第2课时
数学思考(2)
教学目标
1.初步掌握用列表、符号表达逻辑关系等直观手段解决一些简单的逻辑推理问题。
2.在逻辑推理的过程中，初步掌握表格推理的方法，学会有序、全面地思考问题，不断积累数学活动经验。
3.通过逻辑推理的尝试与体验，提高学习数学的兴趣。
教学重难点
1.用不同的符号正确表达逻辑关系。
2.正确解读符号，有序描述逻辑关系。
教学过程
一、复习旧知，揭示课题
课件出示习题。
师：同学们还会解决这样的推理问题吗？请大家试一试，看能用什么方法解答。
【学情预设】预设1：根据小红说的话可知她拿的是语文书，小明拿的是数学书。
预设2：根据小天说的话可知他拿的是语文书，根据小刚拿的不是数学书可知，小刚拿的是音乐书，则小丽拿的是数学书。
师：这些问题是我们以前学过的推理问题，在推理时可以根据各量之间的关系直接推理，也可以利用表格把各量之间的关系表示出来进行间接推理。
出示课件。
师：你能看懂这个表格吗？
【学情预设】引导学生明确“√”表示拿的是这本书，“×”表示拿的不是这本书。例如小天拿的是语文书，那么他就不可能拿数学书和音乐书，小丽和小刚都不可能拿语文书……
师：同学们对简单的推理问题分析得有理有据，得出了正确的结论。这节课，我们来学习较复杂的推理问题。希望同学们积极开动脑筋，作出准确的推理判断。［板书课题：数学思考(2)］
【设计意图】唤起学生的旧知，再引导学生把熟悉的内容进一步的提升，向学生介绍列表法，将数学思想方法渗透其中，为后面的教学做好铺垫。
二、合作探索，学习逻辑推理
1.阅读与理解。
课件出示
师：默读题目，你能读懂吗？在小组内说一说你读懂了什么。
【学情预设】这道题初次接触，学生会觉得比较复杂，很难读懂。教师可以让学生说说，第一次到会的有A、B、C，说明A不可能与谁同班，引导学生理解同班的两个人不可能同一次到会，也不可能都不到会。
2.分析与解答。
师：现在我们理解了题意，你能用列表的方法来进行分析吗？试一试。(板书：列表法)
学生独立思考，完成后在小组内交流后汇报。
【学情预设】预设1：我用“√”表示到会。
预设2：我用“√”表示到会，“×”表示没有到会。
师：观察表格，从三次到会的情况来分析，你发现了什么？
【学情预设】引导学生说出从第一次到会的情况可以看出，A只能和D、E、F同班；从第二次到会的情况可以看出，A只能和D、E同班；从第三次到会的情况可以看出，A只能和D同班。
师：那么B和C分别与谁同班？
【学情预设】A和D同班，在剩下的B、C、E、F中，从第一次到会的情况可以看出，B只能和E或F同班；从第二次到会的情况可以确定，B只能和F同班。所以C只能与E同班。
师：你听懂了吗？和同桌一起说一说推理的过程吧！
同桌之间一起说推理过程。
师：解决问题的方法是多种多样的，还有其他的推理方法吗？谁来跟大家分享一下你的想法？
【学情预设】学生可能会说，结合第一次和第三次的到会情况，可以推理出A不能与B、C、E、F同班，所以A只能与D同班；再结合第一次和第二次的到会情况，可以推理出B不能与C、E同班，就只能与F同班，最后推理出C与E同班。
师：这种推理方法也很棒！充分利用排除法进行直接推理，得到的结论都是相同的。
（板书：排除法）
师：在上面的展示中大家都用“√”表示到会,还可以用别的符号表示吗？
【学情预设】学生可能用各种不同的符号，如“到”和“缺”“1”和“0”“▲”和“△”等。
师：我们还可以这样来表示题意（课件出示表格），再来推理一次吧！
学生跟着课件的演示说推理的过程。
【设计意图】应用列表的方法可以直观、清晰地呈现抽象的已知信息，有利于学生整体把握信息之间的联系，推理得出结论。放手让学生列表分析，经历推理的过程，每种方法都让学生充分表达，在交流中体会逻辑推理。
三、综合练习
1.完成教科书P101“做一做”。
学生独立完成后汇报交流。
【学情预设】直接推理：丁叔叔不是工人，假设他是教师，就和“只有刘阿姨和李叔叔职业相同”产生矛盾，因此，丁叔叔是军人。
