(共21张PPT)
知识探究（一）：直线与平面垂直的概念
思考1：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？
思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
思考3：在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？
A
B
C
一、直线和平面垂直的定义：
?
A
平面的垂线
直线的垂面
垂足
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.
记作
．
探究：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触。
A
B
C
D
A
B
C
D
定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
α
a
l
P
b
理论迁移
例1
已知
.求证：
α
a
b
c
d
例2
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P
A
B
C
D
2.3.1直线与平面
垂直的判定
主讲老师：罗云丽
直线和平面所成的角
P
?
讲授新课
A
直线和平面所成的角
P
?
讲授新课
一条直线PA和一个平面?相交，但
不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，A
A
直线和平面所成的角
一条直线PA和一个平面?相交，但
不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做
斜足．
P
A
?
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
个平面所成的角.
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
个平面所成的角.
范围：(0o，90o).
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
1.
P.67练习第3题；
练习
2.
(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线
AB'与面ABCD所成的角为
度；
(2)在正方体ABCD-AB'C'D'
中，直线BD'与面ABCD所
成的角的余弦是
.
A'
B'
C'
D'
C
B
D
A
例1
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线
A'B和平面A'B'CD所成的角.
A'
B'
C'
D'
C
B
D
A
O
如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为
⊙O的直径，C是圆周
上的任意一点，过A作
AE⊥PC于点E.
求证：
AE⊥平面PBC.
练习
C
P
A
B
O
E
线面角的计算小结:
1、找出或作出线面角;
2、证明（1）中的角就是所求的角;
3、求出此角的大小。
一“作”二“证”三“求”
步骤:
关键：确定斜线在平面内的射影.(共12张PPT)
2.3.1直线与平面
垂直的判定
直线和平面所成的角
P
?
讲授新课
A
直线和平面所成的角
P
?
讲授新课
一条直线PA和一个平面?相交，但
不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，A
A
直线和平面所成的角
一条直线PA和一个平面?相交，但
不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做
斜足．
P
A
?
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
个平面所成的角.
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
个平面所成的角.
范围：(0o，90o).
P
O
A
?
直线和平面所成的角
讲授新课
1.
P.67练习第3题；
练习
2.
(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线
AB'与面ABCD所成的角为
度；
(2)在正方体ABCD-AB'C'D'
中，直线BD'与面ABCD所
成的角的余弦是
.
A'
B'
C'
D'
C
B
D
A
例1
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线
A'B和平面A'B'CD所成的角.
A'
B'
C'
D'
C
B
D
A
O
如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为
⊙O的直径，C是圆周
上的任意一点，过A作
AE⊥PC于点E.
求证：
AE⊥平面PBC.
练习
C
P
A
B
O
E
线面角的计算小结:
1、找出或作出线面角;
2、证明（1）中的角就是所求的角;
3、求出此角的大小。
一“作”二“证”三“求”
步骤:
关键：确定斜线在平面内的射影.(共24张PPT)
2.3.2平面与平面
垂直的判定
两直线所成角的取值范围：
A
B
?
?1
O
平面的斜线和平面所成的角的取值范围：
直线和平面所成角的取值范围：
复习回顾
[
0o,
90o
]
[
0o,
90o
]
(0o,
90o)
1．半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部
分，其中的每一部分都叫做半平面．
半平面
半平面
讲授新课
2．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角；
?
?
l
这条直线叫做二面角的棱；
每个半平面叫做二面角的面．
棱为l，两个面分
别为?、?的二面角记为
?-l-?
．
⑴
平卧式：
⑵
直立式：
A
B
?
?
A
B
l
?
?
l
A
B
?
?
l
3．画二面角
在二面角?-l-?的
棱l上任取一点O，如
图，在半平面?和?
内，从点O分别作垂
直于棱l的射线OA、
OB，射线OA、OB
组成∠AOB．把∠AOB叫
做二面角
?-l-?
的平面角.
O
B
A
l
?
?
4．二面角的大小
在二面角?-l-?的
棱l上任取一点O，如
图，在半平面?和?
内，从点O分别作垂
直于棱l的射线OA、
OB，射线OA、OB
组成∠AOB．把∠AOB叫
做二面角
?-l-?
的平面角.
4．二面角的大小
O
O1
B
A
B1
l
?
?
