第7课时 圆柱的体积（3）
教学目标
1.用已学的圆柱的体积知识解决生活中的实际问题，掌握解决问题的策略，培养应用意识。
2.经历探究不规则物体体积的转化和计算过程，让学生在动手操作中初步体会转化的数学思想，体验“等积变形”的转化过程。
3.通过实践，在合作中建立协作精神,增强学生“用数学”的意识。
教学重难点
1.利用所学知识合理灵活地分析、解决不规则物体的体积的计算方法。
2.体会转化的思想。
教学过程
一、激活学生经验，引出问题
1.教师出示一个空的矿泉水瓶。
师：这个矿泉水瓶的容积是多少？
【学情预设】预设1：学生可能无处下手。(让学生说说为什么不知道该怎么求，因为瓶子是一个不规则的物体。)
预设2：也可能会通过寻找标签上的“净含量”来代替矿泉水瓶的容积。
预设3：将瓶子里灌满水，把这些水倒到量杯或量筒中，就能测出瓶子的容积。
师：要是没有这些工具，甚至连一个玻璃杯都没有，怎么办？
2.揭示课题。
师：这节课,我们就来研究怎样求这个不规则瓶子的容积的问题。［板书课题：圆柱的体积（3）］
【设计意图】抛出问题，引发学生思考，为学习新知作好铺垫。二、体验过程，探索瓶子容积的计算方法
1.教师出示一个装有适量水的矿泉水瓶(水大约有瓶高)。
师：原本这是一瓶装满水的矿泉水，已经喝了一部分，你能根据它来提一个数学问题吗？
【学情预设】预设1：瓶子里还有多少水？(剩下多少水？)
预设2：喝了多少水？(也就是瓶子的空气部分。)
预设3：这个瓶子一共能装多少水？(也就是这个瓶子容积是多少。)
师：你觉得你能轻松解决什么问题？
【学情预设】求瓶子里还有多少水。
师：需要知道哪些信息呢？
【学情预设】学生汇报瓶子里剩下的水呈圆柱状，所以只要量出这个瓶子的底面直径和水的高，就能算出剩下水的体积。
【设计意图】让学生自己提出问题，激发学生解决问题的内在需求，培养学生的问题意识。
2.直面问题，寻求解决问题的方法。
(1)师：关于喝了多少水的问题，你会解决吗？求瓶子的容积呢？
【学情预设】学生可能会说，喝掉部分的形状是不规则的，没有办法计算。如果喝了多少水的问题不能解决，瓶子的容积也没有办法求出来。
师：我们遇到的困难是瓶子上半部分空气的形状是不规则的，所以无法求出它的体积。想一想，求不规则的物体的体积，我们通常会用到什么方法？(指导学生说出用“转化”的方法。)
（2）教师适时引导。
师：能否将空气部分变成一个规则的立体图形呢？
【学情预设】如果学生能说出将瓶子倒置更好，如果不能说出来，则教师演示。
师：我们不妨把瓶子倒过来看看,你发现了什么？把你的发现在小组内说一说。
交流分享，教师可以让学生一边演示一边表达。
【学情预设】预设1：倒置后，瓶子里水的体积没变，但形状变了；瓶子里空气的体积也没有变，但形状变成了一个圆柱。
预设2：瓶子的容积变成了两个圆柱的体积之和。(让学生具体指一指是哪两个圆柱。)
师：你们听明白了吗？也请你和同桌一边操作一边说一说，怎样求出空气部分的体积，怎样求出瓶子的容积。(学生再次操作并表达。)
课件演示转化的过程。
【设计意图】引导学生发现不会解决的问题在哪里，培养学生发现和提出问题的能力。当学生发现问题之后，引导学生解决问题，让问题的解决成为学生的内在需求，在实践操作过程中，通过转化、观察、对比，发现瓶子倒置前后两部分之间的内在联系，顺利解决难点问题。
三、自主探究，解决实际问题
1.阅读与理解。
课件出示教科书P27例7。
师：请同学们自己阅读题目，找出题目中的信息。
【学情预设】学生会说出瓶子的内直径是8cm，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。求这个瓶子的容积。
2.分析与解答。
师：请你试着解决这个问题，然后再和大家分享想法。(学生独立完成后交流。)
【学情预设】预设1：3.14×(8÷2)2×7+3.14×(8÷2)2×18
=3.14×16×(7+18)
=3.14×16×25
=1256(cm3)
=1256(mL)
预设2：3.14×(8÷2)2×(7+18)