2.完成教科书P104“练习二十二”第7、8题。
学生小组内合作完成并交流，集体汇报。
【学情预设】第7题：学生可能会主动调用前面所学的列表分析的经验，自己设想表格的列法、信息的表示，自主推理。也有学生不列表，根据信息用排除法直接判断名次，如“2号不是第4名”，只可能是第2名或第3名，但号码与名次不同，因此只能是第3名。
第8题：学生在尝试的过程中可能会遇到困难，引导学生通过找出题中互相矛盾的条件关系(如甲说自己不是主谋，丙也说自己不是主谋)，从而推知其中两人的话必有真假。假设甲说的是真话，则说明丙是主谋。再结合题中另两个人说的假话，分析发现所推得的信息都相符，就可推出丙说的是假话，他就是主谋。
3.完成教科书P103“练习二十二”第5题。
先让学生理解题意，再引导学生按序列表枚举，最后独立完成并全班汇报，教师提醒“按序列举，不重不漏”。
【学情预设】学生对有多少种面值的理解会出现困难，指导学生有序思考。
枚举法：不同邮资的组合，可以按取1枚、2枚、3枚、4枚的顺序枚举，分别为50分、80分、100分、130分、160分、180分、210分、260分，共8种。
这道题也可以用列表法来分析：
4.完成教科书P103“练习二十二”第6题。
先让学生理解间隔排列的意思。学生理解题意后，可让学生自己分析，用各种个性化的方法将思考过程展现出来。教学笔记
【学情预设】这道题思考方法很多，依然要有序思考。
描述法：例如假设左起第1位固定一个小朋友，有2种排法，一共有4种这样的情况，得2×4=8（种）。
也可用符号来枚举表示：（○●表示2个男生，△▲表示2个女生）
○△●▲
○▲●△
△○▲●
△●▲○
●△○▲
●▲○△
▲○△●
▲●△○
学生汇报后，教师板书。（板书：有序思考）
【设计意图】练习中先让学生理解题意，再引导其“按序”列表，解决问题。在交流汇报时，适时点拨。
四、课堂小结
师：今天我们又比较深入地认识了“逻辑推理”。在推理前，要先充分理解题意，再利用比较直观的手段进行分析，在进行推理时，尤其要依照“非此即彼”这一矛盾现象，推出所需结论。通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？
板书设计
数学思考(2)
列表法
排除法
有序思考
教学反思
本节课所渗透的数学思想方法有很多，如推理的思路——直接推理与间接推理；推理的具体方法——描述与列表；推理的常用策略——枚举与筛选。教学中要关注学生的难点，例如学生不会推理，教师可以在引入列表法后，先示范填上第一次的情况(符号也可用“√”和“×”)，并作简要分析，后续的填写可让学生自己进行。在学生填写完后，教师应指导学生从不同的角度推理。4.数学思考
第1课时
数学思考(1)
教学目标
1.用数形结合的方法，在动手操作的过程中寻求“平面点间线段”的规律，掌握正确数线段的方法。
2.通过观察、分析、归纳等过程，进一步发展合情推理和解决问题的能力。
3.体会数形结合、化归(化繁为简、化难为易)等数学思想,提高探索数学的兴趣。
教学重难点
1.规律的发现与提炼。
2.理解化繁为简的数学思想。
教学过程
一、出示问题，揭示课题
师：请你们在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段。
【学情预设】学生独立尝试连线，数线段，但都表示“太乱了，数不清”。
师：同学们，8个点连出来的线段，数量多，很难数清楚。所以，这样的问题，我们不应该直接用数的方法来解决，而是要研究其中的规律，巧妙地解决。今天我们就来学习数学思考的内容。［板书课题：数学思考(1)］
【设计意图】直接呈现“8个点可以连多少条线段”的问题，大多数学生会遇到数不清、混乱的情况，由此“如何才能解决这个问题”的需求就产生了。
二、合作学习，寻求数线段中的规律
