江西省赣州市2021届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案

赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试
高三数学（理科）试卷 2021年1月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数false的虚部为
A.false B.false C.false D.false
2.已知函数false，集合false，false（其中false是false的导数），则false
A.false B.false C.false D.false
3.已知函数false，则false
A.1 B.2 C.false D.3
4.某产品在某零售摊位上的零售价false（元）与每天的销售量false（个）统计如下表：
false
16
17
18
19
false
50
false
34
31
据上表可得回归直线方程为false，则上表中的false的值为
A.38 B.39 C.40 D.41
5.已知双曲线false的离心率为false，则实数false的值为
A.1 B.false C.false D.1或false
6.有以下四种变换方式：
①向左平移false个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；
②向左平移false个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；
③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移false个单位长度；
④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移false个单位长度；
其中能将函数false的图像变为函数false图像的是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
7.实数false，false满足约束条件false，则false的最大值为
A.false B.false C.false D.false
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为
A.5 B.false C.false D.false
9.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角false的面度数为false，则角false的余弦值为
A.false B.false C.false D.false
10.若false，false，false，其中false为自然对数的底数，则
A.false B.false
C.false D.false
11.已知梯形false的上底false长为1，下底false长为4，对角线false长为false，false长为false，则false的面积为
A.1 B.2 C.3 D.4
12.过抛物线false的焦点作两条相互垂直的弦false，false，且false，则false的值为
A.false B.false C.false D.false
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量false，false，若false，则false___________.
14.在false的展开式中，false的系数为__________________（用数字作答）.
15.正方形false的边长为2，以false为起点作射线交边false于点false，则false的概率为________________.
16.在边长为1的正方体false中，球false同时与以false为公共顶点的三个面相切，球false同时与以false为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点false，若球false，false半径分别为false，false，则false的最小值为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题满分12分）
已知等差数列false的前false项和为false，满足false，false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）记false，求数列false的前false项和false.
18.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，false，false，false均为等边三角形，且平面false平面false，平面false平面false.
（1）证明：false；
（2）若false，求二面角false的余弦值.
19.（本小题满分12分）
一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分false的分布列和数学期望false.
20.（本小题满分12分）
过平面上点false作直线false，false的平行线分别交false轴于点false，false且false.
（1）求点false的轨迹false方程；
（2）若过点false的直线false与轨迹false交于false，false两点，若false，求直线false的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数false（其中false为自然对数的底数）.
（1）求函数false的最小值；
（2）求证：false.
（二）选考题
请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系false中，已知过点false的直线false的参数方程是false（false为参数），以坐标原点为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求直线false的普通方程和曲线false的直角坐标方程；
（2）若直线false和曲线false交于false，false两点，且false，求实数false的值.
23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
设函数false，false.
（1）若false，解不等式false：
（2）如果任意false，都存在false，使得false，求实数false的取值范围.
赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试
高三理科数学参考答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
D
D
A
D
C
B
A
A
B
10.解：因为函数false在false上单调递增，所以false；false在false单调递减，
故false，即false，从而得false，故false.
11.解：如图，过false作false，连接false，则false，所以false，故false.
12.解：false的焦点为false，设false的直线方程为false，false的直线方程为false，
由false得false，设false，false，
则false，false，则false，
同理false，false false，
故false.
二.填空题
13.2； 14.false； 15.false； 16.false.
16.解：由已知得false，
false
false，故最小值为false.
