(共30张PPT)
生活中有哪些事物给我们以平面的形象？
情境导入
?
生活与数学
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平静的海面
教室里的桌面、黑板面、
墙面、地面
平整的纸张
思考1:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么？将课桌面、平静的水面向四周无限伸展得到的图形是什么？
思考2:直线是否有长短、粗细之分？
平面是否有大小、厚薄之别？
一.平面
平面是从日常见到的具体平面抽象出来的理想化模型。它具有无限延展，不计大小，不计厚薄的特征。
自主探究
?
二.平面的画法及表示方法
（1）水平放置的平面：
（2）竖直放置的平面：
注：平行四边形：锐角画成
，横长边等于邻边2倍
A
B
C
D
在画图时，如果一个平面被另一个平面遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
文字语言
图形语言
符号语言
位置关系
内
容
语
言
点与直线的位置关系
点在直
线上
点在直
线外
A
C
三.
用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
A
B
a
P
b
C
直线与平面的
位置关系
文字语言
图形语言
符号语言
位置关系
内
容
语
言
点与平面的
位置关系
点在平
面内
点不在
平面内
直线在
平面内
直线在
平面外
α
A
α
B
α
α
如果直线
l
与平面α有一个公共点P，直线
l
是否在平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。
桌面α
A
B
如果直线
l
与平面α有两个公共点，直线
l
是否在平面α内？
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
A
B
l
作用：
判定直线是否在平面内。
在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理。这些公理是进一步推理的基础。
B
C
A
B
C
A
自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A
C
B
存在性
唯一性
作用：
确定平面的主要依据。
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”。
下列条件，哪些能确定一个平面？
1、一直线和直线外一点
2、两条平行直线
3、两条相交直线
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2.两条相交直线确定一个平面。
推论3.两条平行直线确定一个平面。
公理2
不共线的三点确定一个平面.
a
A
C
B
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B
？
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？
这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线。
另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’。
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：
①判断两个平面相交的依据。
②判断点在直线上。
P
l
例题讲解：
例1
(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
探究点一 三种语言的相互转化
解：符号语言：
平面ABD∩平面BDC＝BD
平面ABC∩平面ADC＝AC
图形语言：
解：文字语言：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内
图形语言：
例题讲解：
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.
例题讲解：
探究点二 点、线共面问题
例2、证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
证明：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2?α，所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3?α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
例3、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．
证明：因为
MN∩EF＝Q
所以
Q∈MN，Q∈EF
又因为
M∈CD，N∈AB
且
CD?平面ABCD，AB?平面ABCD
所以M、N∈平面ABCD
所以MN?平面ABCD
所以Q∈平面ABCD
同理，EF?平面ADD1A1
所以Q∈平面ADD1A1
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
平面、平面的画法及表示法；
点、线、面之间的位置关系；
3.
平面的基本性质：
(1)如何判定直线在平面内？
(2)哪些图形可以确定一个平面？
(3)如何判定两个平面相交？
小
结
总结反思
?
（
）
（
）
（
）
（
）
个公共点。
（4）平面α与平面β
α。
平面α，则a
直线a，点A
（3）若点A
条直线确定一个平面。
（2）经过同一点的三
三点确定一个平面。
（1）
例.判断下列命题是否正确：
相交，它们只有有限
经过
?
?
?
巩固提升
?
×
×
×
×
在正方体
中，判断下列说法是否正确，并说明理由：
①直线
在平面
内；
错误
小竞赛
②设正方形
与
的中心分别为
、
，
则平面
与平面
的交线为
；
正确
在正方体
中，判断下列说法是否正确，并说明理由：
小竞赛
在正方体
中，判断下列说法是否正确，并说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
小竞赛(共20张PPT)
人教A版
数学必修二
问题引入
试一试：将两只笔或两根手指看成两条直线，你能摆出几种不同的位置关系？
异
面
直
线
的
定
义
观
察
长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C
C1所在直线的位置关系如何？有什么特点？
思
考
如图，A1D1
平面A1B1C1D1
，BC
平面ABCD，问A1D1，BC
是否是异面关系。
特点：既不平行，又不相交
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
图片展示
空间两直线的位置关系：平行、相交、异面
（1）是否有公共点：
（2）是否共面：
异面直线的画法
A
强调关键点
画
法
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点
（一个平面衬托法）直线a与平面α交点在直线b外；
（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．
探
究
探
究
如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB与哪些棱是异面直线,为什么具有这样的关系？
你知道寻找异面直线的方法了吗？
A
A1
D
C
B
C1
B1
D1
异面直线的判定方法
A
方法1.
过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
方法2.