1.合作探究。师：刚才大家遇到了困难，认为点太多不好处理。大家想过没有，如果不是8个点，你能解决吗？也就是说如果点少一些，能解决吗？请大家以小组为单位，可以画一画，也可以列表，看能否发现其中的规律。
学生活动，教师巡视指导并收集信息。
【学情预设】学生活动时，可能想不到列表，或列表不完整，教师可以深入到组内适当引导。
2.汇报展示。
师：哪一组向大家汇报下你们的想法？
【学情预设】学生可能出现下面情况。
预设1：无过程图，仅留最后连线图，但找到了前2~6个点的规律。
前2~6个点连线的线段数分别是：1、3、6、10、15。
预设2：有过程，但表格不完整，如下表。
预设3：图形与表格比较完整，情况如下。
师：通过同学们的展示、交流，你有什么发现？
【学情预设】引导学生说出：在2个点的基础上，每增加一个点，这个点就可以和前面已有的每个点都连成一条线段，所以前面有几个点，就会增加几条线段。
课件演示过程，小结：每次增加的线段条数比点数少1。
师：用算式来表达规律，8个点能连几条线段？你有什么发现呢？
【学情预设】学生会列出算式：1+2+3+4+5+6+7=28(条)，引导学生总结出：1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数。
板书：1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数
3.应用规律。
师：现在你能用我们发现的规律直接算出12个点、20个点、100个点能连多少条线段吗？
学生独立完成后集体交流。
【学情预设】预设1：12个点能连成66条线段，算式是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66(条)。
预设2：20个点能连成190条线段，算式是1+2+3+4+5+6+7+8+…+19=190(条)。
预设3：100个点能连成4950条线段，算式是1+2+3+4+5+6+7+…+98+99=4950(条)。
师：刚才我发现有的同学在计算时很快地求出了结果，谁来分享一下？
【学情预设】学生会说出：点数×(点数-1)÷2=总条数。
师：如果有n个点，每2个点连一条线段，能连多少条线段呢？
【学情预设】引导学生说出可以用1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=总条数,也有学生说用n×(n-1)÷2来求，教师都要予以肯定。
板书：1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=总条数
4.回顾反思。
师：请大家静静地回顾刚才解决问题的过程，你有什么想法？
【学情预设】学生可能会说遇到复杂的问题，可以用化繁为简的思想，从简单入手，寻找规律，再运用规律解决问题。根据学生回答板书：化繁为简
【设计意图】课堂中给学生回顾与反思的时间，有机会交流在解决问题的过程中的收获，使学生能更深层次理解数学思想在解决问题中的作用。
三、及时巩固，深化思想
1.完成教科书P100“做一做”。
学生独立完成，并在组内交流。
【学情预设】学生不难发现棋子排列中的规律，得到每条边上棋子数的平方就是棋子的总数。第n幅图就有n2个棋子。
2.完成教科书P103“练习二十二”第1~4题。
【学情预设】第1题：引导学生寻找数与项数之间、前后数之间的关系来探索规律。第(1)题的规律是相邻两个数之间的差依次加1，从第一个数开始“+8、+9、+10、+11、+12……”；第(2)题的规律是第1项、第3项、第5项、第7项数连续乘2，第2项、第4项、第6项、第8项数连续加3。
第2题：让学生观察序号和形状之间的关系，观察小棒根数与三角形个数之间的关系。从图②开始，平行四边形、梯形依次有规律地出现；小棒的根数，则是每次增加2根。对于第(3)题，不严格要求答案统一，学生可能发现的规律是3+2(n-1)，也可以引导学生统一化简为2n+1。