三.解答题
17.解：（1）因为数列false为等差数列，设其公差为false，结合false，false，
false…………………………………………………………………………2分
解得：false……………………………………………………………………………………4分
所以false………………………………………………………………………………6分
（2）false………………8分
false………………10分
所以false………………………………………………12分
18.（1）证明：分别取false，false的中点false，false，连结false，false，false……………………1分
因为false，false均为全等的等边三角形，
故false，false且false…………………………………………………………2分
又因为平面false平面false且交于false，
平面false平面false且交于false，
故false面false，false面false………………………………………………………………3分
从而有false，又false，
进而得四边形false为平行四边形………………………………………………………………4分
得：false，又false……………………………………………………………………5分
即：false……………………………………………………………………………………6分
（2）解：连结false，由false为等边三角形，故false，结合false面false，故分别以false，false，false为false轴，false轴，false轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系………………………………7分
又false，所以false，false，
则false，false，false，false，
所以false，false，false…………………………8分
令平面false的一个法向量为false，
所以false取false，false，false，
所以平面false的一个法向量为false………………………………………………9分
令平面false的一个法向量为false，
所以false，取false，false，false，
所以平面false的一个法向量为false………………………………………………10分
令二面角false为false，由题意可知false为锐角，
则false………………………………………………12分
方法二：连结false，过false作false，垂足为false，过false作false，交false于false，
则false为二面角false的平面角为false
因为平面false平面false，false，false，false均为全等的等边三角形，∴false，
因为false，所以false，
在false中，false，false，由等面积法得false，则false，
在false和false中，
由false得false，
在false和false中，
由false得false，
在false中false，
二面角false的余弦值为false.
19.解：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件false，因为球的总分为16，即事件false指的是甲的得分大于等于8………………………………………………………………………………1分
则false………………………………………………………………………………4分
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等……………………………………………………………………………………………………5分
false…………………………………………………………………………………………6分
false……………………………………………………………………………………7分
false……………………………………………………………………………………8分
false………………………………………………………………………………9分
false………………………………………………………………………………10分
false……………………………………………………………………………………11分
所以false的分布列为：
false
6
7
8
9
10
11
false
false
false
false
false
false
false
所以false的数学期望false………………………………………………………………………………12分
20.解：（1）设false，显然false不为原点，
由题设false，令false，得false…………………………………………1分
再由false，令false，得false…………………………………………2分
又false，即false
化简整理得：false…………………………………………………………………………4分
所以点false的轨迹false方程false………………………………………………………………5分
（2）由题设知直线false的斜率显然存在，故设其方程为false，false，false
false……………………………………………………7分
则false，false……………………………………………………8分
从而false…………………………………………9分
又false……………………………………10分
所以false…………………………………………………………………………11分
故直线false的方程为false……………………………………………………………………12分
21.解：（1）因为false，所以false…………………………………………1分
当false时，false，false单调递减…………………………………………2分
当false时，false，false单调递增…………………………………………3分
所以false…………………………………………………………………………4分
（2）证明：要证false，
只需证明：false对于false恒成立，
令false，则false……………………………………5分
当false时，false，
则false在false上为增函数…………………………………………………………6分
又因为false，false…………………………7分
所以存在false使得false
由false
得false即false即false即false………………………………………………9分
所以当false时，false，false单调递减
当false时，false，false单调递增……………………………………10分
所以false，
令false，
则false……………………………………………………11分
所以false在false上单调递增，所以false，
所以false，所以false，
即false…………………………………………………………………………12分
22.解：（1）由false得false即false……………………………………2分
由false得false
则曲线false的直角坐标方程为false，即false………………………………4分
（2）把false代入false，
得false………………………………………………………………5分
由false得false………………………………6分
设点false，false对应的参数分别为false，false，则false……………………………………7分
因为false，所以false……………………………………8分
当false时，且false（舍）
当false时，false
所以综上false…………………………………………………………………………………………10分
（2）方法二
由false得false……………………………………………………5分
由false得false………………………………………………6分
设点false，false，则false，false…………………………7分
因为false，
所以false
所以false………………………………………………8分
当false时，且false（舍）
当false时，false
综上false………………………………………………………………………………………………10分
23.解：（1）当false时，false…………………………2分
∵false，当false时，false，∴false………………………………………………3分
当false时，false，∴false……………………………………………………………………4分
所以false的解集为false……………………………………………………5分
（2）由任意false，都存在false，使得false得：
false……………………………………………………………………6分
又因为false……………………………………7分
false………………………………………………………………8分
所以false…………………………………………………………………………………………9分
所以false或false…………………………………………………………………………………10分