(共47张PPT)
温故知新
1.什么是不等式？
2.什么是不等式的解？解集？
3.什么叫解不等式？不等式解集的表示方式？
1.不等式：
用符号“>”或“<”表示大小关系的式子.
2.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值.
4.解不等式：
求不等式的解集的过程.
3.不等式的解集：
使不等式成立的未知数的取值范围.
5.解集表示方式：
①不等式；
②数轴.
温故知新
等式的基本性质2：在等式两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等．
等式的这些性质适用于不等式吗？不等式有哪些性质呢？
等式的基本性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，结果仍相等．
等式具有哪些基本性质？
9.1.2
不等式的性质
第1课时
人教版七年级数学
下册
目标导航
1.理解并掌握不等式的基本性质。
2.通过实例操作,培养学生观察、分析、比较问题的能力,
会用不等式的基本性质解简单的不等式。
认真阅读课本中9.1.2
不等式的性质的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
一天，9岁的小明和7岁的小红在一起讨论年龄的问题，小红说：别看你现在比我大2岁，3年后我就比你大了。小明说：3年后我还是比你大2岁。
你认为谁说的有道理？
(1)5>3,
5+2___3+2
,
5－2___3－2
;
(2)-1<3,
-1+2___3+2
,
-1－3___3－3
;
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数
或负数）时,不等号的方向______.
不变
﹥
﹥
﹤
﹤
思考1：用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：
目标导学一：不等式的性质1
+
用天平探究不等式的性质
a
b
b+2
a+2
a
b
a+2
b+2
a
b
b-c
a-c
a
<
b
a-c
b-c
<
<
<
用数轴探究不等式的性质
+
C
－C
不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
如果a>b,那么a±c>b±c。
因为t
>0，所以a
+
t
>
a.故应选择A.
解
例1：如果t>0，那么a+
t与a的大小关系是
（
）.
A.a+t>a
B.a+t
C.a+t≥a
D.
不能确定
A
精典例题
（1）∵0
1,
∴
a
a+1(
)
（2）∵a2
0,
∴a2-2
-2(
)
（3）若x+1＞0,两边同加上-1,得_______
(依据:_____________________).
1.选择适当的不等号填空：
＜
≥
≥
x
＞-1
不等式的基本性质1
不等式的基本性质1
不等式的基本性质1
＜
即学即练
(5)∵0<1,
∴a
a+1;
+4
+4
<
(6)若a＞-b,则a+b
0.
(4)若a-4>0,则a
4;
>
>
>
先前后比较
再定不等号
即学即练
2.选择适当的不等号填空：
(3)
6＞2,
6×5____2×5
,
6×（-5）____2×（-5）
;
(4)–2<3,
(-2)×6___3×6
,
(-2)
×（-6）___3×（-6
）
当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向_____;
不变
而乘同一个负数时,不等号的方向_____;
改变
﹥
﹤
﹤
﹥
目标导学二：不等式的基本性质2、3
思考2：用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：
用不等号填一填：
1.a
b
;
2.2a
2b;
3.
.
如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为bg的立体木块，左盘放上一质量为ag的立体木块，天平向左倾斜.
ag
bg
>
>
>
ag
bg
你发现了什么？
合作探究
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a
>
b，c
>
0，那么
ac
>
bc
，
>
.
知识归纳
a>b
-a-b
a-a-b>b-a-b
-b>-a
(-1)×a<(-1)×b
×(-1)
不等式两边同乘以-1，不等号方向改变.
猜想：不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变.
a>b
×(-1)
-a<-b
×3
-3a<-3b
×c(c>0)
-ac<-bc
×-c(-c<0)
合作探究
不等式基本性质3
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a
>
b，c
<
0，那么
ac
<
bc
，
<
.
知识归纳
由数轴知cac，因此A、B、C均错误.故，应选择D.
解
实数a，b，c在数轴上的位置如图，则下列不等关系正确的是（
）.
A.ab>bc
B.ac>bc
C.ac>ab
D.
ab>ac.
a
0
b
c
例2
D
精典例题
因为
a由不等式基本性质3，得
由不等式基本性质1，得
1.
已知
a.
>
因为
，两边都加上2，
即学即练
(1)若m>-3,则-3m
9;
(3)若-a＜b,则a
-b.
