专题54巧作三线合一构造全等三角形
【专题说明】
三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
【模型展示】
如右图，在中，
①若AB=AC,,则,
②若AB=AC,
,则,
③若AB=AC,
,则,
④若,
,则AB=AC,
⑤若,
,则,
AB=AC
⑥若,
,则AB=AC,
等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。
【精典例题】
1.如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数
【解析】∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°
∴∠B=∠C=(180°?∠BAC)=(180°?100°)=40°
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°
∴AD平分∠BAC，∴∠BAD
=∠CAD=50°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB于点E，若CD=4，且△BDC的周长为24，求AE长
【解析】∵AD=DB=BC，CD=4，且△BDC的周长为24
∴AD=DB=BC=10，∴AC=14
∵AB=AC，∴AB=14
∵AD=DB，DE⊥AB
∴AE=BE=AB=7
3.已知：三角形ABC中,∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
【解析】证明：连接AD，∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，
∴AD=BD=CD，且AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，
∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°
即∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形。
4、已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC，证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（AAS）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
5.如图，△ABC中，AC=2
AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.
【解析】
证明：作EF⊥AC于F，
∵EA=EC，
∴AF=FC=AC
∵AC=2AB
∴AF=AB
∵AD平分∠BAC交BC于D
∴∠BAD=∠CAD
在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE
∴△ABE≌△AFE(SAS)
∴∠ABE=∠AFE=90°
∴EB⊥AB.
6.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.
【解析】
证明：延长BA交CD的延长线于点E.
∵BF是∠CBA的角平分线，∴∠CBF=∠DBA
∵BD⊥CE，∴∠BDC=∠EDB
∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB
∴△BDC≌△BDE，∴CD=DE
∵∠BAC=90°
∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°
∴∠BAC=∠BDC
∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED
∴∠DBA=∠ECA
∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°
∴△CAE≌△BAF
∴BF=CE
∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE
∴BF=2CD.
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C，求证：CD=AB+BD.
【解析】
证明：在DC上找一点M，使得DM=DB，连接AM.
∵AD⊥BC，DM=BD
∴AD是BM的垂直平分线
∴AB=AM
∴∠B=∠AMB
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC
∴∠MAC=∠C
∴AM=CM
∴CM=AB
∴CD=DM+MC=BD+AB.
8、已知：如图，AB=CD，AC与BD交于点O，且AC=BD．求证：∠ABO=∠DCO
证明：如图，连接AD
在△ABD和△DCA中，，∴△ABD≌△DCA（SSS）
∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等）
9、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD且AD=BC．
证明：如图，连接AC
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中，,∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）
10、已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点，求证：AF⊥CD．
证明：如图，连接AC，AD
在△ABC和△AED中，,∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形对应边相等）
∵F是CD的中点，∴CF=DF
在△ACF和△ADF中，,∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）
∵∠CFA+∠DFA=180°，∴∠CFA=90°，∴AF⊥CD
11、已知：如图，在△ABC中，点D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求证：BD=BE．
证明：如图，过点B作BF⊥AC于点F
∵BF⊥AC，∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（AAS）
∴AB=CB（全等三角形对应边相等）
在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（ASA）
∴BD=BE（全等三角形对应边相等）
12、已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．
证明：如图，
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ACE和Rt△BCD中，∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90°
∴∠BFE=90°
∴AF⊥BD专题63
构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题
1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+Bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点Q在第三象限内，且tAn∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵直线y=﹣x﹣1与x轴交于A点，∴点A坐标为（﹣3，0），
又∵直线x=﹣1为对称轴，∴点C坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；
（2）存在；
由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），
设点P的坐标为（A，﹣A﹣1），
①当△AOB∽△ADP时，，∴,解得
点P坐标为（﹣1，）；
②当△AOB∽△APD时，
过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，∴PE2=AE?ED，
∴（﹣A﹣1）2=（A+3）（﹣A﹣1），解得A1=﹣3（舍去），A2=﹣，
∴点P坐标为（﹣，﹣）；
（3）存在，CQ最小值为；
如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心，
∵tAn∠AFD=2，∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，
则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，此时CE=，
∵⊙E半径为，∴CQ最小值为.
2、如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+Bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为M，PQ与OQ的比值为y，求y与M的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；
（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．
【解析】（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴点A（4，0）、B（0，3），
把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+Bx+c，得：，解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，
则△PEQ∽△OBQ，∴，又∵=y、OB=3，∴y=PE，
∵P（M，﹣M2+M+3）、E（M，﹣M+3），
则PE=（﹣M2+M+3）﹣（﹣M+3）=﹣M2+M，
∴y=（﹣M2+M）=﹣M2+M=﹣（M﹣2）2+，
∵0＜M＜3，∴当M=2时，y最大值=，∴PQ与OQ的比值的最大值为；
（3）如图，由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1，
∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，
设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，
则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，
∴sin∠ODC=sin∠OMN=，
又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，
MN==，∴点M（﹣1，﹣），根据对称性，另一点（﹣1，）也符合题意；
综上所述，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．
3、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，
∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为；
（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线，故对称轴为直线
（3）∵对称轴x=1，
∴B-2A，，
①A＞0时，
当x=2时，，当x=0或x=2，∴函数与AB无交点；
②A＜0时，
当y=2时，，或当时，；
∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
（3）①当时，则，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当时，则.
思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即
综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
4、如图，抛物线y＝Ax2+Bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．
【解析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝Ax2+Bx+6，可得A＝﹣1，B＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，
∵C（0，6），∴C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx＋B
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得，解得：，∴直线BC'的解析式为y＝x+1
将x＝代入，解得y=，∴M（，）；
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1，此时点P有两种情况
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2，此时点P即为所求
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3，此时点P有两种情况
故存在5个满足条件的P点．
5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝Ax2+Bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，M＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时M的最小值．
（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．
【解析】解（1）∵y＝Ax2+Bx﹣8与y轴的交点为C，令x＝0，y＝﹣8，
∴点C（0，﹣8），∴OC＝8，
∵OC＝2OA，OB＝3OA，
∴OA＝4，OB＝12，
∴A（﹣4，0）B（12，0），
将点A代入直线解析式可得0＝﹣4k+，解得k＝，
∴y＝x+，
将点A和点B代入抛物线中，易得∴y＝x2﹣x﹣8；
（2）设点P的坐标为（p，p2﹣p﹣8），﹣＝4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
∴点Q（8﹣p，p2﹣p﹣8），
∴PQ＝2p﹣8，
∵PK＝2PQ，
∴PK＝4p﹣16，
如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，P+），
∴PM＝P+﹣（p2﹣p﹣8）＝﹣p2﹣p+，
∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′，
∴∠HPM＝∠MAH′，
∵直线解析式为y＝x+，，令x＝0，y＝，∴OE＝，
∵OA＝4，根据勾股定理得∴AE＝，
∴cos∠EAO＝＝,
∴cos∠HPM＝＝＝，
∴PH＝﹣p2+p+，
∵I＝PQ，
∴I＝（﹣p2+p+）﹣（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85，
∴当p＝5时，I取最大值此时点P（5，﹣），
∴PQ＝2，PK＝4，
如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，
使∠PID＝60°，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ，
∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD，
∴△IPQ≌△FPD（SAS），
∴DF＝IQ，
∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时M最小，
过点D作DN垂直于KP，
∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°，
∴∠PDN＝30°，
∵DP＝PQ＝2，
∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝，
在△KDN中，KN＝5，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2，
∴M的最小值为2；
（3）设NM与x轴交于点J，
∵AM＝13，cos∠MAJ＝，
∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，
∵OA＝4，
∴OJ＝8，
∴M（8，5），
当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，
∴N（8，﹣8），MN＝13，
在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4，
∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，
①当N′落在AN的垂直平分线上时，tAn∠MNA＝＝，
∴tAn∠MGJ＝，
∵MJ＝5，∴JG＝，根据勾股定理得MG＝，
∵MD1为∠GMJ的角平分线，∴，
∴D1J＝，∴D1（，0），
∵MD4也为角平分线，
∴∠D1MD4＝90°，
根据射影定理得MJ2＝JD1?JD4，
∴JD4＝，∴D4（，0）；
②当AN＝AN′时，
D2与点A重合，
∴D2（﹣4，0），
∵MD3为角平分线，
∴，
∴JD3＝，∴D3（，0），
综上所述D1（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．
6、如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝Ax2+Bx+c（A＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tAn∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝Ax2+Bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+M（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．
【分析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）△ONA∽△OBN，则OA?OB＝ON2＝4，即Mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝A（x﹣M）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣A（﹣M）（﹣n）＝，AH═﹣M，tAn∠BAM＝＝A（n﹣M）＝，化简得：A（n﹣M）＝…②，将（1，1）代入y＝A（x﹣M）（x﹣n）并化简得：A（5﹣M﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（M，n），n＝M2﹣5M+5，而点C（1，1），则k＝＝M﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．
【解析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（M，0）、（n，0），
∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA?OB＝ON2＝4，即Mn＝4…①，
则抛物线的表达式为：y＝A（x﹣M）（x﹣n），
过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（M+n），
则MH＝|yM|＝﹣A（﹣M）（﹣n）＝，AH＝xM﹣xA＝﹣M
tAn∠BAM＝＝A（n﹣M）＝，化简得：A（n﹣M）＝…②，
将（1，1）代入y＝A（x﹣M）（x﹣n）并化简得：A（5﹣M﹣n）＝1…③，
联立①②③并解得：M＝，n＝，A＝2，
则抛物线的表达式为y＝A（x﹣M）（x﹣n）＝A（x2﹣Mx﹣nx+Mn）＝2x2﹣9x+8；
（3）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（M，n），n＝M2﹣5M+5，而点C（1，1），则k＝＝M﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，
则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3M2﹣18M+19＝0，解得：M＝3+（不合题意的值已舍去），
k＝M﹣4＝．
【小结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．
7、如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．
（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．
【解析】（1）如图1，
当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴，，
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（A，），则E（）
∴DE＝A﹣
∴当A＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，∴PQB＝60°，∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．
（2）第一种情况：如图2，
NH＝r＝，QH＝＝，OQ＝2r＝3，
QN＝QH﹣NH＝，QB＝3，QP＝，PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18．
第二种情况，如图3，
QH＝，HN＝r＝，QB＝3+3，QP＝，PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，
第三种情况，如图4，
ON＝，OM＝，MQ＝OM﹣r＝，
第四种情况，如图5，
OB＝，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣0N＝，．
第五种情况，如图6，
MN＝BN＝OBsin15°＝，ON＝OBcos15°＝，
OM＝ON+MN＝，HM＝OM﹣r＝，
；
第六种情况，如图7，
OM＝，ON＝，MN＝OM﹣ON＝，
；
综上所述，围成的三角形面积为：；．
8、如图，抛物线y＝﹣x2+Bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为M，点P到直线BC的距离为d，求d与M的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．
【解析】（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C，∴B（5，0），C（0，5），
把B、C坐标代入y＝﹣x2+Bx+c得到：
，解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5；
（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．
∵P（M，﹣M2+M+5），∵PF∥AB，∴点F的纵坐标为﹣M2+M+5，
则有﹣M2+M+5＝﹣x+5，∴x＝M2﹣M，
∴PF＝M2﹣M﹣M＝M2﹣M，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴d＝PE＝PF＝M2﹣M（﹣2＜M＜0）；
（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．
∵∠PCB+∠POB＝180°，∴O、B、C、P四点共圆，
∴∠CPB＝∠COB＝90°，∴PH＝BC＝，又∵P（M，﹣M2+M+5），H（，），
∴（M﹣）2+（﹣M2+M+5﹣）2＝，
整理得：M（M﹣5）（M2﹣M﹣2）＝0，解得M＝0或5或﹣1或2，
∵P在第二象限，∴M＝﹣1，∴d＝M2﹣M＝．
9、在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图，直线：是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.