第3题：学生解决这个问题比较轻松，把“1面红旗、2面黄旗、3面绿旗”看成一组，运用有余数的除法，即可推理得出第55面和第100面彩旗的颜色。
第4题：引导学生回顾多边形内角和的求法，再让学生独立解决问题。这道题不是新问题，根据边数与可划分的三角形个数，可容易地推理得到n边形内角和为(n-2)×180°。
【设计意图】这些练习需要有序思考，找到规律，然后应用规律进行计算或符号化表达，帮助学生进一步发展观察、枚举、归纳能力，提升推理水平。
四、课堂小结
师：通过今天的学习，你们有哪些收获呢？
板书设计
数学思考(1)
1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数
1+2+3+4+5+6+…+(n-1)=总条数
化繁为简
教学反思
本课教学中先让学生产生认知冲突，从而激发学生寻求解题策略的欲望，继而引导学生“从最简单的情况入手”，边探索边寻求答案，进而帮助学生理解化繁为简的数学思想。在教学活动中还要注意两点：一是教科书中的策略是以增加的点为关键，从而引出线段增加的条数，继而找出结果，策略是多样的，可以充分利用学生的已有知识内容让学生独立思考，直接找出数的变化规律，即不要过于限制学生的思维；二是在寻找规律时，也不必限制几个点，可以边数线段边找规律，一旦发现规律就可以归纳出一般情况。第3课时
数学思考(3)
教学目标
1.初步掌握等量代换、几何证明的基本方法和步骤。
2.在解决问题的过程中，经历等量代换和几何证明过程，进一步提升逻辑推理的能力，体会逻辑思维是数学的一种重要思考方式。
3.在教学活动中，学会用数学思想方法解决问题，有条理地表达自己思考的过程,培养合作意识。
教学重难点
1.等量代换、几何证明的基本方法。
2.用语言、符号或文字描述代换和证明的过程。
教学过程
一、谈话导入，揭示课题
师：前面我们已经学习了数学思考的第1、2题，感受到数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。今天这节课，我们一起来学习第3、4题，继续享受由数学思考带来的“思维盛宴”。［板书课题：数学思考（3）］
二、自主探索，经历演绎推理的过程
1.课件出示教科书P101第3题(1)。
师：你能解决这个问题吗？请在作业本上试一试。
学生独立完成后，汇报交流。
【学情预设】预设1：用文字描述。
因为1个△等于3个□，可以把第一个算式中的△换成3个□。这样，第一个算式就转化成了4个□相加等于24，□就等于6，故△=6×3=18。
预设2：根据解方程的经验，用等式表达。
把第一个算式中的△换成3个□，得到□+□+□+□=24，
□=24÷4=6，△=6×3=18。
师：大家听懂这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的是哪一步？
【学情预设】把第一个算式中的△换成3个□。
师：这样的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。
该怎样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看。(课件出示)
2.课件出示教科书P102第3题（2）。
师：想一想，你的结论是什么？用什么方法证明你的结论呢？
【学情预设】两个等式中都有，只要从160里面把☆分别减去就可以知道○和◎是相等的。
师：把☆分别减去的依据是什么？
【学情预设】等式的性质：在等式的左右两边同时减去同一个数，等式仍然成立。
师：你能直接用数学证明的方法表示吗？
学生写证明过程，教师强调每一步都要写清楚依据。
交流汇报，逐步引导得出：
师小结：在解决第(1)题的过程中，我们用到了什么数学思想？(板书：等量代换)第(2)题则是根据什么？(板书：等式的性质)将解题过程用这样的形式表示出来，采用的是数学证明的方法。