(2)若a≥b,则2a
2b;
×(-3)
×(-3)
>
<
≥
>
先前后比较
再定不等号
即学即练
2.
选择适当的不等号填空。
若a>b，则下列不等式中，成立的是（
）
（A）
a-6<
b-6
（B）-3a
>
-3b
（C）
（D）-a-1
>-b-1
c
即学即练
设m＞n,用“＞”或“＜”填空。
(1)
m-5____
n-5
(2)
m+4
____
n+4
(3)
6m
____6n
(4)
-3m
____-3n
即学即练
知识拓展
不等式的其他性质：
4.对称性：若a>b,则bb。
5.传递性：若a>b,b>c,a>b>c
6.同向不等式的可加性：若a>b,c>d,则a+c>b+d
例3
如果不等式
(a＋1)x＜a＋1可变形为
x＞1，那么a
必须满足________.
方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．
解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得
a＜－1.
a＜－1
精典例题
判断下列各题的推导是否正确？为什么(口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
(2)因为a+8＞4，所以a＞-4；
(3)因为4a＞4b，所以a＞b；
(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；
(5)因为3＞2，所以3a＞2a．
答：
(1)正确，根据不等式基本性质3．
(2)正确，根据不等式基本性质1．
(3)正确，根据不等式基本性质2．
(4)正确，根据不等式基本性质1．
(5)不对，应分情况逐一讨论．
当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2)
当
a=0时，3a=2a．
当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)
即学即练
等式性质和不等式性质的主要区别是什么？
等式性质
不等式性质
文字语言
符号语言
文字语言
符号语言
性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c
性质1
不等式两边加上（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c
性质
2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a=b，那么ac=bc。
如果a=b（c=0），那么
性质
2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
如果a>b，c>0那么ac>bc，(或
)
性质
3
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
如果a>b，c<0那么ac)
合作交流
(1)如果x-5>4，那么两边都
可得到x>9
(2)如果在-7<8的两边都加上9可得到
(3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到
(4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到
(5)如果在8>0的两边都乘以8可得到
(6)如果在
的两边都乘以14
可得到
X
7
>2+
X
2
加上5
2
<
17
a+7
>
a
-21>-28
64
>
0
2x>28+7x
目标导学三：利用不等式的性质解简单的不等式
例4
利用不等式的性质解下列不等式：
(1)
x-7＞26；
(2)
3x<2x+1；
(3)
＞50；
(4)
-4x＞3.
解未知数为x的不等式
化为x＞a或x﹤a的形式
目标
方法：不等式基本性质1~3
思路：
精典例题
解
(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，
根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不
等号的方向不变,得
x-7+7﹥26+7，即x﹥33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
(1)
x-7＞26；
(2)
3x<2x+1
3x-2x﹤2x+1-2x
x﹤1
为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据
，不等式两边都减去
，不等号的方向
。
这个不等式的解在数轴上的表示如图
注意：解不等式时也可以“移项”，即把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．
2x
0
1
不等式性质1
不变
得
２
3
2
为了使不等式
－
x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质２，不等式的两边都乘3/2不等号的方向不变，得
3
x﹥75
这个不等式的解集在数轴的表示如图
０
75
不等式的两边都
除以2一3行吗?
(3)
x﹥50
(4)
-4x﹥3
为了使不等式-4x﹥3中的不等号的一边变为x，根据
，不等式两边都除以
，不等号的方向
，得
x﹤－
4
3
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
注意:(3)(4)的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数(未知数系数化为１)，解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向
－
4
3
0
不等式性质3
-4
改变
例5：如果关于x的不等式
(1-a)x>1-a
的解
集为
x<1
,那么请给出一个符合题意a的值
解：由(1-a)x>1-a
，不等式两边同时除以
1-a
，得到
x<1
不等号方向改变了，由不等式的性质3可知
1-a<0,a>1
可以取a=2
精典例题
解：
∵
-m+5>-n+5
∴
-m>-n
∴
m∴
10m+8＜10n+8
已知-m+5>-n+5,试比较10m+8与10n+8的大小。
即学即练
下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：
在不等式-4x+5>9的两边都减去5，得
-4x
>
4
在不等式-4x>
4的两边都除以-4，得
x
>
-1
请问他做对了吗？如果不对，请改正.