（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为
.
（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；
（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.
【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；故答案为：①④；
(2)存在，理由如下：
连接，过点作轴于点，如图，
在Rt△DGO中，，
∵⊙O的半径为，∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
设直线OD的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，
∵DH⊥OD，∴设直线DH的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，
∴直线DH的解析式为，∴“隔离直线”的表达式为；
(3)如图：
由题意点F的坐标为()，
当直线经过点F时，，∴，∴直线，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，过点作⊥y轴于点G，
∵点是正方形的中心，且，
∴B1C1，，∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当时，，
∴点C1的坐标是()，此时直线EF是)图象与正方形A1B1C1D1“隔离直线”，
∴点的坐标是(-1，2)，此时；当直线与只有一个交点时，
，消去y得到，
由，可得，解得：，同理，此时点M的坐标为：()，∴，
根据图象可知:当或时，直线是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．专题56
三角形中的辅助线问题
1、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．
（1）求CD的长．
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．
①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t取值范围．
【解析】（1）如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，∴BE＝BC＝2
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4
∵S△ABC＝BC?AE＝AB?CD，∴CD＝＝＝8
（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：
∵S△ABC＝AC?BF＝AB?CD，AB＝AC，∴BF＝CD
在Rt△CDP和Rt△BQF中，
∵CP＝BQ，CD＝BF
∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）
∴PD＝QF
在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10，∴AD＝＝6
同理可得AF＝6
∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t
由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0，∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；
当点Q在FC之间时，如图所示：
此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6，解得t＝4
综上得t的值为4．
②同①可知：
v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，
Q在FC之间存在CP＝BQ，
Q在F点时，显然CP不等于BQ．
∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，
∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，
由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6，整理得v＝
∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC
∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6
所以v＝（2≤t＜6）．
2、已知：如图1，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，BE为中线，点D为BC边上一点，BD＝2CD，DF⊥BE于点F，EH⊥BC于点H．
（1）CH的长为
；
（2）求BF?BE的值；
（3）如图2，连接FC，求证：∠EFC＝∠ABC．
【解析】（1）如图1，作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，BC＝6，∴CG＝3，
∵AE＝EC，EH⊥BC，
∴EH∥AG，
∴CH＝CG＝；
故答案为：．
（2）∵BD＝2CD，
∴CD＝BC＝＝2，
∴BD＝4，
∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1.5＝0.5，
∴BH＝4+0.5＝4.5，
∵DF⊥BE，EH⊥BC，
∴∠DFB＝∠EHB，
∵∠DBF＝∠EBH，
∴△DFB∽△EHB，
∴，
∴BF?BE＝BH?BD＝＝18．
（3）如图2，过点A作AM∥BC交BE延长线于点M，
∴∠M＝∠EBC，∠AEM＝∠CEB，
又∵AE＝EC，
∴△AEM≌△CEB（AAS），
∴AM＝BC＝6，BM＝2BE，
∴BF?BM＝BF?2BE＝2×18＝36，
∵AM?BC＝6×6＝36，
∴BF?BM＝AM?BC，
∴，
∵∠FBC＝∠M，
∴△FBC∽△AMB，
∴∠ABM＝∠BCF，
∵∠EFC＝∠FBC+∠BCF，
∴∠EFC＝∠FBC+∠ABM，
∴∠EFC＝∠ABC．
3、如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长
【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝4×＝4．
（2）①如图2中，
∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，
∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠PEB＝90°，
∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC＝＝，
∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，
∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，即＝，∴AF＝2，
在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP＝AF＝2．
4、（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．
填空：①则的值为
；
②∠EAD的度数为
．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．
【解析】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠CBE＝∠ABD，
∵∠ACB＝∠BED＝45°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，
∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，
∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．
（2），∠EAD＝90°．
理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，
∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，
∴在Rt△ABC中，tAn∠ACB＝＝tAn60°＝，
在Rt△DBE中，tAn∠BED＝＝tAn60°＝，∴＝，
又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．
∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．
（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，
∴AD＝CE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，
∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，
∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，
设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，
Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．
∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．
∴线段AD的长为（2+6）．
5、已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．
（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．
①若∠ABD＝30°，DE＝，求BF的长度；
②求证：DG＝EF﹣FG；
（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．
【解析】（1）①如图1，过F作FN⊥BD于点N，
∵△BED为等腰直角三角形，DE＝，
∴在Rt△EBD中，，
设FN＝x，
在Rt△FBN与Rt△FDN中，，
∵BN+ND＝BD，∴，∴；
②证明：如图2，在ED上截取EH＝DG，连接BH，
∵DG⊥DE，BD＝BE，
∴∠E＝45°，∠BDG＝∠EDG﹣∠EDB＝45°，
∵在△EBH与△DBG中，∴△EBH≌△DBG（SAS）
∴BH＝BG，∠EBH＝∠DBG，
∴∠HBG＝∠DBG+∠HBD＝∠EBH+∠HBD＝90°，
又∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠HBA＝45°，
∵在△FHB与△FGH中，∴△FHB≌△FGB（SAS），∴HF＝FG，
∴DG＝EH＝EF﹣HF＝EF﹣FG，
∴DG＝EF﹣FG；
（2）PE＝PG+DG．
证明：如图3，在EP上截取EM＝DG，连接BM，
∵DG⊥BD，EP⊥BE，
∴∠PEB＝∠BDG＝90°，
∵在△DBG与△MEB中，∴△DBG≌△MEB（SAS），
∴BG＝BM，∠DBG＝∠EBM，
∴∠MBC＝∠MBD+∠DBG＝∠MBD+∠MBE＝90°，
∴∠MBP＝∠PBC＝45°，
∵在△GBP与△MBP中，∴△GBP≌△MBP（SAS），∴PG＝PM，
∴PE＝PM+EM＝PG+DG，
∴PE＝PG+DG．
6、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，点F分别在边AB，AD上，AE＝DF＝2，连接DE，CF交于点G．连接AC与DE交于点M，延长CB至点K，使BK＝3，连接GK交AB于点N．
（1）求证：CF⊥DE；
（2）求△AMD的面积；
（3）请直接写出线段GN的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠CDF＝∠DAE＝90°，
∵DF＝AE，∴△CDF≌△DAE（SAS），∴∠DCF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠DCF+∠ADE＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CF⊥DE．
（2）∵AE∥CD，∴＝＝＝，∴DM＝DE，
∴S△ADM＝S△ADE＝××2×6＝4．
（3）过点G作GJ⊥CD于J，GH⊥BC于H．
∵DG⊥CF，∴DG＝＝＝，∴CG＝＝＝，
∵GJ⊥CD，∴GJ＝CH＝＝＝，
∴GH＝CJ＝＝＝，HK＝6﹣+3＝
∴GK＝＝＝9．
7、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．
（1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：
想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；
想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，
证明HF＝EG；
…
请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）
【解析】（1）依题意补全图形如图所示；
（2）如图，连接DE，DG，
∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，
∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴EG＝DG＝DF．
8、如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD．
（1）求证：OC垂直平分BD；
（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD＝6，sin∠AEC＝，求CD的长．
【解析】（1）证明：∵＝，∴∠COD＝∠COB．
∵OD＝OB，∴OC垂直平分BD；
（2）①补全图形，如图所示：
；
②∵CE是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥CE于点C．
记OC与BD交于点F，由（1）知OC⊥BD，
∴∠OCE＝∠OFB＝90°．∴DB∥CE，∴∠AEC＝∠ABD．
∵在Rt△ABD中，AD＝6，sin∠ABD＝sin∠AEC＝，
∴BD＝8，AB＝10．∴OA＝OB＝OC＝5．
由（1）可知OC平分BD，即DF＝BF，
∴BF＝DF＝4，OF为△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝3，∴CF＝2．
∴在Rt△CFD中，CD＝＝2．∴CD的长为2．
9、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE．
（1）补全图形；
（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；
（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值．
【解析】（1）如图1所示：
（2）MD＝BE．
证明：延长AM交BC于点F，如图．
∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．
∵AD⊥AB，∴∠MAD+∠BAM＝90°．∴∠MAD+∠CAM＝90°
∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAD＝∠C．
又∵AM＝CE，AD＝BC，∴△AMD≌△CEB．∴MD＝BE．
（3）点M的位置如图2，
∵AB＝5，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∴．
∴BM+BE的最小值为．
10、已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．
（1）求证：EF⊥DA．
（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．
【解析】（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，
∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，
∵DF＝DE，∴EF⊥DA；
（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，
∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，
在Rt△DEO中，EO＝＝1，
∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．
11、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；
（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．
（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH
∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴CD＝CE；
（2）由（1）得△CDG≌△CEH，∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，
设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：OH2+CH2＝OC2。
∴x2+x2＝32，∴（舍负），∴OH＝，∴OD+OE＝2OH＝；
（3）如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH，又∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG
在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3，∴OH＝，CH＝，∴
12、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DC＝DE，
∵∠A＝30°，DE⊥AB，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2DC；
（2）如图2，过点M作ME∥BD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，
∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∵∠MEC＝30°，∠C＝90°
∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，
∴BC＝+2，
∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，
∴BC＝CD，
∴CD＝1+，
∴DM＝，
∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；
（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，
理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
∵DN＝DW，且∠WDN＝60°
∴△WDN是等边三角形，
∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，
∴∠WNG＝∠BND，
在△WGN和△DBN中，，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，
∴AD＝DG+DN．
（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，
理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
13、如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．
（1）求证．AD＝FD；
（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．
证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，
∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，
∵DF＝＝，∴y＝
（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，
∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4，∴x＝，∴BD＝或专题61
四边形中作辅助线造相似
1、如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【解析】（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（
SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝，∴BD＝；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×＝，
∴S△ACD＝＝＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×＝，FD＝CD﹣CF＝2﹣，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝＝3，∴AD＝．
2、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”
小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”
…
老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”
（1）求证：∠ABE＝∠DBC；
（2）求证：线段BC平分∠ACD；
（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．
（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，