既不相交，又不平行。
学以致用
例
题
1
如图，正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：D1C1、C1C、CD
、
D1D、AD、B1C1
A
A1
D
C
B
C1
B1
D1
公理4
平行于同一直线的两直线互相平行．
观察
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，直线
AA1与CC1
，
AC与
A1C1
是什么位置关系？
空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c,则a//c
平行关系的传递性
A
A1
D
C
B
C1
B1
D1
证明：
∵
EH是△ABD的中位线
同理，FG
∥BD且FG
=
BD
∴EH
∥FG且EH
=FG
∴EFGH是一个平行四边形
连结BD
∴EH
∥BD且EH
=
BD
解题思路
学以致用
例
题
2
已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
变式
如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
如果再加上条件AC⊥BD
呢？
E
H
F
D
G
B
A
C
思考
C
D
A
B
C
D
思考：在平面内,
我们可以证明
“
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
”．空间中这一结论是否仍然成立呢？
观察
：
长方体ABCD-A1B1C1D1中,
∠ADC与∠A1D1C1
,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四
个角,
其中不大于90度的角称为它
们的夹角,
用以刻画两直线的错开
程度,
如图.
在空间,如图所示,
正方体ABCD－EFGH中,
异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?
A
B
G
F
H
E
D
C
O
问题提出
复习回顾
转化思想
异面直线所成角的定义:
如图,已知两条异面直线
a
,
b
,
经过空间任一点O作
直线
a′∥a
,
b
′∥b
则把
a
′与
b
′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b
′
a′
O
思考
:
这个角的大小与O点的位置有关吗
?
即O点位置不同时,
这一角的大小是否改变?
异面直线所成的角的范围(
0
,
90
]
o
o
如果两条异面直线
a
,
b
所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直
,
记为a
⊥
b
a
α
a1
b1
O
b
a
α
O
θ
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
例3
450
不同在
任何
一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
课堂小结
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
作业：
P51
1,2(共12张PPT)
人教A版
数学必修二
问题引入
试一试：将两只笔或两根手指看成两条直线，你能摆出几种不同的位置关系？
异
面
直
线
的
定
义
观
察
长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C
C1所在直线的位置关系如何？有什么特点？
思
考
如图，A1D1
平面A1B1C1D1
，BC
平面ABCD，问A1D1，BC
是否是异面关系。
特点：既不平行，又不相交
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
图片展示
空间两直线的位置关系：平行、相交、异面
（1）是否有公共点：
（2）是否共面：
异面直线的画法
A
强调关键点
画
法
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点
（一个平面衬托法）直线a与平面α交点在直线b外；
（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．
探
究
探
究
如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB与哪些棱是异面直线,为什么具有这样的关系？
你知道寻找异面直线的方法了吗？
A
A1
D
C
B
C1
B1
D1
异面直线的判定方法
A
方法1.
过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
方法2.
既不相交，又不平行。
学以致用
例
题
1
如图，正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：D1C1、C1C、CD
、
D1D、AD、B1C1
A
A1
D
C
B
C1
B1
D1
公理4
平行于同一直线的两直线互相平行．
观察
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，直线
AA1与CC1
，
AC与
A1C1
是什么位置关系？
空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c,则a//c
平行关系的传递性
A
A1
D
C
B
C1
B1
D1
证明：
∵
EH是△ABD的中位线
同理，FG
∥BD且FG
=
BD
∴EH
∥FG且EH
=FG
∴EFGH是一个平行四边形
连结BD
∴EH
∥BD且EH
=
BD
解题思路
学以致用
例
题
2
已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
变式
如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
如果再加上条件AC⊥BD
呢？
E
H
F
D
G
B
A
C
小
结
1、本节课你学到——————。
2、本节课你最感兴趣的是—————。
3、本节课你体会到的数学思想方法是————————。(共11张PPT)
异面直线所成的角
思考1
C
D
在平面内，有两个线段AB和CD，要求量出线段AB和CD的夹角，请问有几种方法？
A
B
C
D
思考2：在平面内,
“
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
”．空间中这一结论是否仍然成立呢？
观察
:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,
∠ADC与∠A1D1C1
,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四个角,
其中不大于90度的角称为它们的夹角,
用以刻画两直线的错开程度
如图，在正方体中,
异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?
A
B
G
F
H
E
D
C
O
问题提出
复习回顾
转化思想
已知两条异面直线
a
,
b
,
经过空间任一点O作直线
a′∥a
,
b
′∥b
则把
a
′与
b
′所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b
′
a′
O
思考
:
这个角的大小与O点的位置有关吗
?
即O点位置不同时,
这一角的大小是否改变?
如果两条异面直线
a
,
b
所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直
,
记为a
⊥
b
异面直线所成角的定义:
(
0
,
90
]
a
α
a1
b1
O
b
a
α
O
θ
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求异面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
例3
450
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,
AB
=
,
AD
=
,
AE
=
2
(1)求BC
和EG
所成的角是多少度?
(2)求AE
和BG
所成的角是多少度?
解：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF
=
45
o
(2)
∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
60
o
课堂练习
A
B
G
F
H
E
D
C
2
异面直线的定义:
空间两直线的位置关系：
课堂小结
公理４：
异面直线的求法:
等角定理：
异面直线的画法：
异面直线所成的角：