不对
x
<
-1
即学即练
1.若-m>5，则m
_____
-
5.
2.如果
>0,
那么xy
_____
0.
3.不等式3x-2<-1解集是
_____
.
4.如果a>-1,那么a-b
____
-1-b.
>
>
<
X
<
1
3
x
y
即学即练
不等式的基本性质
不等式基本性质2
不等式基本性质3
→
→
如果
那么
如果
那么
应用性质对不等式简单变形
不等式的基本性质1
如果a>b，那么a+c>b+c，
a-c>b-c
→
课堂小结
1.若m>n，判断下列不等式是否正确：
（1）m-7(
)
（2）3m<3n
（
）
（3）-5m>-5n
（
）
（4）
(
)
（5）
m+5≥n+5
(
)
检测目标
2.若k<0,则下列不等式中不成立的是(
)
A.k+2>k-2
B.-6k>0
C.k>-k
D.k<-k
C
检测目标
3.已知a(
)
A.4a<4b
B.-4a<-4b
C.a+4D.a-4B
检测目标
4.利用不等式的性质解下列不等式用数轴表示解集．
(1)
x+3>-1
解：根据不等式性质1,得
X<-7
(3)
4x>-12
解：根据不等式性质2，得
X>-3
0
-4
-7
0
0
-3
解：根据不等式性质1，得
X>-4
(2)
6x<5x-7
检测目标
5.若已知关于x的不等式(1-a)x
>2变形后得到
成立，则a应满足的条件是（
）
A.a>0
B.a>1
C.a<0
D.
a<1.
B
解
由(1-a)x>2得
知，在不等式两边
同除以(1-a)时，不等式的方向改变了.
根据不等式性质，得1-a<0.解得a>1.
故，应选择B.
把(1-a)看作一个整体
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共30张PPT)
温故知新
1.什么是不等式？
2.不等式的性质有哪些？数学符号怎样表示？
不等式的基本性质
不等式基本性质2
不等式基本性质3
→
→
如果
那么
如果
那么
应用性质对不等式简单变形
不等式的基本性质1
如果a>b，那么a+c>b+c，
a-c>b-c
→
温故知新
9.1.2
不等式的性质
第2课时
人教版七年级数学
下册
目标导航
1.进一步了解不等式的概念，认识几种不等号的含义;
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思。
认真阅读课本中9.1.2
不等式的性质的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
我们可以这样读书：
点信息，划精要
,圈疑问
一边读一边做标识，
一边读一边做评注，
一边读一边做概括.
问题
前面学过哪几种形式的不等式？
xx>a,
x≠a.
思考
写出下列图片信息中的含义：
八达岭长城
11月06天气：
小雪?-2～0℃
问题1
一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100
km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且s≤100x.
目标导学：含“≤”“≥”的不等式
问题2
铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
根据题意可得：
a+b+c≤160.
常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号
关
键
词
语
第一类：明确表明数量
的不等关系
第二类：明确表明数量的范围特征
①大
于
②比…大
③超
过
①小
于
②比…小
③低
于
①不小于
②不低于
③至
少
①不大于
②不超过
③至
多
正
数
负
数
非
负
数
非
正
数
不
等
号
﹤
＞
≥
≤
＞0
﹤0
≥0
≤0
我们把用不等号（>,<,≥,≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.其中“≥”读作大于等于，“≤”读作小于等于.
不等式的概念
例1.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（1）x的3倍大于或等于1；
（2）x与3的和不小于6；
（1）3x≥1；
0
0
3
（2）x+3≥6；
x≥
；
x≥3；
精典例题
例1.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（3）y与1的差不大于0；
（4）y的
小于或等于-2.
（3）y-1≤0；
（4）
y≤-2；
y≤1
；
y≤-8.
0
1
0
-8
精典例题
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
解:
移项得 x
＜10-3
1.解一元一次不等式
x
＋
3
<
10
即 x
＜
7
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
0
思考：实心小圆点和空心小圆圈分别在什么时候适用
即学即练
2.解一元一次不等式 8x－2≤7x＋3，并把它的解在数轴上表示出来。
解：移项，得
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
x
8x－
7x
≤3+2
∴
x
≤5
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
思考：求满足不等式
8x－2≤7x＋3
的正整数解
即学即练
（1）5x
<
200
;
（3）x
-
4
≥
2(x+2)
;
3.把下列不等式的解集表示在数轴上.
