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平面向量基本定理
一、单选题
1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．在中，点是的中点，点在上且，交于点，设，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（
）
A．2
B．4
C．5
D．7
4．已知非零向量不共线，且，若，则满足的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在中，的平分线交于，,则的长为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
二、多选题
6．（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（
）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，，使，则
三、填空题
7．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为__________.
8．如图，在的边，上分别取点，，使，，与交于点，若，，则的值为______.
9．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______
四、双空题
10．向量在基底下可以表示为，若在基底下可以表示为，则__________，__________.
五、解答题
11．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使，，，若，，试用，将，，表示出来．
12．如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，求的最小值.
13．如图，是的重心，的延长线交于点，，分别是边，上异于端点的动点，且.
（1）试用，，表示；
（2）设，，证明：是定值.
14．如图，已知的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，，且AE与CD交于点P，求的面积.
15．试证：若坐标平面内的三点，，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，，，使得，且，反之也成立.
16．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设，.
（1）用，表示.
（2）过点的直线与边，分别交于点，.设，，求的值.
答案解析
1．B
【详解】
不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，排除A；
因为，所以，共线，排除C；
因为，所以，共线，排除D，
故选：B
2．D
【解析】由题意，在中，，
所以，
因为三点共线，所以，解得，故选D．
3．B
【解析】以的终点，
的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，所以，根据，有，解得，故.
4．A
【解析】
由得，由得三点P,A,B共线,所以，即，选A.
5．D
【详解】
如图所示，过点D作分别交AB、AC于E、F.
由，且B,C,D三点共线，所以，解得.
由图可知：，所以，.
又为的平分线，所以平行四边形AFDE为菱形，所以.
，所以，所以.
故选D.
6．BC
【详解】
由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，
对于C，当时，这样的有无数个，故C说法不正确.
故选：BC
7．
【解析】
由题意正方形中，为的中点，可知：．
则的值为：．故答案为
8．6
9．
【详解】
取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
10．
【详解】
由条件可知，解得.
11．，．
【详解】
解：∵，∴，
由此可得，，
∵
∴（）．
同理可得，（）．
12．.
【详解】
根据题意，得.
因为，，三点共线，所以有，即，
所以，
所以当时，取得最小值，为.
13．（1）（2）见解析
【详解】
（1）.
（2）由（1）及，，得.①
∵是的重心，
∴.②
又，不共线，
由①②，得，解得，
∴，即是定值.
14．4
【详解】
设，为一组基底，则，.
∵点A，P，E共线且D，P，C共线，存在和，使，.
又，∴，即.
.
15．
【详解】
证明：①若，则，∴.
又，
∴，
∴，∴，∴，，三点共线.
②若，，三点共线，则存在常数，使，
∴，∴，
令，，，则由且，知，，，不为零，
∴，且.
16．（1）（2）
【详解】
（1）设，则，
∵，，三点共线，
∴，共线，从而.①
又，，三点共线.
∴，共线，
同理可得.②
联立①②，解得，
故.
（2）∵，
，且，共线，
∴，整理得.
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平面向量的正交分解及坐标表示
一、单选题
1．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且,则可以表示为(
)
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．若向量，则＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．在平行四边形中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，，，则（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
6．设向量，，，若表示向量，，，的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量（
）
A．（2，6）
B．
C．
D．
7．已知中，，，若，则的坐标为
（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知向量，，，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．向量，且，则(
)
A．
B．
C．
D．
12．已知两点为坐标原点，点在第二象限，且，设，则等于（
）
A．
B．2
C．1
D．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
14．如图，向量，，的坐标分别是______，______，______.
15．已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第______象限.
16．设点，，若点在直线上，且，则点的坐标为______.
17．已知向量，，若，则______.
18．设，，，，，若，，三点共线，则的最小值为______.
三、解答题
19．已知是坐标原点，，，，试求实数为何值时，，，三点共线.
20．设两个向量和，其中、、为实数，若，求的取值范围.
21．在中，已知点，，与交于点，求点的坐标．
参考答案
1．C
【详解】
记O为坐标原点,则,,
所以.
故选:C.