∴∠ABE＝∠CBD．
（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE＝∠BCD＝60°，
∴∠ACB＝∠BCD＝60°，
∴CB平分∠ACD．
（3）结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，
∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．
∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，
∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，
∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，
∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，
∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，
∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，
∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，
∴EC+BE＝BC．
3、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
（1）证明：
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD＝＝＝5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：
解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP?AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP?CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
4、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90?，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tAn∠PDC＝，求的值．
【解析】（1）四边形AMPN是菱形；理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴AM∥PN，
∵AN∥PM，∴四边形ANPM是平行四边形，
∵将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，∴∠DPC＝∠DPC′，
∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠ADP＝∠DPM，∴DM＝PM，
∵∠APD＝90°，∴AM＝DM＝PM，∴四边形AMPN是菱形；
（2）∵tAn∠PDC＝＝，可设PC＝1，CD＝2，
过P作PG⊥AD于G，则四边形PCDG与四边形ABPG是矩形，
∴CP＝DG＝1，PG＝CD＝2，
∵PG⊥AD，∠APD＝90°，∴PG2＝AG?GD，∴4＝1?GD，∴AG＝PB＝4，AD＝AG+GD＝5，
∵BP∥AD，∴△PBF∽△ADF，∴＝＝，∴＝，
∵DM∥PB，∴△PBE∽△MDE，DM＝AD＝，∴＝＝＝，∴＝，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣BD＝BD，
∴＝＝
5、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝M，试用含M的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．
【解析】（1）①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，∴＝，即：＝，
解得：CN＝；
②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S△ADF＝s△BEF，
S△ABF＝＝＝S△BEF，
S四边形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，
∴S四边形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF：s△BEF＝1+﹣．
6、已知在?ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；
（2）若E为AB中点．
①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；
②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF
∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB
（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，
∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴
∴AF＝2AN，BF＝2EN，
∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EN，∴△MNE∽△MAD
∴，∠ADE＝∠MEN，
∴AM＝6MN，
∴AN＝7MN，
∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，
∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，
∴△ENM∽△ANE，∴
∴EN2＝MN?AN＝AN2，
∵设AE＝BE＝A，EN＝B，∴BF＝2B，AD＝6B，
∴B2＝（A2﹣B2），∴A＝2B
∴AB＝2AE＝2A＝4B，AD＝6B，∴
②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，
∵＝n，E为AB中点．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD
∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，
∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC
∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，
∵BG∥AH，∴∠H＝∠GBF＝60°，
∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，
∴△ABG∽△DAE，∴，∴BG＝AD
∵BG∥AH
∴△BFG∽△HFA，∴，∴，∴FH＝BF
∵BH＝BF+FH，∴nAD＝（）BF
∴＝
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为（2，3+2）；
（2）∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3（负值舍去），
∴OA＝3；
（3）OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，
∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，
∴AN＝AM﹣MN＝，
在Rt△OAN中，OA＝＝，
∴cos∠OAD＝＝＝．
即＝．
8、在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．
（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；
（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；
（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，
∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°
∵CG＝CH＝1，
∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，
∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，
∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，
∴HA＝HG＝，
∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．
（2）解：如图2中，连接CD，DE．
∵CF⊥AG，BC⊥CF，
∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE
在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CD＝BD，∠CDB＝90°，
∵∠CDB＝∠CFB＝90°，
∴∠FBD＝∠DCE，
在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，
∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF．
（3）如图3中，结论：＝．
理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．
∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵∠BAG＝15°，
∴∠CAE＝75°，
∵CE⊥AG，
∴∠CEA＝90°，
∴∠ACE＝15°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠FCB＝∠FBC＝45°，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴AF平分∠CAB，
∴∠FAB＝∠CAB＝30°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴EF＝AE，设EF＝AE＝M，
∵HC＝HA，
∴∠HCA＝∠HAC＝15°，
∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，
∴AH＝2AE＝2M，EH＝M，
∴EC＝2M+M，
∴AC＝＝＝（+）M，
∵BD＝AB＝AC＝M，
∴＝．
9、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．
（1）求cosA的值；
（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；
（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．
【解析】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝＝＝4，
∵S△ABC＝?BC?AH＝?AC?BM，
∴BM＝＝，
∴AM＝＝＝，
∴cosA＝＝．
（2）设AH交CD于K．
∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，
∴∠CAK＝∠ACK，
∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，
在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝，
∴AK＝CK＝，
∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，
∴△ADK∽△CDA，
∴＝＝＝＝，设AD＝M，DK＝n，
则有，解得M＝，n＝．
∴AD＝．
（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．
理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠EBC＝∠BAC，
∵∠EDC＝∠BAC，
∴∠EBC＝∠EDC，
∴D，B，E，C四点共圆，
∴∠EDB＝∠ECB，
∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，
∴∠EDB＝∠ACD，
∴∠ECB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝．
10、在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．
（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；
（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．
证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．
∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
（2）如图2中，作BM⊥AD交AD的延长线于M，连接CM．
∵∠ACB＝∠AMB＝90°，
∴C，A，B，M四点共圆，
∴∠AMC＝∠ABC＝45°，
∵∠CEM＝45°，
∴∠CEM＝∠CME，
∴CE＝CM，
∴∠ECM＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCM，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt∠EMB中，∠MEB＝30°，∴BE＝2BM＝2AE．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．
∵∠ACB＝∠AMB＝90°，
∴C，A，B，M四点共圆，
∴∠AMC＝∠ABC＝45°，
∵CN⊥CM，∴∠NCM＝90°
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝CM，
∵CH⊥MN，∴HN＝HM．
∵CD＝DB，∠CHD＝∠BMD＝90°，∠ADH＝∠BDM，
∴△CHD≌△BMD（AAS），∴DH＝DM，
∵HN＝HM，
∴DN＝3DM．专题60
四边形中作辅助线造全等
1、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．
（1）如图1，求证：BE∥DF；
（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，
在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；
（2）△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：
由（1）得：△AFD≌△CEB，
同理：△ABF≌△CDE（SAS），
∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，
作BG⊥AC于G，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD，
∵AB＝BE＝AD，
∴AB＝BE＝BC，
∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，
∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝AB，
∴AG＝＝＝AB，
∴AE＝2AG＝AB，
∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，
∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，
∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，
∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，
∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．
2、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°
∵BQ⊥AP，∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，
在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，
（2）由翻折可知，AB＝BC'，
连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，
∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，
∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，
设AN＝NC'＝A，则DN＝8﹣A，
∴在Rt△NDQ中，（8﹣A）2+62＝（A+2）2，解得：A＝4.8，即AN＝4.8．
（3）过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．
设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，
∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，
∴．
∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝＝
3、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证DG＝BE；
（2）连接FC，求tAn∠FCN的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tAn∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）如图1，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠BAE＝∠GAD，
∴△BAE≌△GAD（SAS），
∴DG＝BE；
（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
又AE＝EF，
∴△BAE≌△MEF（ASA），
∴FM＝BE，EM＝AB，
又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，
∴CM＝FM，
在Rt△FCM中，tAn∠FCN＝＝1；
（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
同理可证∠GAD＝∠FEM，
又AG＝EF，
∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，
∴EM＝AD＝BC＝8，＝，
设BE＝A，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，
∴CM＝BE＝A，
∴＝，
∴FM＝，
∴tAn∠FCN＝＝＝，即tAn∠FCN的值为定值．
4、【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是
．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，
∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，
即正方形ABCD的边长是6；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，
即DM的长是2．
5、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；
（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE．
在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；
（2）解：①连接BE，如图2所示：
由（1）可知：BG＝DE，
∵CG∥BD，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，
∵∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BCG＝∠BCE，
在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，
∵BG＝BD＝DE，
∴BD＝BE＝DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BDE＝60°；
②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：
在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，
∴EH⊥BD，BH＝BD，
∵BC＝CD＝，
∴BD＝BC＝2，
∴BE＝2，BH＝1，
∴CH＝1，
在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，
∴CE＝﹣1，
∵∠BCG＝135°，
∴∠GCN＝45°，
∴△GCN是等腰直角三角形，
∴GN＝CG＝（﹣1），
∴S△BCG＝BC?GN＝××（﹣1）＝．
6、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．
若AB+DE＝6，求BD的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．
（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（B，0），点A坐标为（0，A）．则S四边形AOBC＝
．（只需写出结果，用含A，B的式子表示）
【解析】（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，
∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；