（4）
解：(1)
(2)
(3)
(4)
38
39
37
40
41
42
36
35
34
-11
-10
-12
-9
-8
-7
-13
-14
-15
-4
-3
-5
-2
-1
0
-6
-7
-8
（2）
1
2
3
0
-1
即学即练
例2
某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，
高10cm。容器内原有水的高度为3cm，
现准备向它继续注水。用V(单位：
）
表示新注入水的体积，写出V的取值范围。
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能
超过容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10
解得
V≤105
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，
V的取值范围是
V≥0并且V≤105
在数轴上表示V的取值范围如图
0
105
例3:
小希就读的学校上午第一节课上课时间是早上8点.
小希家距学校有2km,
而她的步行速度为每小时10km.
那么,
小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
解:
设小希上午
x
点从家里出发才能不迟到.
根据题意得
答:
小希上午7:48前时从家里出发才能不迟到.
≤8,
解得
x≤
.
利用不等式的性质解不等式的注意事项
2.要注意区分“大于”
“不大于”“小于”“不小于”等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言用数学符号准确地表达出来.
3.在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心圆圈或实心圆点.
1.在运用性质3时,要特别注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
1.用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8
cm/s，人跑开的速度是每秒4
m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100
m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？
解：设导火索的长度是x
cm
．根据题意，得
×4≥100．
答：导火索的长度应大于20
cm．
解得：
x≥20
即学即练
2.某地庆典活动需燃放某种礼花弹,为确
保人身安全,要求燃放者在点燃导火索后于
燃放前转移到10米以外的地方.已知导火
索的燃烧速度为0.02米(每秒),人离开的
速度是4米(每秒),导火索的长x米应满足
怎样的关系?
你会运用已学知识解这个不等式吗?
即学即练
一个概念：
不等式
两种思想：
数学建模、类比等式
三个注意：
一要注意“负数”、“非负数”、“不大于”、“不小于”等关键词语的含义；
二要注意仔细审题，正确列出不等式；
三要注意观察生活，让数学服务生活.
课堂小结
1.一种三轮车外胎上面标有
“限载280
kg”
的字样,
由此可知该三轮车装载货物质量
x
的取值范围是
( )
A.x
<
280
kg
B.x
=
280
kg
C.x
≤
280
kg
D.x
≥
280
kg
C
检测目标
2.V
≥0并且
V≤105
在数轴上表示V的取值范围如下图所示.
0
105
检测目标
3.用不等式表示下列语句并写出解集,
并在数轴上表示解集.
（1）x的3倍大于或等于1;
（2）x与3的和不小于6;
（3）y与1的差不大于0;
（4）y的
小于或等于-2.
分析:
本题中属于第一类表示数量不等关系的关键词语.即大于或等于、不小于都用
“
≥”
表示;
不大于、小于或等于都用
“≤”
表示.
检测目标
?
(2)x+3≥6,
解集是x≥3;
(3)y-1≤0,
解集是y≤1;
0
3
0
1
0
-8
0
?
检测目标
4.某次“人与自然”的知识竟赛中共有20道题。对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，至少要答对几道题，其得分不少于80分？
解：设答对的题数是x，则答对或不答的题数为20－x，根据题意，得
10x
–
5(20
–
x)
≥
80
解这个不等式，得:
x
≥
12
答：……
检测目标
5.三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？
解：设a，b，c为任意一个三角形的三条边的边长，则
a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b.
由式子a+b＞c移项可得
a＞c-b，b＞c-a.
类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得
c＞a-b，b＞a-c及c＞b-a，a＞b-c.
这就是说，三角形中任意两边之差小于第三边.
检测目标
6.测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算它的树龄，一般规定以树干离地面1.5
m的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为5
cm，以后树围每年增加约3
cm.这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4
m？
解：设生长x年，其树围才能超过2.4
m，根据题意，得
5+3x＞240．
解得x＞
．
答：这棵树至少生长79年，其树围才能超过2.4
m.
【点评】本题注意：
（1）栽种时的树围已经为5
cm；
（2）单位的统一．
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题