2．D
【详解】
向量（5，12），
将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以．
故选D．
3．C
【详解】
由题，
故选C
4．A
【详解】
，
故选：
5．A
【详解】
，
故选：
6．D
【详解】
解：因为各向量首尾相接，所以，所以.
故选：
7．A
【详解】
因为，
所以
因为，即M为BC中点
所以
所以
所以选A
8．A
【详解】
由题，可得
所以
点在轴上，即
故选A
9．A
【详解】
，
，解得：
故选：
10．C
【详解】
令，即
，解得：
故选：
11．C
【详解】
因为，
所以，
所以.
所以.
故选C
12．C
【详解】
由且在第二象限，可设
，，
由得：
本题正确选项：
13．D
【详解】
设.由已知可知，又，又，可得点C的轨迹方程为.
故选D.
14．
【详解】
；；
故答案为：，，
15．四
【详解】
由题意得：
，
位于第四象限
故答案为：四
16．或
【详解】
，
在直线上，且
或
或
或
故答案为：或
17．
【详解】
由题意得：，
，整理得：
故答案为：
18．
【详解】
，
三点共线
，整理得：
（当且仅当，即时取等号）
的最小值为
故答案为：
19．或
【详解】
由题意得：，
三点共线
解得：或
当或时，三点共线
20．．
【解析】,
①
②
①代入②消去整理得.
，，从而，
由得.
易证在上是增函数，，即.
21．
【详解】
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平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
2．量，，且，则
A．2
B．
C．7
D．
3．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，则与的夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量与垂直，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，且与的夹角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知向量、的夹角为，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．已知且则
.
9．已知向量，，若，则的夹角大小为__________.
10．已知向量.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____．
11．（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________．
12．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则___.
13．若平面向量，则的实数的集合为___.
三、解答题
14．已知．
（1）若，且，求k的值；
（2）若，且，求证：．
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，设，，，在所在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
16．在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为
(Ⅰ)若，求实数的值
(Ⅱ)若三点能构成三角形，求实数的取值范围.
17．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
18．在平面直角坐标系中，以坐标原点和为顶点作等腰直角三角形，且，求点和向量的坐标.
19．在平面直角坐标系中,
已知点,,
(1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)在中,设是边上的高线,
求点的坐标.
答案解析
1．D
【详解】
，则，向量在的投影为，
所以，向量在方向上的投影向量为.
故选：D.
2．C
【详解】
3．B
【详解】
设，其中，则.
由题意得，解得，即.
故选：B.
4．C
【详解】
因为，
故可得，设向量与的夹角为
则
则.
故选：C.
5．A
【解析】
，解得：，故选A.
6．C
【详解】
，，，，
，，
，与的夹角为，
，即，
化简并整理，得，解得.
故选：C.
7．A
【详解】
，则，
由平面向量数量积的定义得，解得.
故选：A.
8．
【解析】
9．120°
设与的夹角为，
，则，
，
.
，
。
.
故答案为：.
10．
【详解】
∵，∴，，
∵向量与的夹角为锐角，∴，解得，又当时，两个向量方向相同，故答案为.
11．
【详解】
由题意可设
所以，
因为||＝2，所以,即的坐标为.
12．2
【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以
13．
【解析】由题意可得：，所以，所以.
14．
【详解】
（1）若，
，又因为，所以存在实数，使得，即,得
解得：
；
（2）
，且
15．
【详解】
设存在点，且
，,因为,所以,
有或
或存在或满足题意.
16．(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由题意有，
由，得
故
解得
(Ⅱ)若三点能构成三角形，则三点不共线.
则与不平行，
故
解得.
17．（1）或；（2）.
【详解】
（1）设，且，
，解得或，
或；
（2）由
已知得
，
即，
整理得，，
又，.
18．当点的坐标为时，；当点的坐标为时，.
【详解】
设，则，.
因为，所以，
所以，即.
又因为，所以，即.
由，解得或，
当点的坐标为时，；
当点的坐标为时，.
19．（1）和（2）（一1，2）
【详解】
（1）由题意，可得，，则
，
所以，
即两条对角线的长为和
.
（2）设点的坐标为，由点在上，设，
则，∴，即
∴，∵，
∴，即，解得，
即点D的坐标为（-1，2）
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