（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，
∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，
∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，
∴点B的坐标为（2，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+B，
将A、B两点的坐标代入，得，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2，
当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；
（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：
∵OC平分∠AOB，
∴CD＝CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE＝90°，OD＝OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB，
在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，
∵点B坐标为（B，0），点A坐标为（0，A），
∴OB＝B，OA＝A，
∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，
即A+DA＝B﹣DA，∴DA＝，
∴OD＝OA+DA＝A+＝，
∴S四边形AOBC＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，
故答案为：．
7．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
【解析】（1）如图1，作DK⊥AB于点K，
∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，
在Rt△DAK中，∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，
∴AK＝5，
∴DK＝＝＝12，
∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；
（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，
∵∠AHD＝∠ADH＝α，∴AH＝AD＝13，
过点A作AM⊥DH于点M，
由（1）知AM＝12，
∴DM＝＝5，
∴DH＝10，
∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，
∴∠DEA＝∠F，
在△AEH和△EFC中，，∴△AEH≌△EFC（AAS），∴EH＝CF，CE＝AH＝13，
∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，
∵BG∥CE，
∴△FBG∽△FCE，∴，即，
∴BG＝；
（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，
由（2）可知∠AEP＝∠EFM，
在△EAP和△FEM中．，∴△EAP≌△FEM（AAS），∴EM＝AP＝13，FM＝EP，
设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，
∴FN＝FM?sinα＝（10+x），MN＝FM?cosα＝（10+x），
∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，
在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836），
对称轴x＝﹣＝1，
∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为．
8、如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．
【猜想】如图①，∠FDM的大小为
度．
【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．
求证：△ABM≌△ADM1．
【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为
．
【解析】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，又∵AM1∥DF，∴∠MAM'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，
由（1）可知：∠FDM＝45°
∵∠DFM＝90°，∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，
在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；
（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝AC?C1G，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC为定值，
当C1G最大值，△AC1C的面积最大，
连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，又∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，
∴＝AC?C1G＝×2（2﹣）＝2﹣，
9、如图，已知?ABCD，E是CA延长线上一点，且∠EAB＝90°，AB＝AE，点F是BC下方一点，且FE＝FD，∠EFD＝90°，
（1）求证：∠FEA＝∠FDC；
（2）若AF＝3，求AC的长．
（1）证明：设AC与DF交于点O，如图1所示：
∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠FDC+∠COD＝90°，
∵∠EFD＝90°，∴∠FEA+∠FOE＝90°，
又∵∠FOE＝∠COD，∴∠FEA＝∠FDC；
（2）连接CF，如图2所示：∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，
在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFC＝∠EFD＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AC＝AF＝3．
10、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S?OABC＝20．
（1）如图①，求点B的坐标：
（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．
【解析】（1）∵点A（5，0），OB＝OA，∴OA＝OB＝5，
∵S?OABC＝OA×OD＝5OD＝20，∴OD＝4，
∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥AO，BC＝AO＝5，∴∠BDO＝90°，
∴DB＝＝＝3，
∴点B（3，4）；
（2）∵点P的纵坐标为t，
∴OP＝t，∴DP＝4﹣t，
∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；
（3）如图，
由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，
∴C（﹣2，4），∴CD＝2
取OD的中点E，则DE＝OD＝2，
∴DE＝CD，∴∠DCE＝45°，
∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，
∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，
∴∠OCE＝∠CBP，
过点E作EF⊥OC于F，
∴∠CFE＝90°＝∠BDP，
∴△CFE∽△BDP，∴，
在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，∴CE＝2，
在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，
∴OC＝2，
∵CE是△OCD的中线，
∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2
∵S△OCE＝OC?EF＝×EF＝2，
∴EF＝，
在Rt△CFE中，根据勾股定理得，CF＝，∴，∴DP＝1，
∴OP＝OD﹣DP＝3，
∴t＝3，
∴P（0，3），
设Q（M，0），
∵B（3，4），
∴PQ2＝M2+9，BQ2＝（M﹣3）2+16，
∵四边形PQBR为菱形，
∴PQ＝BQ，
∴M2+9＝（M﹣3）2+16，∴M＝，
即Q（，0）．
11、知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．
（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；
（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，∴∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，
∵四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ，PD＝CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH，
在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS）；
（2）存在最小值，最小值为10，
如图1，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，∴△DPG∽△CQG，∴
＝
＝
，
由（1）可知，∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△QCH，∴
＝
＝
，
∴CH＝2AD＝4，∴BH＝BC+CH＝6+4＝10，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为10；
（3）存在最小值，最小值为（
n+4
），
如图2，作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，
∴＝＝，
∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DCH＝90°，
∵CD∥QK，∴∠QHC+∠DCH＝180°，
∴∠QHC＝∠ADQ，
∵∠PAD+∠PAG＝∠QBH+∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，
∴∠PAD＝∠QBH，
∴△ADP∽△BHQ，∴＝＝，∴BH＝2n+2，
∴CH＝BC+BH＝6+2n+2＝2n+8，
过点D作DM⊥BC于M，
又∠DAB＝∠ABM＝90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，
∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2＝4＝DM，
∴∠DCM＝45°，
∴∠HCK＝45°，
∴CK＝CH?cos45°＝
（
2n+8
）＝（
n+4
），
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（
n+4
）．专题58
三角形中作辅助线造相似
1、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．
（1）求AC边上的高BH的长；
（2）如图2，点D、E分别在边AB、BC上，G、F在边AC上，当四边形DEGF是正方形时，求DE长
【解析】（1）过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝6，∴AN＝＝＝8，
∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AN，∴BH＝＝9.6；
（2）如图2，设BH与DE交于点M，
∵四边形DEGF是正方形，
∴DE＝EG＝DF，DE∥AC，∠EDF＝∠DFC＝90°，且BH⊥AC，
∴四边形DFHM是矩形，∴DF＝MH，
∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴DE＝．
2、【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD?AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
【解析】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，∴，
∴AC2＝AD?AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE?BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF?EG，
又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，
又∵，∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（1）证明：如图1中，
∵AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∵E，D分别是OC，OB的中点，
∴CE＝BD，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
（2）解：如图1中，连接DE．
∵S△ADB＝S△ACE＝×8×4＝16，
S△EOD＝×4×4＝8，
∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．
（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，
∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，
∴KE＝KD，
∴OK＝KE＝KD＝2，
∵AO＝8，
∴AK＝6，
∴AK＝3DK，
①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴PH＝3AH，
∵HN∥OQ，QH＝HP，
∴ON＝NP，
∴HN是△PQO的中位线，
∴ON＝PN＝8﹣t，
∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴＝＝＝，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，
∵PN＝3MH，
∴8﹣t＝3（8﹣3t），
∴t＝2，
∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，
∴P（12，0）．
如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．
同法可证：△AMH∽△HNP，
∴＝＝＝，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，
∵HI是△OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
∴HIHN，
∴8+t＝9t﹣24，
∴t＝4，
∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，
∴P（24，0）．
②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．
∵MH是△QAC的中位线，
∴MH＝AC＝4，
同法可得：△HPN∽△QHM，
∴＝＝＝，
∴PN＝HM＝，
∴OM＝PN＝，设HN＝t，则MQ＝3t，
∵MQ＝MC，
∴3t＝8﹣，
∴t＝，
∴OP＝MN＝4+t＝，
∴点P的坐标为（，0）．
如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，
同法可得：△PMH∽△HNQ，
∴＝＝＝，则MH＝NQ＝，
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，∴3t＝8+，
∴t＝，
∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t＝，
∴P（，0）．
③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．
∵HI∥x轴，AH＝HP，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝IB＝4，
同法可得：△PNH∽△HMQ，
∴＝＝＝，
∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2IH＝8，
∴OP＝OB+BP＝16，
∴P（16，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（，0）或（，0）或（16，0）．
4、如图1，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN．
（1）当∠DCM＝30°时，求DM的长度；
（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM?DE＝BE?CD；
（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是
．
【解析】（1）如图1，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2OB，CD＝BC＝AB＝，
∵∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，
∴OC＝BC＝，∴OB＝OC＝，∴BD＝3，
∵∠BCD＝120°，∠DCM＝30°，∴∠BCM＝90°，
∴CM＝BC＝1，∴BM＝2CM＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝1；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵MN∥CD，MN＝CD，∴AB∥MN，AB＝MN，
∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，
∴∠AMB＝∠EBD，
∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠EDB，
∴△ABM∽△EDB，∴，∴AM?DE＝BE?AB，
∵AB＝CD，∴AM?DE＝BE?CD；
（3）如图2，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，CD∥AB，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
连接CN并延长交AB的延长线于P，
∵CD∥MN，CD＝MN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动（点N轨迹是线段CP），∠APC＝∠ABD＝30°
由（2）知，四边形ABNM是平行四边形，
∴AM＝BN，
∴AM+AN＝AN+BN，
而AM+AN最小，即：AN+BN最小，
作点B关于CP的对称点B'，当点A，N，B'在同一条线上时，AN+BN最小，
即：AM+AN的最小值为AB'，
连接BB'，B'P，
由对称得，BP＝B'P＝AB＝，∠BPB'＝2∠APC＝60°，
∴△BB'P是等边三角形，
B'P过点B'作B'Q⊥BP于Q，
∴BQ＝B'P＝，∴B'Q＝BQ＝，
∴AQ＝AB+BQ＝，
在Rt△AQB'中，根据勾股定理得，AB'＝＝3，
即：AM+AN的最小值为3，
5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cM，BC＝6cM，F点以2cM/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cM/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
（1）证明：∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，又AC⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△BAC；
（2）Rt△ABC中，＝8，由（1）知，△ACD∽△BAC，∴，即
，DC＝6.4；
（3）能．由运动知，BF＝10﹣2t，BE＝t，△EFB若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当
BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得秒．
图（1）
②当EF＝EB时，如图，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则．此时△BEG∽△BAC，∴，即，解得
图(2)
③当FB＝FE时，如图2，过点F作BC的垂线，垂足为H
则．此时△BFH∽△BAC，∴，即
，解得：
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
6、如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．
（1）当tAn∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；
（2）求证：DF?FG＝HF?EF；
（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．
（1）解：在Rt△BCE中，当tAn∠BEC＝2，
∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，
由勾股定理得，CE＝＝＝2，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∴∠ECH＝∠BEC，
∴tAn∠ECH＝＝2，即＝2，
∴EH＝4，
∴CH＝＝10；