=3.14×16×25
=1256(cm3)
=1256(mL)
师：你能看懂这两种方法吗？
【学情预设】预设1：方法一是将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积。一部分是瓶子里水的体积，记作V圆柱1；另一部分是空气的体积，记作V圆柱2。空气的形状是不规则的，可以把它转化成一个圆柱。
根据学生的回答板书：
预设2：将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积后，这两个圆柱的底面积相等，如果把这两个圆柱摞起来，就可以得到一个高是25cm的圆柱。也就是说，将瓶子的容积转化成了一个大圆柱的体积。(如果学生理解有困难，课件可以配合演示，帮助学生理解。)
课件出示正确的解答过程。
3.回顾与反思。
师：回顾解决这个问题的方法和过程，你有哪些收获？
【学情预设】学生可能谈到利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来计算。也可能回忆起在五年级计算梨的体积也是用了转化的方法。
师：转化的数学思想和方法不仅丰富了我们解决问题时的思考方向，也是一种很好的解决问题的策略，这样的策略在生活中很常见也很实用。在解决瓶子容积的问题中，实际上我们用到了数学学习中一项非常重要的知识——等积变形，今后我们可以多运用等积变形，解决相应的实际问题。
【设计意图】将实践操作的发现应用到解决实际问题当中，进一步体会转化的方法在解决实际问题中的应用。用不同的方法来解决问题，体现了思维的多样性。
四、实践应用，巩固提升
1.课件出示教科书P27“做一做”。
师：请同学们以四人为一小组或同桌合作，利用自己的水瓶操作几次，你能想出解决的办法吗？独立写出计算的过程。
学生动手操作、交流合作，教师巡视指导。
【学情预设】有学生可能求的是矿泉水瓶的容积，教师要注意收集错例进行展示，让学生说一说错在哪里。明确要解决的问题是“小明喝了多少水”，其实就是求倒置后空气部分的体积。
课件出示正确的解答。
师：这道题和例题相似，也可以用转化的方法把不规则物体的体积转化成规则的圆柱来进行计算。
2.运用转化的思想解决问题。
(1)独立完成教科书P29“练习五”第9、10题。
(2)交流分享。(汇报时重点说说用了怎样的策略，是把什么转化成了什么来计算的。)
【学情预设】第9题：先利用第一个圆柱的信息求出底面积，S=V÷h。再用公式V=Sh求出第二个圆柱的体积。
第10题：引导学生说出铁块的体积=下降部分水的体积，求下降部分水的体积就是求底面直径是10cm、高是2cm的圆柱的体积。
【设计意图】这个问题也应用了转化的思想，在对解题过程的表述中，可以引导学生说出是把什么转化成了什么来计算的，找到“变中不变”的量，体会转化思想的应用，激活学生的思维。
3.小组内一起完成教科书P30“练习五”第15题。
小组合作，分别算出圆柱的体积，再进行比较，发现规律并归纳。
【学情预设】预设1：学生可能只算出4个圆柱的体积，要提醒学生前三个长方形都可以卷成两种不同的圆柱。
预设2：有学生发现这些图形的面积都是36dm2，所以卷成的圆柱的侧面积相同。设长方形的长为a，宽为b，并假设以a为圆柱的底面周长。
当a越大，则V圆柱越大；当a越小，则V圆柱越小。
通过比较发现规律：当圆柱的侧面积相同时，底面周长越长，体积越大；底面周长越短，体积越小。
【设计意图】必须经历计算和比较的过程，才能发现规律。采取小组合作完成的方式，减轻计算的压力，在小组中合作学习，能有效提高学习的效率和学习的积极性。
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
阅读并思考：教科书P30“你知道吗？”。
板书设计
教学反思
