) ④、―3(x2―2xy+y2)+(2x2―xy―2y2)
点拨：
1、整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。
2、整式的加减的一般步骤：①如果有括号，那么先算括号。②如果有同类项，则合并同类项。
3、求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便。
四、拓展提高：
1、如果a-b=，那么-3（b-a）的值是
2、一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2，则这个多项式为
3、先化简再求值:4x2y-[6xy-3（4xy-2）-x2y]+1，其中x=2，y=-；
4、先化简，再求值:（1），其中；
（2），其中.
五、尝试小结：
第二章 整式的加减-复习与小结
学习目标:
1、使学生对本章内容的认识更全面、更系统化。
2、进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能(主要是计算)的掌握。
3、通过复习，培养学生主动分析问题的习惯。
重、难点：
本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。
学习过程
一、课前准备：
1、关于单项式，你都知道什么?关于多项式，你又知道什么?什么叫整式?什么是同类项？
2、主要法则：（1）合并同类项法则：（2）去（添）括号法则：
二、探究新知
1、找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。
，4xy，，，x2+x+，0，，m，―2.01×105
2、指出下列单项式的系数、次数：ab，―x2，xy5，。
3、指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？
4、化简，并将结果按x的降幂排列。
(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；
(2)―［―(―x+)］―(x―1)；
(3)―3(x2―2xy+y2)+ (2x2―xy―2y2)。
5、化简、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+ab)］―5ab2，其中a=，b=―。
6、一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后，得x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=―，y=时，这个多项式的值。
三、自我检测
一、选择题
1、如果，那么代数式的值是（ ）
A、0 B、2 C、5 D、8
2、已知有一多项式与(2x2(5x(2)的和为(2x2(5x(4)，求此多项式为（ ）
A、2 B、6 C、10x(6 D、4x2(10x(2 。
3、化简a＋2b－b，正确的结果（ ）
A、a－b B、－2b C、a＋b D、a＋2
4、如果 （ ）
A、3和-2 B、-3和2 C、3和2 D、-3和-2
5、已知a-2b=-2，则4-2a+4b的值是( )
A、0 B、2 C、4 D、8
6、将多项式按字母升幂排列正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、当时，代数式的值等于2002，那么当时，代数式 的值为（ ）A、2001 B、-2001 C、2000 D、-2000
二、填空题
1、若，则= ；当时，代数式的值是________；
2、若3sm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm ．若单项式3x2yn与-2xmy3是同类项，则m+n=____。
3、若实数满足，则 。
4、三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为 ．
5、把化简得 ；代数式的最大值是______.
6、代数式的值为7则的值为 .
7、代数式的系数是次数是________，次数是________；当时，这个代数式的值是________；写一个关于x的二次三项式: _______________________.
8、多项式是________次________项式，常数项是________；
9、观察下列单项式：x,-3x2,5x3,-7x4,9x5,…按此规律，可以得到第2008个单项式是______.第n个单项式怎样表示________.
三、解答题
1、如果某三位数的百位数字是（a－b+c），十位数字为（b－c+a），个位数字是（c－a+b）
（1）列出这个三位数的代数式并化简．
（2）当a=2，b=5，c=4时，求这个三位数．
2、一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”.他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为9 x2－2 x+7.已知B＝x2+3 x－2，求正确答案.　
3、某地区的手机收费有两种方式，用户可任选其一：A、月租费 20元，0.25元／分；B、月租费 25元，0.20元／分．
（1）某用户某月打手机小时，请你写出两种方式下该用户应交付的费用；
（2）若某用户估计一个月内打手机时间为25小时，你认为采用哪种方式更合算？
4、当=3时，求代数式-的值；已知:，求的值。
5、若2x＋5y＋4z=6，3x＋y－7z=－4，那么x＋y－z的值是多少？
6、已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简－＋＋.
7、设表示一个两位数，表示一个三位数，把放在的左边，组成一个五位数，把放在的左边组成一个五位数y，试问9能否整除？请说明理由.
8、一家三口（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母全票，女儿按半价优惠”；乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的80％收费”．如果这两家旅行社每人的原票价相同，那么应选择哪家旅行社比较合算？
9、已知：，且
10、若=0,求的值.
11、已知A=，B=，C=,求A+B－C.
12、若a3＋b3=35，a2b－ab2=－6，则(a3－b3)＋(3ab2－a2b)－2(ab2－b3)的值是多少？
13、求的值，其中负数的绝对值是2，正数的倒数是它的本身，负数的平方等于9.
14、已知A=2x3－xyz，B=y3－z2＋xyz，C=－x2＋2y2－xyz，且(x＋1)2＋＋=0.求：A－(2B－3C)的值.