（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，
∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF?FG＝HF?EF；
（3）证明：∵△EFG∽△DFH，
∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，
∴△GCD∽△HCE，∴＝，
又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，
∴∠CDE＝∠CGH．
7、已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE?CE＝9，求EF?DE的值．
【解析】（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB＝∠C，且∠E＝∠E，
∴△BAE∽△ACE；
（2）∵△BAE∽△ACE
∴，
∴AE2＝BE?CE＝9，
∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EFD，
∴
∴DE?EF＝AE2＝9．
8、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cM，AC＝15cM，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
【解析】（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cM，AC＝15cM，
∴BC＝＝25（cM），
∵BC×AD＝AB×AC，
∴AD＝＝＝12（cM）；
即BC边上的高为12cM；
（2）设正方形EFGH的边长为xcM，
∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
∴＝，即＝，解得：x＝，
即正方形EFGH的边长为cM．
9、如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作?DEFG．
（1）连接DF，求DF的长度；
（2）求?DEFG周长的最小值；
（3）当?DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．
【解析】（1）如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，
∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，
∵AB＝3；∴DC＝3，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；
（2）如图1所示：
作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，
连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，
①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，
②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD
由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，
∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，
又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，
∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，
∴l?DEFG＝2（NF+DF）＝6；
（3）∵?DEFG为正方形，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，
∴△ADE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF＝1，BE＝AD＝2，
过点B作BH⊥EF，如图2所示：
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴BH＝＝，
又∵△BEF～△FHB，∴＝，HF＝＝＝，
在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，
∴△BPH∽△GPF，∴＝＝＝，
∴PF＝?HF＝，
又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，
又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），
∴＝＝＝．
10、（1）如图①，在△ABC中，AB＝M，AC＝n（n＞M），点P在边AC上．当AP＝
时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
【解析】（1）∵△APB∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AP＝，
（2）作∠DEQ＝∠F，如图点Q就是所求作的点．
11、如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°
∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AFE∽△DEC．
（2）∵△AFE∽△DEC，∴＝，
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，∴＝，解得BF＝5．
答：线段BF的长为5．
12、如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．
（1）求证：△ABP∽△DAE．
（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．
①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
②当S△ACD＝时，求CE的值．
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，
∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；
（2）①∵△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；
②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，
∴AD＝，
∵AD∥BC，∴，
∵，∴，
∴，
即13x2+24x﹣100＝0，
∴x1＝2，（舍去）
∴专题59
四边形中的辅助线问题
1、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证DG＝BE；
（2）连接FC，求tAn∠FCN的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tAn∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）如图1，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠BAE＝∠GAD，
∴△BAE≌△GAD（SAS），
∴DG＝BE；
（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
又AE＝EF，
∴△BAE≌△MEF（ASA），
∴FM＝BE，EM＝AB，
又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，
∴CM＝FM，
在Rt△FCM中，tAn∠FCN＝＝1；
（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
同理可证∠GAD＝∠FEM，
又AG＝EF，
∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，
∴EM＝AD＝BC＝8，＝，
设BE＝A，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，
∴CM＝BE＝A，
∴＝，
∴FM＝，
∴tAn∠FCN＝＝＝，即tAn∠FCN的值为定值．
2、已知在?ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；
（2）若E为AB中点．
①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；
②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF
∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB
（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，
∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴
∴AF＝2AN，BF＝2EN，
∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EN∴△MNE∽△MAD
∴，∠ADE＝∠MEN，
∴AM＝6MN，∴AN＝7MN，
∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，
∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，
∴△ENM∽△ANE，∴∴EN2＝MN?AN＝AN2，
∵设AE＝BE＝A，EN＝B，∴BF＝2B，AD＝6B，
∴B2＝（A2﹣B2）
∴A＝2B
∴AB＝2AE＝2A＝4B，AD＝6B，
∴
②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，
∵＝n，E为AB中点．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD
∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，
∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC
∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，
∵BG∥AH∴∠H＝∠GBF＝60°，
∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，
∴△ABG∽△DAE，∴∴BG＝AD，
∵BG∥AH，∴△BFG∽△HFA
∴，∴，∴FH＝BF
∵BH＝BF+FH，∴nAD＝（）BF，
∴＝
3、【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是
．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．
【实践探究】
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，
∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，
即正方形ABCD的边长是6；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，
即DM的长是2．
4、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90?，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tAn∠PDC＝，求的值．
【解析】（1）四边形AMPN是菱形；
理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴AM∥PN，
∵AN∥PM，∴四边形ANPM是平行四边形，
∵将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，∴∠DPC＝∠DPC′，
∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠ADP＝∠DPM，∴DM＝PM，
∵∠APD＝90°，∴AM＝DM＝PM，∴四边形AMPN是菱形；
（2）∵tAn∠PDC＝＝，可设PC＝1，CD＝2，
过P作PG⊥AD于G，则四边形PCDG与四边形ABPG是矩形，∴CP＝DG＝1，PG＝CD＝2，
∵PG⊥AD，∠APD＝90°，∴PG2＝AG?GD，
∴4＝1?GD，∴AG＝PB＝4，AD＝AG+GD＝5，
∵BP∥AD，∴△PBF∽△ADF，∴＝＝，∴＝，
∵DM∥PB，∴△PBE∽△MDE，DM＝AD＝，∴＝＝＝，∴＝，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣BD＝BD，
∴＝＝
5、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝M，试用含M的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．
【解析】（1）①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，即：＝，解得：CN＝；
②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∴S△ADF＝s△BEF，
S△ABF＝＝＝S△BEF，
S四边形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，
∴S四边形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF：s△BEF＝1+﹣．
6、如图①，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）
（1）求BP的长；
（2）求的值；
（3）如图②当α＝60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．
【解析】（1）如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵AE＝AD＝1，AB＝，∴BE＝＝2，
∵BE⊥PE，∴∠PEB＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠EPB＝90°，
∴∠ABE＝∠EPB，
∵∠A＝∠BEP＝90°，∴△BAE∽△PEB，∴＝，
∴PB＝＝4．
（2）在Rt△ABE中，∵tAn∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，
∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝60°，
∵GH∥BC，∴∠EGH＝∠EBC＝∠EMN＝60°，
∴PE＝EB，EN＝EM，
∴＝＝，
∵∠PEB＝∠MEN＝90°，∴∠EM＝∠PEN，
∴△BEM∽△PEN，∴＝＝．
（3）如图2中，取PB的中点O，连接OQ，OK．设BQ交PE于J．
∵△BEM∽△PEN，∴∠EBM＝∠EPN，
∵∠BJE＝∠PJO，∴BEJ＝∠PQJ＝90°，
∵BO＝OP，∴OQ＝PB＝2，
∵PO＝OB，PK＝KE，∴OK＝BE＝1，
∴QK≥OQ﹣OK＝1，∴QK的最小值为1，
此时O，K，Q共线，PK⊥OQ，OK＝QK，∴PO＝PQ，
∴∠OPK＝∠QPK＝30°，
∴∠EBQ＝∠QPK＝30°，
∵EG＝EM，∠GEM＝60°，∴△EGM是等边三角形，
∴EG＝GM，∠EGM＝60°，
∵∠EGM＝∠GBM+∠GMB＝60°，∴∠GBM＝∠GMB＝30°，
∴GB＝GM，∴EG＝GB，
∴点G运动到EB的中点位置时，QK有最小值及最小值是1．
7、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．
（1）如图1，求证：BE∥DF；
（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF；
（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：
由（1）得：△AFD≌△CEB，
同理：△ABF≌△CDE（SAS），
∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，
作BG⊥AC于G，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD，
∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，
∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，
∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝AB，
∴AG＝＝＝AB，
∴AE＝2AG＝AB，
∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，
∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，
∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，
∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，
∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．
8、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°
∵BQ⊥AP，∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，
在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，
（2）由翻折可知，AB＝BC'，
连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，
∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，
∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，
设AN＝NC'＝A，则DN＝8﹣A，
∴在Rt△NDQ中，（8﹣A）2+62＝（A+2）2，解得：A＝4.8，
即AN＝4.8．
（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．
设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，
∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，
∴．
∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝＝
9、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；
（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE．
在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；
（2）解：①连接BE，如图2所示：
由（1）可知：BG＝DE，
∵CG∥BD，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，
∵∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BCG＝∠BCE，
在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，
∵BG＝BD＝DE，
∴BD＝BE＝DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BDE＝60°；
②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：
在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，
∴EH⊥BD，BH＝BD，
∵BC＝CD＝，
∴BD＝BC＝2，
∴BE＝2，BH＝1，
∴CH＝1，
在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，
∴CE＝﹣1，
∵∠BCG＝135°，
∴∠GCN＝45°，
∴△GCN是等腰直角三角形，
∴GN＝CG＝（﹣1），
∴S△BCG＝BC?GN＝××（﹣1）＝．
10、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．
若AB+DE＝6，求BD的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．
（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（B，0），点A坐标为（0，A）．则S四边形AOBC＝
．（只需写出结果，用含A，B的式子表示）
【解析】（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，
∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；
（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，
∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），
∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，
∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，
∴点B的坐标为（2，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+B，
将A、B两点的坐标代入，得，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2，
