广东省平远县高级中学校2021届高三上学期第五次月考（1月）数学试题 Word版含答案

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平远县高级中学校2021届高三上学期第五次月考
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第一部分选择题（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合，若，则（）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．己知向量，，著，则( )
A．10 B．2 C． D．
4．下列判断正确的是( )
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．命题“”的否定是“”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“若，则”的否命题为“若，则”
5．已知，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
6．函数的大致图象为( )
7．如图，、分别是正方形的边、的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是（）
A． B． C． D．
8．若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知的展开式中各项的系数之和为-512，则该展开式中二项式系数最大的项可以是( )
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
10．如图是函数的部分图象，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列命题正确的是( )
A．是奇函数
B．函数的图象的对称轴是直线
C．函数的图象的对称中心是
D．函数的单调递减区间为
11．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是( )
A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了30%
D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了1.8吨
12．如图，点是正方体中的侧面
上的一个动点，则下列结论正确的是（ABD）
A．点存在无数个位置满足
B．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等
第二部分非选择题(90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知为奇函数，当时，，则曲线在
处的切线方程是．
14．已知，则，．（本题第一空2分，第二空3分）
15．回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”．如44，585， 2662 等，那么用数字1，2，3， 4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______．
16．已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间．已知为原点，且，则双曲线的离心率为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在三角形，它的内角、、的对边分别为、、，且，
，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知递增等差数列满足，，数列满足．
（1）求的前n项和；
（2）若，求数列的通项公式．
19．（本小题满分12分）
如图，已知圆O的直径AB长为2，上半圆圆弧上有一点C，∠COB=60°，点P是弧AC上的动点，点D是下半圆弧的中点，现以AB为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO、PD、CD．
(1)当AB//平面PCD时，求PC的长；
(2)当三棱锥P-COD体积最大时，求二
面角D -PC-O的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知F(2，0)，M(-2，3)，动点P满足
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点D(l，0)作直线AB交C于A，B两点，若△AFD的面积是△BFD的面积的2倍，
求︱AB︱．
21．（12分）已知a是常数，函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)若，证明：.
22．(12分)2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”，教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定对“存在问题学术论文”．有且只有l位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有l位以上（含l位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．
(1)若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；
(2)现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用I500元；若某次评审抽检论文总数为 3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应P的值．
平远县高级中学校2021届高三上学期第五次月考
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D B A C D C BC AD ABD ABD
二、填空题
13． 14．3， 15．36 16．
解析:
1．A【解析】由题意的①或②，由②得，当时，，不符合，舍去；当时，符合题意．由①得舍去．
2．D【详解】，对应点为，在第四象限．
3．D【详解】因为向量，，所以，
因为，所以，解得，所以.
4．B【解析】对于选项A：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为假命题．
对于选项B：命题“若”的否定是“真命题．
对于选项C：“”是“”的必要不充分条件，假命题．
对于选项D：命题“若则”的否命题为“若则”假命题．
5．A【解析】则的大小关系是
6．C【解析】因为，所以为偶函数，排除D；
因为，所以排除B；因为，
而，所以排除A，故选C．
8．C【详解】可知在单调递增，在单调递增，且，，画出函数图象，
观察图象可知，要使在上的最大值为4，需满足.
9．BC【解析】令，得，解得，即
所以该展开式中二项式系数最大的项是第5项或第6项．故选BC．
10．AD【详解】由图可知：，，即，解得，又当时，．解得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则函数是奇函数，对称轴是直线，对称中心是，单调递减区间为.
11．ABD【详解】本题考查统计图的应用，由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所是加速增长，所以选项A正确；
当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；
当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；
当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D正确．
12．ABD【解析】A．连接，，，，
由正方体的性质可得，，，
则面，当点上时，有，
故点M存在无数个位置满足，故A正确；
B.由己知，
当点M与点重合时，点M到面的距离最大，
则三棱锥的体积最大值为，故B正确；
C．连接，因为，则为异面直线与所成的角
设正方体棱长为1，，则，
点到线的距离为，
，解得，
所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是30°，故C错误；
D．连接，过M作，交AD于N，由面，面，得，则为点M到直线的距离，为点到直线AD的距离，由己知，则点M在以为焦点，以AD为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，故D正确．
13．【详解】为奇函数，当时，，
可得，，，
根据奇函数性质可得：
，可得
故：
∴曲线在处的切线方程是：整理可得：
14．3，【解析】因为，所以，解得，所以．
17、解：解法一：由
结合正弦定理可得：………………………………1分
因为，所以……………………………………………2分
因为
所以…………………………………………3分
因为，所以……………………………………………4分
因为，所以，所以……………………………5分
由余弦定理得，所以……………6分
选择条件①的解析：根据，结合正弦定理得…………7分
联立方程组，解得：……………………………8分
所以的面积………………………………………10分
选择条件②的解析：
联立方程组，化简得：…………………………7分
解得 ………………………………………………8分
（注：没有解出a，b，则需说明存在，否则扣1分）
所以的面积 ……………………………10分
选择条件③的解析：由得…………9分
与矛盾，所以问题中的三角形不存在 ……………………………10分
18、解：(1)设数列公差为，由，………2分
解得：或（舍去），所以，，……5分
………………6分
(2)，
…………………12分
19．解：(1)∵AB//平面PCD，AB平面OCP，平面OCP∩平面PCD= PC，
∴由线面平行的性质定理得AB // PC．…………………2分
又∠COB=60°，可得∠OCP=60°，而
OC= OP,△OCP为正角形，所以PC=1．……5分
(2) ∵二面角为直二面角，DO⊥AB,
所以DO⊥平面COP，而VP- COD= VD- COP，
∴当CO⊥OP时，三棱锥P-COD体积最大．……7分
因为OP，OD，OC两两垂直，
所以OP，OD，OC分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，……8分
P(1，0，0)，D(0，1，0)，C(0，0，1)，=（-1，0，1），=（1，-1，0）
令平面DPC的法向量为
，取（1，1，1）……10分
又取平面PCO的法向量为（0，1，0）
设二面角D-PC-O的平面角为a，，
故二面角D-PC-O的余弦值为．……12分
20．解：(1)设，则，由得．化简得即动点P的轨迹C的方程为（4分）
21．解：(1)，………1分
①当时，，，
所以在(0，1)上递减，在递增．…………2分
②当时，，或，
所以在上递减，在，上递增．…………3分
③当时，，在区间上递增，……………4分
④当时，，或，
所以在上递减，在(0，1)，上递增.…………5分
综上所述，①当时，在(0，1)上递减，在递增．
②当时，在上递减，在，上递增，
③当时，在区间上递增.
④当时，在上递减，在(0,1)，上递增.………6分
(2)要证，只需证…………7分
，故只需证，即证，………8分
令，则，………10分
故在(0,1)上递增，所以，故.……12分
22．解：(1)因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为
，…………1分
一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为
，…………2分
所以一篇学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为
…………4分
时，
所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为.………5分
(2)设每篇学术论文的评审费为X元，则X的可能取值为900，1500．………6分
，，……… 7分
.…8分
令，，
.…………9分
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．…………10分
所以的最大值为. ……………11分
所以最高费用为（万元）．对应.…12分