人教版 九年级数学下册 第27章 相似 培优训练（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版 九年级数学下册 第27章 相似 培优训练（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 562.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-04 23:48:13 | ||
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文档简介
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 培优训练
一、选择题
1. (2019?雅安)若，且，则的值是
A．4 B．2
C．20 D．14
2. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
3. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )
A. (，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2)
4. （2020·内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20
5. (2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A． B．
C． D．5
6. (2019?重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
7. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
8. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9. 上海《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为________米．
10. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．
11. （2020·临沂）如图，在中，，为边的三等分点，，为与的交点.若，则_________.
12. 在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．
14. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.
三、解答题
15. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.
(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．
16. （2020·通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB?PA，
求证：AB⊥CD．
17. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR.
18. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 培优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】由a∶b=3∶4知，所以．
所以由得到：，
解得．所以．
所以．故选A．
2. 【答案】 B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
3. 【答案】B
【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，
∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．
4. 【答案】 D
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20，因此本题选D．
5. 【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
6. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
7. 【答案】 B
【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．
8. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．
二、填空题
9. 【答案】7 [解析] ∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，
∴＝，∴＝，∴AC＝7.
10. 【答案】(－4，－8)或(4，8)
【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．
11. 【答案】1【解析】 ∵D、E为边AB的三等分点， ∴BE=ED=AD=AB.
∵，∴∴.
12. 【答案】(1)△ABC如图 (2)直角三角形 解析：(1)因为点A的坐标为(1,2)，所以点A关于y轴的对称点B的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C的坐标为(－1，－2)．连AB，BC，AC，作△ABC.
设AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC.
∴＝＝.
(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，
∴点A不在坐标轴上，
∴AB∥x轴，BC⊥x轴．
∴∠ABC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
13. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．
14. 【答案】或2.8
【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.
三、解答题
15. 【答案】
解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)
以下证明△AMF∽△BGM.
由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，
∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.
(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，
∴AM＝BM＝2.
由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝.
又AC＝BC＝4cos45°＝4，∴CG＝4－＝，CF＝4－3＝1，∴FG＝＝.
16. 【答案】
解：如图，连结AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PC?PD＝PB?PA，∵PC2＝PB?PA，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直径），AB是直径，∴AB⊥CD．
17. 【答案】
解：(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，∴PB＝PR，＝.
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ.
∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.
∴＝＝＝，∴QR＝2PQ.
又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，
∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2.
18. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
一、选择题
1. (2019?雅安)若，且，则的值是
A．4 B．2
C．20 D．14
2. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
3. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )
A. (，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2)
4. （2020·内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20
5. (2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A． B．
C． D．5
6. (2019?重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
7. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
8. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9. 上海《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为________米．
10. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．
11. （2020·临沂）如图，在中，，为边的三等分点，，为与的交点.若，则_________.
12. 在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．
14. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.
三、解答题
15. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.
(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．
16. （2020·通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB?PA，
求证：AB⊥CD．
17. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR.
18. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 培优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】由a∶b=3∶4知，所以．
所以由得到：，
解得．所以．
所以．故选A．
2. 【答案】 B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
3. 【答案】B
【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，
∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．
4. 【答案】 D
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20，因此本题选D．
5. 【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
6. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
7. 【答案】 B
【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．
8. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．
二、填空题
9. 【答案】7 [解析] ∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，
∴＝，∴＝，∴AC＝7.
10. 【答案】(－4，－8)或(4，8)
【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．
11. 【答案】1【解析】 ∵D、E为边AB的三等分点， ∴BE=ED=AD=AB.
∵，∴∴.
12. 【答案】(1)△ABC如图 (2)直角三角形 解析：(1)因为点A的坐标为(1,2)，所以点A关于y轴的对称点B的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C的坐标为(－1，－2)．连AB，BC，AC，作△ABC.
设AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC.
∴＝＝.
(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，
∴点A不在坐标轴上，
∴AB∥x轴，BC⊥x轴．
∴∠ABC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
13. 【答案】（，2）
【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．
14. 【答案】或2.8
【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.
三、解答题
15. 【答案】
解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)
以下证明△AMF∽△BGM.
由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，
∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.
(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，
∴AM＝BM＝2.
由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝.
又AC＝BC＝4cos45°＝4，∴CG＝4－＝，CF＝4－3＝1，∴FG＝＝.
16. 【答案】
解：如图，连结AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PC?PD＝PB?PA，∵PC2＝PB?PA，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直径），AB是直径，∴AB⊥CD．
17. 【答案】
解：(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，∴PB＝PR，＝.
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ.
∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.
∴＝＝＝，∴QR＝2PQ.
又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，
∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2.
18. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．