当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；
（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：
∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE＝90°，OD＝OE，
∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB，
在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），
∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，
∵点B坐标为（B，0），点A坐标为（0，A），∴OB＝B，OA＝A，
∵OD＝OE，
∴OA+DA＝OB﹣BE，即A+DA＝B﹣DA，
∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝A+＝，
∴S四边形AOBC＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，
11、如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．
（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°时，求点A的坐标；
（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75°时，求点B的坐标．
【解析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图2所示：则∠AOD＝30°，
∵正方形OABC的边长为2，∴AO＝2，∴AD＝AO＝1，
∴OD＝＝＝，
∴点A的坐标为：（，﹣1）；
（2）连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图3所示：则∠AOE＝75°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOB＝45°，OB＝AO＝2，
在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，
∴BE＝OB＝，OE＝BE＝，
∴点B的坐标为（，﹣）．专题57三角形中作辅助线造全等
1、如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．
（Ⅰ）求C点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，M）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求M+n的值．
【解析】（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），
故答案为（﹣6，﹣2）；
（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，
则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；
（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，
∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，
在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，
又∵G（0，M），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），
∴OT═OS＝4，
∴GT＝﹣4﹣M，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，
∴﹣4﹣M＝n+4，
∴M+n＝﹣8．
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE．
（1）补全图形；
（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；
（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值．
【解析】（1）如图1所示：
（2）MD＝BE．证明：延长AM交BC于点F，如图．
∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．
∵AD⊥AB，∴∠MAD+∠BAM＝90°．∴∠MAD+∠CAM＝90°
∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAD＝∠C．
又∵AM＝CE，AD＝BC，∴△AMD≌△CEB．∴MD＝BE．
（3）点M的位置如图2，
∵AB＝5，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∴．
∴BM+BE的最小值为．
3、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；
（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．
（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，
∴CG＝CH
∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，
∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴CD＝CE；
（2）由（1）得△CDG≌△CEH，
∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，
设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：OH2+CH2＝OC2
∴x2+x2＝32
∴（舍负）
∴OH＝
∴OD+OE＝2OH＝；
（3）如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，
∴CG＝CH，
∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°，
∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，
∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），
∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，
∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG
在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3，
∴OH＝，CH＝
∴，
∴S四边形OECD＝2S△OCG＝．
4、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．
（1）求CD的长．
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．
①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【解析】（1）如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，∴BE＝BC＝2
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4
∵S△ABC＝BC?AE＝AB?CD，∴CD＝＝＝8
（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：
∵S△ABC＝AC?BF＝AB?CD，∵AB＝AC，∴BF＝CD
在Rt△CDP和Rt△BQF中，
∵CP＝BQ，CD＝BF
∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）
∴PD＝QF
在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10，∴AD＝＝6
同理可得AF＝6
∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，
QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t
由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0
∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；
当点Q在FC之间时，如图所示：
此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6，解得t＝4
综上得t的值为4．
②同①可知：
v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，
Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．
∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，
∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，
由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6，整理得v＝
∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC
∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6
所以v＝（2≤t＜6）．
5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．
证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DC＝DE，
∵∠A＝30°，DE⊥AB，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2DC；
（2）如图2，过点M作ME∥BD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵BM平分∠CBD，
∴∠CBM＝15°＝∠DBM，
∵ME∥BD，
∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∵∠MEC＝30°，∠C＝90°
∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，
∴BC＝+2，
∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，
∴BC＝CD，
∴CD＝1+，
∴DM＝，
∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；
（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，
理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
∵DN＝DW，且∠WDN＝60°，∴△WDN是等边三角形，
∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，
∴∠WNG＝∠BND，
在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，
∴AD＝DG+DN．
（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，
理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
6、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于F
探究：当AB＝AC且C，D两点重合时（如图1）探究
（1）线段BE与FD之间的数量关系，直接写出结果
；
（2）∠EBF＝
．
证明：当AB＝AC且C，D不重合时，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．
计算：当AB＝kAC时，如图，求的值（用含k的式子表示）．
探究：（1）延长BE，CA交于G，
∵∠EDB＝∠C，∴CE平分∠ACB，
∵BE⊥DE，∴∠BEC＝∠CEG＝90°，
∵CE＝CE，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴BE＝EG＝BG，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABG＝∠ACF，
∵∠BAG＝∠CAF，AB＝AC，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG＝CF，
∴BE＝DF；
（2）∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠EDB＝∠C＝22.5°，又BE⊥DE，
∴∠EBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠EBF＝67.5°﹣45°＝22.5°，
证明：结论：BE＝FD，
证明：如图2，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，
则∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，
∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG，
又DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°，
∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE＝GE＝GB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，
∴△GBH≌△FDH（ASA），∴GB＝FD，∴BE＝FD；
计算：如图3，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，
同理可证△DEB≌△DEG，BE＝GB，∠BHD＝∠GHB＝90°，∠EBF＝∠HDF．
∴△GBH∽△FDH，∴，即，
又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴，即．∴．
7、在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．
（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2，求AB的长；
（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD＝BE；
（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．
【解析】（1）∵△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝∠ACB＝∠CEA＝60°，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠CBA＝∠CEA﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
过点A作AN⊥BC于点N，
∴△ABN为等腰直角三角形，
在等边△ACE中，AN＝sin60°?AE＝＝3，
∴AB＝AN＝3．
（2）证明：过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣2α，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD＝2α，
∴∠CAB＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠ACM＝α，
∴CM平分∠ACD，
∴AM＝DM＝AD，AC＝CD＝AE，
在△ACM和△EAG中，，∴△ACM≌△EAG（AAS），∴EG＝AM，
∴AD＝2AM＝2EG，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°﹣2α，
∴∠CEA＝45°+α，
又∵∠CEA＝∠B+∠EAG，
∴∠B＝45°，
∵EG⊥AB，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴BE＝EG＝AM＝AD．
∴AD＝BE．
（3）BF与EC之间的数量关系为．
过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，
设BD＝A，由（2）可知DE＝A，AD＝2A，AM＝DM＝A，
∵DE∥CM，BD＝DM，∴BE＝CE＝A，
∵DE＝A，AD＝2A，∠ADE＝90°，∴AE＝＝A，
∵CD⊥AE，DE⊥AB，
∴∠EFD＝∠ADE＝90°
∴∠EDF＝∠DAE，
∴△DEF∽△AED，∴，∴，∴EF＝A，
∴AF＝A﹣A＝A，
∴，∴．
∵FH∥DE，∴△AFH∽△AED，
∴，
∴FH＝A，
∴DH＝2A﹣A＝A，
∴BH＝A+A，
∴BF＝＝A．
∴．
即BF与EC之间的数量关系为．
8、已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，M），过B点作直线A与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．
（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且M＞2时，求点C的坐标；（用M的代数式表示）
（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：
（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当M＝3时，试求CE+EF的最小值．
【解析】（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，
∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BHA＝∠AOC＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ABH＝∠CAO，
∵点A（0，2），B（﹣2，M），
∴AO＝BH＝2，OH＝M，
∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，
∴△BHA≌△AOC（ASA）
∴CO＝AH＝OH﹣AO＝M﹣2，
∵M＞2，点C在x轴负半轴，∴点C（2﹣M，0）；
（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，∴∠CAK＝∠ABK，
∵点A（0，2），B（﹣2，M），∴AO＝BK＝2，OH＝M，
∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，
∴△ABK≌△CAO（AAS），∴CO＝AK＝2﹣M，
∵C点的坐标（x，0），∴CO＝x＝2﹣M，
∵点B是第三象限内的一个点，∴M＜0，∴2﹣M＞2，∴x＞2；
（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，
∴△BEF≌△BEN（SAS），∴EF＝EN，∴CE+EF＝CE+EN，
∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，
此时最小值为AC，
由（1）可知：点C（2﹣M，0）；且M＝3，
∴点C（﹣1，0），
∴CO＝1，
∴AC＝＝＝，
∴CE+EF的最小值为．
9、在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝
°，若△AMN的周长为9，则BC＝
．
（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；
（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．
【解析】（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，
同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，
∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，
（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，
∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，
同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，
∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；
（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，
∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，
在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，
在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS），∴BH＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．
10、已知平面直角坐标系中，点A在第一象限内，AB⊥x轴，垂足为点B，连接OA，OB+AB＝10，OB﹣AB＝2．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）点C为x轴上原点O右侧的一点，连接AC，设点C的横坐标为t（0＜t＜），△ABC的面积为S（S≠0），求S与t之间的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）如图2，在（2）的条件下，点C在点B的右侧，点D的坐标（0，t），过点A作AE⊥AC，交y轴于点E，点F在AE上，AF＝AC，连接DF，点G为DF的中点，连接AG，延长AG交y轴于点P，求点P的坐标．