【设计意图】表述的逻辑性和严谨性是该环节的教学重点。在学生已经得出结论的基础上，逐步引导他们用规范的数学语言加以表述，充分体会数学证明的方法和逻辑推理的思想。
3.师：什么是平角？平角与直线有什么区别？谁来说一说？
【学情预设】预设1：平角是个角，而直线是条线。
预设2：平角可度量，1平角=180°；直线不可度量。
预设3：平角有一个顶点和两条边，而直线没有。
（1）课件出示教科书P102第4题（1）。
师：从题中你能得到什么信息？说说你的发现。
【学情预设】预设1：每相邻两个角可以组成一个平角，在图中有四组角是相邻的，所以有4个平角。
预设2：平角的两边在一条直线上，在同一条直线的两旁可以找到两个以O为顶点的平角。
师：那么，我们可以找到几个平角呢？它们分别是由哪两个相邻的角组成的？
【学情预设】指导学生说出能找到4个平角，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1。
(2)课件出示教科书P102第4题（2）。
学生独立思考，互相交流后汇报思路。
【学情预设】预设1：∠1和∠2可以组成平角，∠2和∠3可以组成平角，在两个平角中同时减去∠2，就可以得出∠1=∠3。
预设2：还可以这样想，∠1和∠4可以组成平角，∠3和∠4可以组成平角，在两个平角中同时减去∠4，可以得出∠1=∠3。
师：这两种方法中都用到了同时减去同一个角，依据是什么？(学生回答：等式的性质)你能用数学证明的方法表示这个过程吗？
学生练习，教师巡回指导。
展示作业，逐步归纳得出：
师：你能用同样的方法推出∠2=∠4吗？
学生练习，反馈讲评，得出：
【设计意图】题目中平角的概念和平角与直线的区别这两个问题是新知的生长点，教师在实际教学中应使学生理解到位。第(1)题既可以由题意“每相邻两个角可以组成一个平角”出发，也可以从平角的特征考虑加以解决。解决第(2)题需要根据第(1)题的结论，同时第3题中的第(2)题也为本题的推理提供了知识基础。这个教学环节以学生自主探索为主，引导学生充分经历并理解推理的过程。
三、综合练习，提高能力
1.完成教科书P104“练习二十二”第9题。
教学笔记
师：引导学生关注算式的特点，教给学生运用等式的性质处理算式的办法。
【学情预设】第(1)题的方法特别多，比较简单的方法是采用等式的性质，将三个等式的两边分别相加再除以2，求出○+□+△=100，然后依次求出结果。也有的学生用初中的解题思路，如代入消元、加减消元等方法，如果出现要引导学生清晰表达思路。第(2)题要先根据上面两个等式求出○和□，然后代入第三个等式求△的值。
2.完成教科书P104“练习二十二”第10题。
让学生独立完成，并全班汇报展示。
【学情预设】学生会直接说出∠3和∠4拼成的角是平角，所以∠3+∠4=180°。三角形内角和是180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1+∠2=180°-∠3。因为∠4=180°-∠3，所以∠1+∠2=∠4。
【设计意图】针对性的练习设计，强化了等量代换、等式的性质、数学证明的方法和几何证明等知识，在解决问题的过程中使学生直观感受数学推理的应用价值。教学笔记
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有哪些收获呢？
课后了解教科书P104“你知道吗？”。
板书设计
数学思考(3)
等量代换
等式的性质
教学反思
“数学思考”是总复习单元中的另类，它不仅是对以往所学知识的整理和复习，还在原有基础上有所提升与拓展。本节课的教学内容较为抽象难懂，所以在教学时要留给学生动手操作、合作学习的机会，使学生亲身体验探究等量代换的数学方法。教师可以完全放手先让学生独立完成，再用汇报展示的形式去提升。