在本节课中，通过交流找出解答问题的关键所在。直面困难，让学生根据已有的知识经验创造性地构建自己的数学思维模式，体会数学转化思想。教学中，教师要注重操作与表达的过程，指导学生有条理地发表自己的想法，说出自己的解题思路。鼓励学生找到不同于教材的解题思路，发展学生的思维能力，让学生体会到解题方法的多样化，培养学生的探究精神和创新意识。第5课时 圆柱的体积（1）
教学目标
1.经历用切割拼合的方法推导出圆柱体积公式的过程，会运用公式计算体积。
2.能正确计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。
3.使学生体会转化、推理、极限、变中有不变等数学思想，感悟数学知识的内在联系，增强学生应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
教学重难点
1.掌握和运用圆柱体积计算公式。
2.理解并掌握圆柱体积公式的推导过程。
教学过程
一、设疑激发学习兴趣，揭示课题
师：李老师准备给孩子们买一个蛋糕，到了蛋糕店她发现有两款蛋糕不错，而且价格相同。这时她犹豫了，买哪种蛋糕更划算呢？你能帮她选一选吗？(课件出示)
【学情预设】学生会说出选体积大的那一个。
师：你会算哪一个蛋糕的体积？怎样算？
【学情预设】学生会求长方体蛋糕的体积，长方体的体积=长×宽×高或长方体的体积=底面积×高。
师：圆柱形的蛋糕的体积该怎么求呢？今天我们就来研究这个问题。［板书课题：圆柱的体积（1）］
【设计意图】设计观察活动，主要是让学生自主得出圆柱体积的定义，加深对体积概念的理解，并由此引出今天学习的内容。
二、自主探究，推导圆柱体积计算公式
1.唤起学生对计算体积各种方法的认知。
师：(出示一个橡皮泥捏的圆柱)你有什么办法求出这个橡皮泥圆柱的体积？
【学情预设】预设1：排水法(排沙法)，计算上升(下降或溢出)部分的水(沙)的体积，就是橡皮泥的体积。
预设2：把橡皮泥捏成一个长方体，测量出它的长、宽、高，用长方体的体积公式计算。
师：你们真是会思考的孩子，把圆柱的体积转化成长方体的体积后再来计算，真是一个好办法！但是如果要求大厅内圆柱形柱子的体积，或压路机前轮的体积，还能用刚才的方法吗？(不能)
师：看来，我们刚才的方法有一定的局限性，要是能像求长方体或正方体的体积那样，有一个通用的公式就好了。
2.动手操作，探究圆柱的体积公式。
(1)猜想。
师：猜想一下，圆柱的体积大小可能与什么有关？理由是什么？
【学情预设】学生可能会说，圆柱的体积大小可能与圆柱的底面积有关，与圆柱的高有关。为什么有关，部分学生可能说得不到位，教师可以延迟评价。
师：大家再来大胆猜测，圆柱的体积公式可能是什么？
【学情预设】有学生能说出“底面积×高”。
师：你是怎么知道的？
【学情预设】预设1：我从书上看到的。
预设2：学生基本能够叙述清楚将圆柱转化为与它等底等高的长方体。
师：你们能理解他的意思吗？他将圆柱转化成了长方体，可不可能实现呢？我们一起来看看。
(2)回忆旧知，实现迁移。
师：想一想，学习计算圆的面积时，是怎样把圆转化成已学的图形，从而推导出圆面积的计算公式的？
先让学生回忆，然后课件演示。
师：现在，你觉得圆柱可不可以转化成长方体呢？
(3)验证猜想。
指名两位学生上台用圆柱教具进行操作，把圆柱转化为近似的长方体。
教师再次演示圆柱转化成长方体的过程，并引导学生分析：把圆柱的底面分成许多相等的扇形，当分成的扇形越多时，拼成的立体图形就越接近于长方体(课件配合演示)。教师强调：把圆柱分成若干等份时，一定要分成偶数份。
(4)小组讨论，推导公式。
师：通过刚才的操作，把拼成的长方体与原来的圆柱比较，你有什么发现？小组内讨论一下。
课件出示4个问题。
汇报交流，根据学生的发言适时板书。
师：圆柱通过切拼后,转化为近似的长方体，表面积增加了，体积没有变。因为长方体的体积等于底面积乘高，近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，近似长方体的高等于圆柱的高，所以圆柱的体积=底面积×高。
教师板书：
寻找转化前后各部分之间的对应关系，使学生理解“变中有不变”的思想，掌握推理的方法。