【解析】（1）∵OB+AB＝10，OB﹣AB＝2，
∴解得：OB＝6，AB＝4，
∴点A
的坐标为（6，4）；
（2）①当0＜t＜6
时，BC＝OB﹣OC＝6﹣t，
∴S＝BC?AB＝（6﹣t）×4＝﹣2t+12；
②当6＜t＜
时，BC＝OC﹣OB＝t﹣6，
∴S＝BC?AB＝（t﹣6）×4＝2t﹣12；
综上所述，S＝；
（3）延长AP至R使RG＝AG，连接DR，过点R作RS⊥x轴于点S，连接OR，如图2所示：
∵G为DF的中点，
∴DG＝FG，
在△AGF和△RGD中，，∴△AGF≌△RGD（SAS），∴RD＝AF，∠DRG＝∠FAG，
∴DR∥AE，
∴∠RDO＝∠DEA，
∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，
在四边形EOCA中，内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠AEO+∠ACO＝360°﹣∠EAC﹣∠EOC＝360°＝90°﹣90°＝180°，
又∵∠DEA+∠AEO＝180°，
∴∠DEA＝∠ACO，
∴∠RDO＝∠ACO，
∵AF＝AC，∴RD＝AC，
∵D（0，t），∴OD＝OC＝t，
在△ORD和△OAC中，，∴△ORD≌△OAC（SAS），∴∠ROD＝∠AOC，OR＝OA，
∵RS⊥x轴，∴RS∥y轴，
∴∠SRO＝∠ROD＝∠AOC，
在△RSO和△OBA中，，∴△RSO≌△OBA（AAS），∴RS＝OB＝6，SO＝AB＝4，
∵S梯形ABSR＝S梯形POSR+S梯形ABOP，
∴（
AB+RS
）?SB＝（PO+RS
）?OS+（
AB+PO）?OB，
即：×（4+6）×（4+6）＝（PO+6）×4+（4+PO）×6，解得：OP＝5.2，
∴点P的坐标为：（0，5.2）．
11、已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，
∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，
∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，
∴BE＝PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，
∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，
∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，
∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，
∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，
∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，
∴∠CDA＝∠A＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），
∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，
∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
12、在等边△ABC中，BD是AC边上的高，BE平分∠CBD交AC于点E．
（1）如图1，过点E作EK⊥AB于点K，若EK＝，求CE的长；
（2）如图2，在BC上取一点G，连接EG，且EG＝2DE．点F是△ABC外一点，连接AF，BF，∠FBE＝∠FAB＝60°，连接GF交EB于点H，求证：GF⊥BE．
（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴AB＝AC，∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE＝15°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝45°，
∵EK⊥AB，∴△BEK是等腰直角三角形，∴BK＝EK＝，
∵∠AEK＝90°﹣∠A＝30°，∴AK＝EK＝1，AE＝2AK＝2，
∴AC＝AB＝AK+BK＝1+，∴CE＝AC﹣AE＝﹣1；
（2）证明：∵∠FBE＝∠FAB＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABF＝∠CBE，∠FAE＝∠C，
在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴BF＝BE，
∵∠FAB＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BF＝EF，
作EM⊥BC于M，如图2所示：∵BE平分∠CBD，∴ME＝DE，
∵EG＝2DE，∴EG＝2ME，∴∠EGM＝30°，
∵∠EGM＝∠CBE+∠GEB，∴∠GEB＝30°﹣15°＝∠CBE，∴BG＝EG，
在△BFG和△EFG中，，∴△BFG≌△EFG（SSS），∴∠BGF＝∠EGF，
∵BG＝EG，∴GF⊥BE．专题62
圆中的辅助线问题
1、如图1，AB为⊙O的弦，弧AC＝弧BC，G为弧BC上一点，连接AG交BC于点D，连接CG、BG．
（1）求证：∠GCB+∠GBC＝∠CBA；
（2）如图2，若AB为⊙O的直径，求证：AG＝CG+BG；
（3）如图3，在（2）的条件下，F为圆上一点，连接CF交AB于点E，若CD：DB＝5：7，∠ACF＝∠CAG，AE＝，求线段CG的长．
证明：（1）∵＝，∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠GCB＝∠GAB，∠CBG＝∠CAG，∴∠GCB+∠GBC＝∠GAB+∠CAG＝∠CAB＝∠CBA；
（2）如图2，过点C作CH⊥CG交AG于点H，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠ACB＝90°，且AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
∵∠AGC＝∠ABC，∴∠AGC＝45°，且CH⊥CG，
∴∠CHG＝∠AGC＝45°，∴CH＝CG，∠AHC＝135°，∴GH＝CG．
∵∠CGB＝∠CGA+∠AGB＝135°，
∴∠AHC＝∠CGB，CH＝CG，∠CAH＝∠CBG，
∴△ACH≌△BCG（AAS），∴AH＝BG，∴AG＝CG+BG；
（3）∵CD：DB＝5：7，∴设CD＝5A，DB＝7A，∴BC＝AC＝12A，
∴AD＝＝＝13A．
如图3，过点E作EH⊥AC于H，作AP平分∠GAC，交BC于P，作PQ⊥AD于Q，
∴∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∠PQA＝90°＝∠ACB，且AP＝AP，
∴△CAP≌△QAP（AAS），∴AC＝AQ＝12A，CP＝PQ，∴QD＝AD﹣AQ＝A．
∵PD2＝PQ2+QD2，∴（5﹣PQ）2＝PQ2+A2，∴PQ＝A，∴CP＝A，
∵HE⊥AC，∠CAB＝45°，∴∠HEA＝∠CAB＝45°，∴AH＝HE，
∵AE2＝AH2+HE2＝（3）2，∴AH＝HE＝3，
∵∠ACF＝∠CAG，∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∴∠ACF＝∠CAP，
∴tAn∠CAP＝tAn∠ACF＝，∴，∴CH＝15，
∴AC＝3+15＝18＝12A，∴A＝，
∴CD＝，BD＝，AD＝．
∵∠ACD＝∠AGB＝90°，∠CAD＝∠DBG，
∴△ACD∽△BGD，
∴，∴，
∴BG＝，DG＝，
∴AG＝AD+DG＝+＝，
∵AG＝CG+BG，
∴＝＝CG，
∴CG＝．
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．
【解析】（1）连接OC，
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，
延长BC交AE的延长线于F，
∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，
∴△ACB≌△ACF（ASA），
∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，
∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，
∴∠CDF＝∠ABF，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴△CFD∽△AFB，∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
3、如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD?OE；
（3）若DE＝4，sinC＝，求AD之长．
（1）证明：连接OD、BD，
∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠EBD+∠DBO＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE是圆O的切线．
（2）证明：如图，连接BD．
由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．
∵E是BC的中点，O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD．
∴OE∥AC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠1＝∠A，
∴∠A＝∠2．
即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，
∴△ADB∽△ODE．
∴＝，即＝．
∴r2＝AD?OE
（3）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
∵sinC＝，
∴设AB＝3x，AC＝5x，
根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，
解得x＝2．
则AC＝10．
由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，
解得，AD＝3.6．
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；
【解析】（1）连接OD，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+2，
∴BD＝CD＝DE＝r+2，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+2，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，
∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，
∴△BFD∽△EFA，∴，即＝
解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），
综上所述，⊙O的半径为1+．
5、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）已知∠A＝30°．
①若BE＝3，求BD的长；
②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，
∴∠G+∠GBE＝90°，
∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，
∴∠EBD+∠GBE＝90°，
∴∠GBD＝90°，
∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接AG，
∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，
由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，
又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，
∴＝＝tAn30°＝，
又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，
∴BG＝2BE＝6，∴BD＝6×＝2；
（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，
由（2）知＝，＝，∴＝，
∵B，E为定点，BE为定值，∴BD为定值，D为定点，
∵∠BCD＝90°，∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，
∴当点C在线段OM上时，OC最小，
此时在Rt△OBM中，＝＝，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，
∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠BDC+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
6、如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC、OD、PE．
（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；
（2）求证：PC2＝PA?PB；
（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．
证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，
∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC是∠DAP的平分线；
（2）如右图，连接BC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠OBC＝90°，
∵PC是⊙O的切线，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∴∠CAB＝∠BCP，
又∵∠CPB＝∠APC，∴△CPB∽△APC，
∴＝，∴PC2＝PA?PB；
（3）设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，
∵PE＝2DO，∴4DO2＝4r2+PC2，∴4（DO2﹣r2）＝PC2，
∴4DC2＝PC2，∴PC＝2CD，
∵AD∥OC，∴△PCO∽△PDA，
∴＝，∴＝，
∴r＝2．
7、如图，AB是直经，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD延长线于点F
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．
（3）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．
（1）证明：如图1，连接OC，OD，BC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AC于E，∴∠E＝90°，
∴∠ACB＝∠E，
∴BC∥DE，
∵点D是的中点，
∴，∴∠COD＝∠BOD，
又∵OC＝OB，
∴OD垂直平分BC，
∵BC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）AD2＝AE?AB，理由如下：
如图2，连接BD，由（1）知，，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠E＝90°，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即AD2＝AE?AB；
（3）由（1）知，∠E＝∠ECH＝∠CHD＝90°，
∴四边形CHDE为矩形，
∴ED＝CH＝BH＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝＝＝8，
∴AE＝AC+CE＝9，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBA＝∠E＝90°，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△EAD∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴BF＝．
8、已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．
（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tAn∠DCE＝，求OM的长．
（1）证明：连接BD，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，BC＝CD，
∴BD为⊙O的直径，
∵OB＝OD，
∴OC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝∠BOC＝45°，
∵正方形ABED是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；
（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，
∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，
∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，
∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，
∵DE＝DG，∴BF＝DG，
∵四边形ABED为圆O的内接四边形，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∵∠ADE+∠ADG＝180°，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，
∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∵M为AE的中点，
∴DM为△AEG的中位线，
∴DM∥AG，
∴∠DNF＝∠FAG＝90°，
∴DN⊥AF，
（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，
由（1）知∠BOC＝90°，OB＝OC＝，
由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，
∵，∴∠DBE＝∠DCE，
∴tAn∠DCE＝tAn∠DBE＝，
∴，设DE＝x，则BE＝7x，
在Rt△BDE中，BD＝＝5x，
∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，
∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，
∴，
由（2）知∠BCF＝∠DCE，
∴tAn∠BCF＝tAn∠DCE＝，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，
∴BE＝EF+BF＝14，
∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠TBE＝∠TEB，
∴TB＝TE＝，
∴＝，
∴，
∴，
∵M为AE的中点，
∴OM⊥AE，
在Rt△OME中，OM＝＝3．
9、已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．
（1）证明：如图1，
∵AC⊥BD，DE⊥BC，
∴∠AHD＝∠BED＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ADH＝∠BDE，
∴BD平分∠ADF．
（2）证明：连接OA、OB．
∵OB＝OC＝OA，AC＝BC
∴△OCB≌△OCA（SSS），
∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；
（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．
则四边形OPHQ是矩形，
∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，
∴BN是直径，
则OP＝DN＝，
∴HQ＝OP＝，
设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，
∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9
在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，
即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，
整理得2x2+9x﹣45＝0，
（x﹣3）（2x+15）＝0
解得
x＝3（负值舍去），
BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12
∵∠ADB＝∠BCH，
∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．
即sin∠ADB的值为．
10、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．
证明：（1）连接DO，如图，
∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；
（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，
∴圆O的半径为4；
（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，
∴AD＝4，
∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．