A1
二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．
4．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．
①
二面角的两个面重合：
0o；
4．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．
①
二面角的两个面重合：
0o；
②
二面角的两个面合成一个平面：180o；
4．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．
二面角的范围：[
0o,
180o
]．
①
二面角的两个面重合：
0o；
②
二面角的两个面合成一个平面：180o；
4．二面角的大小
③
平面角是直角的二面角叫直二面角．
5.
二面角的平面角的作法
(1)定义法
根据定义作出来
(2)垂面法
作与棱垂直的平面与
两半平面的交线得到
?
?
l
?
A
B
O
?
?
l
O
A
B
A
O
?
?
l
D
5.
二面角的平面角的作法
6.
平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直.
平面?与?垂直，记作?⊥?.
6.
平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直.
平面?与?垂直，记作?⊥?.
?
?
?
?
一个平面过另一个的垂线，则这两个平面垂直.
7.
平面与平面垂直的判定定理
?
?
a
例1
如图，AB是⊙O的直径，
PA垂直于
⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,
B
的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
A
B
O
C
例1
如图，AB是⊙O的直径，
PA垂直于
⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,
B
的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直
→线面垂直
→面面垂直
P
A
B
O
C
[探究]
已知AB//平面BCD，BC⊥CD
(1)
四个面的形状怎样？
(2)
有哪些直线与平面垂直？
(3)
哪些平面互相垂直？
A
B
C
D
D
A
C
B
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝
，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？
D
A
E
C
B
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝
，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝
，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？
D
A
E
C
B
课堂小结
1.
二面角的定义、二面角的平面角；
2.
二面角平面角的求法；
3.
平面与平面垂直的判定.
作业
73页
习题3、4(共16张PPT)
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质
人教A版高中数学必修2
线面垂直
面面垂直
定义
判定
定理
图形表示
符号表示
图形表示
符号表示
b
温故知新
线线垂直
线面垂直
面面垂直
（线面垂直的判定定理）
（面面垂直的判定定理）
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
问题1.已知线面垂直，可以转化到线线有什么位置关系？
问题2.已知面面垂直，可以转化到线面有什么位置关系？
问题思考：
这就是我们今天要研究的内容：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
（线面垂直的判定定理）
（面面垂直的判定定理）
线线、线面、面面转化思想
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，结合模型,棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？并判断它们彼此之间具有什么位置关系？
知识探究
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
如果直线a，b都垂直于平面α，我们可猜想得到什么结论？
a
b
α
？
命题猜想
a
//
b
O
a
b
α
c
反证法
否定结论
正确推理
导出矛盾
结论成立
命题证明
a
//
b
直线和平面垂直的性质定理：
符号语言：
图形语言：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
作用：
线面垂直
线线平行
简称：
证明空间直线和直线平行
揭示了“平行”与“垂直”的内在联系
A
B
C
α
β
l
a
证：
②画出它们的交线
③
自主探究
探究：请拿出一张长方形的纸
①折成两个平面
命题猜想
α
β
a
l
两个平面垂直，我们可以猜想有什么性质?
猜想：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.
C
A
D
B
E
证明:在
内过A引直线AE⊥CD,
由AB⊥CD知
∠BAE是二面角
的平面角
-CD-
所以
.
且AB与CD是
内的两条相交直线
因为
所以AB⊥AE
命题证明
又AB⊥CD
α
β
a
l
面面垂直性质定理
符号语言：
图形语言：
面面垂直
线面垂直
若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.
作用：
证明空间直线和平面垂直
简称：
α
β
a
l
b
在α内作直线b⊥l
典例分析
两个个证明方法
反思小结，画龙点睛
直接证法
线面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
反证法
①否定结论
②由假设出发
推理得出矛盾
③结论成立
由已知条件和数学定义、公理、定理经过推理论证，推导出结论成立的方法。
由
知,AB⊥AE.又AB⊥CD
线面位置关系
面面位置关系
线线位置关系
②转化思想
①归纳猜想思想
面面垂直
线面垂直
线线平行
线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
（面面垂直性质定理）
（线面垂直性质定理）
线线垂直
线面垂直
面面垂直
（线面垂直的判定定理）
（面面垂直的判定定理）
反思小结，画龙点睛
证明立体几何问题，我们可以从结论的正反两个角度考虑，同样生活中的任何事情也都有正反两方面，同一件事从不同角度去分析，就会看到不同的风景，用积极的心态去对待，多做一些换位思考，再棘手的难题，也能引刃而解。
预祝同学们学习进步，笑口常开！