11、如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的径为4．
①当OD＝3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
（1）证明：连接AF，
∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，又∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；
（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，∴＝，
∵半径是4，OD＝3，∴DF＝1，BD＝7，∴＝＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，∴＝，∴AD?CD＝BD?DF，
∴AD?CD＝7，即AD2＝7，∴AD＝（取正值）；
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
当∠ODC＝90°时，
∵∠ACO＝∠ACF，∴OD＝DF＝2，BD＝6，∴AD＝CD，
∴AD?CD＝AD2＝12，∴AD＝2，AC＝4，∴S△ABC＝×4×6＝12；
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC＝4，
延长AO交BC于点M，
则AM⊥BC，∴MO＝2，
∴AM＝4+2，
∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，
∴△ABC的面积为12或8+8专题
55一次函数中的构造等腰直角三角形
1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA；
【解析】（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，
∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，
∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，
∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，
∴△ABO≌△BQS（AAS），∴BS＝OA，SQ＝OB，
∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4；
∴当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，
∴OQ的最小值为4个
2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．
（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；
（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．
【解析】（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，
∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，
∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），
设点C（0，M），∴OC＝M，∴CB'＝CB＝8﹣M，
∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴M2+16＝（8﹣M）2，∴M＝3，∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+B（k≠0），
把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，B＝3，∴y＝﹣x+3；
（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，
∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，
过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，
∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，
∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，
∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，
设点D（A，A）代入y＝﹣x+3中，
∴A＝2，
∴D（2，2）；
（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，
∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，
∴△PDF≌△QDE（AAS），
∴PF＝QE，
①当DQ＝DA时，
∵DE⊥x轴，
∴QE＝AE＝4，
∴PF＝QE＝4，
∴BP＝BF﹣PF＝2，
∴点P运动时间为1秒；
②当AQ＝AD时，
∵A（6，0）、D（2，2），
∴AD＝2，
∴AQ＝2，
∴PF＝QE＝2﹣4，
∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，
∴点P的运动时间为5﹣秒；
③当QD＝QA时，
设QE＝n，
则QD＝QA＝4﹣n，
在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，
∴4+n2＝（4﹣n）2，
∴n＝1.5，
∴PF＝QE＝1.5，
∴BP＝BF+PF＝7.5，
∴点P的运动时间为3.75秒，
∵0≤t≤4，
∴t＝3.75，
综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．
3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．
（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；
（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．
①求y与x的函数关系式；
②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．
【解析】（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，∴点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（M，M+2），
①∵M是点D、E的“美妙点”．
∴x＝3（3+M）＝9+3M，y＝3（0+M+2）＝M+6，
故M＝x﹣3，∴y＝（x﹣3）+6＝x+3；
②由①得，点M（9+3M，M+6），
如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），
∴9+3M＝3，解得：M＝﹣2；∴点D（﹣2，）；
当∠MFE是直角时，如图2，则9+3M＝M，解得：M＝﹣，∴点D（﹣，）
当∠EMF是直角时，不存在
综上，点D（﹣2，）或（﹣，）
4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．
【解析】（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；
（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，
则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；
（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6，
直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，
则S△CDE＝2或4，
而S△CDE＝×CD×xE＝4×xE＝2或4，
则xE＝1或2，
故点E（1，3）或（2，0），
将点E的坐标代入直线l表达式并解得：
直线l的表达式为：y＝±x+2；
（ⅱ）设点E（M，﹣3M+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），
则AE2＝（M﹣1）2+（3﹣3M）2，AD2＝2，ED2＝M2+（4﹣3M）2，
当AE＝AD时，（M﹣1）2+（3﹣3M）2＝2，解得：M＝或；
当AE＝ED时，同理可得：M＝；
综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．
5、建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．
【解析】（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°＝∠AOB，
∴∠BCD+∠DCB＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠DBC＝90°，
∴∠ABO＝BCD，
∵AB＝BC，∴△AOB≌△BDC（AAS），
DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；
②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，
故点C′（﹣1，﹣3）；
故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；
（2）如图2，当∠MGP＝90°时，MG＝PG，
过点P作PE⊥OM于E，过点G作GH⊥PE于H，
∴点E与点M重合，∴GF＝AB＝4
设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，
易得G点坐标（4，2）；
如图3，当∠MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），
综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）
6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．
（1）求出点A，点B的坐标．
（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．
（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线M，在直线M上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【解析】（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，
设x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；
（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），∴OC＝2，OB＝2，
∵P是直线AB上一动点，∴设P（M，M+2），
∵△BOP和△COP的面积相等，
∴×2|M|＝2×（|M|+2），解得：M＝±4，当M＝﹣4时，点P与点A重合，
∴点P坐标为（4，4）；
（3）存在；
理由：如图1，
①当点B1是直角顶点时，∴B1Q＝B1A1，
∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，∴∠OA1B1＝∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，
∴B1（0，﹣2）或（0，2），
当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），
当点B1（0，2）时，
∵B（0，2），∴点B1（0，2）（不合题意舍去），
∴直线AB向下平移4个单位，∴点Q也向上平移4个单位，∴Q（﹣2，2），
②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，
∵直线AB的解析式为y＝x+2，
由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+B，
∴A1（﹣2B，0），B1（0，B），∴A1B12＝4B2+B2＝5B2，
∵A1B1⊥A1Q，∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4B，
∴Q（﹣2，4﹣4B），
∴A1Q2＝（﹣2B+2）2+（4﹣4B）2＝20B2+40B+20，
∴20B2﹣40B+20＝5B2，
∴B＝2或B＝，∴Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；
③当Q是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，
∴A1Q＝B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，
∴∠QA1C＝∠CQB1，
∵M∥y轴，∴∠CQB1＝∠QB1H，∴∠QA1C＝∠QB1H
在△A1QC与△B1QH中，，∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，
∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．
7、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．
【解析】（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，
∴B（0，4），∴OB＝4，
∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
过点M作MN⊥y轴，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
∴△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
∴△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）当k＞0时，AO＝，
过点Q作QS⊥y轴，
∴△ABO≌△BQS（AAS），∴BS＝OA，SQ＝OB，
∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4；
当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．
8、【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+B，得
解得
∴直线l2的函数表达式为：
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+B与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（M，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求M和B的数量关系；
（2）当M＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；
（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）直线y＝﹣x+B与y轴相交于B点，
∴B（0，B）
∴OB＝B，
∵点C（M，0）
∴OC＝M
∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD．
在△OBC和△ECD中，
∴△OBC≌△ECD（AAS）
∴BO＝CE＝B，DE＝OC＝M，
∴点D（B+M，M）
∴M＝﹣（B+M）+B
∴B＝3M
（2）∵M＝1，
∴B＝3，点C（1，0），点D（4，1）
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3
设直线BC解析式为：y＝Ax+3，且过（1，0）
∴0＝A+3
∴A＝﹣3
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，
当y＝3时，x＝
当y＝0时，x＝
∴B′（，3），C'（，0）
∴CC′＝，
∴△BCD平移的距离是个单位．
（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）
如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°
∴BP＝PD
∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）
∴点P（2，2）
综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．
10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求△AOB的面积：
（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．
（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．
【解析】（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
∴点B（7，0），﹣x+7＝x，∴x＝3，∴点A（3，4）
∴S△AOB＝×7×4＝14；
（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，
∴此时AC+BC最小值为AH，
∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，
∴AC+BC最小值为2，
设直线AH解析式为：y＝kx+B，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），
∴，解得：，∴直线AH解析式为：y＝x+
（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，
∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，
∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），
∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，
∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，
若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，
∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），
若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，
∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，
∴BE＝＝QE，∴OE＝，∴点Q（，），
如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，
∴BF＝FQ＝BQ，
∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，
∴PF＝BF，∴PB＝BF，
∴7﹣BQ＝，∴BQ＝，∴BE＝QE＝，
∴点Q坐标为（7﹣，）．
11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．
（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为
；
（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；
（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，
∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，
∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），
∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴
解得：
∴点E坐标（，），∴△AOE的面积＝×4×＝，
（2）如图2，过点E作EH⊥OA，
∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，
设点E（A，A），
∴OH＝A，EH＝A，∴AH＝4﹣A，
∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝A2+（4﹣A）2，∴A＝0（舍去），A＝，
∴点E（，）
（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，
∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，
∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）
∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，
∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，
∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，
∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，
∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）
∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，
∴点Q（，4+），同理可求：Q'（8+，4﹣），
若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，
同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）