(5)请学生再将圆柱体积的推导过程在小组内说一遍。
【设计意图】尊重学生的学习起点，一步一步引导学生确定研究的方向。通过猜想、验证、归纳的思维过程，让学生自主探究圆柱的体积公式，并且认识到它与长方体和正方体体积公式之间的联系，把新问题转化为已经学过的问题来解决。掌握转化的思想、类比的思想，并体会极限的思想。
三、利用圆柱的体积公式解决实际问题
1.课件出示教科书P26例6。
师：解决这个问题就是要计算什么？
【学情预设】先求出杯子的容积，再与牛奶的体积进行比较。
师：你知道杯子容积怎么求吗？(引导学生说出与求体积的方法相同。)
(1)学生独立解答。
(2)交流分享。
(3)课件出示正确解答。
2.师：现在你用所学的知识能帮李老师选蛋糕吗？(课件出示相关信息)
学生独立解答后交流。
【设计意图】让学生运用公式解决简单的实际问题，使学生认识到数学学习的价值，明确数学在了解周围世界和解决实际问题中是非常有用的。
四、练习巩固，拓展提升
1.学生独立解答教科书P25“做一做”第1、2题。
解答完毕后，集中展示交流，订正。
【学情预设】第1题：直接给出圆柱的底面积和高，求圆柱的体积。指导学生计算时先写计算公式V=Sh，要注意长90cm就是圆柱形木料的高。
第2题：指导学生理解井深就是圆柱的高，要求挖出的土的体积，先要求水井的底面积。
2.学生独立解答教科书P26“做一做”第1、2题。
完成后在小组内交流、汇报，进行评析并订正。
【学情预设】第1题：学生不会感到困难，注意计算的正确性。
第2题：要先算出圆柱形木料的体积，再计算出这根木料能做多少张课桌，注意在具体计算时，需要根据实际情况用“去尾法”取近似值。
【设计意图】在解决问题的过程中，引导学生将实际问题转化为数学问题，注意引导学生合作交流，并能清晰地表达自己的解题思路及步骤。根据生活经验取近似值，体会解决生活中的实际问题时的现实性。
五、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有什么感受和收获呢？
板书设计
教学反思
“学会学习”是对学生“学”的最高要求，因此在教学中不但要教给学生知识，更要教学生学习的方法。本课让学生经历“设疑——猜想——验证”的学习过程，体验转化的过程，验证转化的结果，使“转化”“极限”等数学思想得到良好渗透，发展了学生的数学能力。在教学过程中发现，仍有少数学生对圆柱的体积计算公式的推导过程表述不够清晰，要注意指导，可以多给学生实践操作的机会，从直观到抽象，在理解的基础上进行规范表述。第6课时 圆柱的体积（2）
教学目标
1.运用圆柱体积的计算方法，解决一些生活中的实际问题。
2.经历分析问题、解决问题的过程，并采用多样化的思路解决问题，提高学生解决问题的能力。
3.体验生活中的数学，感受数学学习的价值，培养学生的应用意识。
教学重难点
1.运用圆柱体积计算公式，灵活解决问题。
2.能从不同角度思考问题，采用多种方法解决问题。
教学过程
一、回忆圆柱的体积公式，导入新课
师：上节课学习了圆柱的体积计算公式，你能说一说圆柱的体积怎样求吗？
【学情预设】预设1：已知圆柱的底面积和高，V=Sh。
预设2：已知圆柱的底面半径和高，V=πr2h。
预设3：已知圆柱的底面直径和高，V=πh。
预设4：已知圆柱的底面周长和高，V=πh。
教师根据学生的回答板书。(如果学生没有说出全部的计算公式，教师可以提示。)
师：同学们掌握了这么多的圆柱的体积计算方法，今天我们就运用圆柱体积的知识来解决一些实际问题。［板书课题：圆柱的体积(2)］
【设计意图】通过回忆圆柱的体积计算公式，引出今天学习的内容。
二、运用圆柱体积计算公式解决简单的实际问题
1.独立完成教科书P28“练习五”第1~5题，并在小组内订正。
【学情预设】第1题：已知圆柱的底面半径(或直径)和高，求体积。要求学生仔细审题，看清条件，选择合适的计算公式。
第2题：这道题比较简单，只要理解水桶可装水的体积就是水桶的容积就可以了。
第3题：这是一道易错题。需要学生学会选择合适的信息解决实际问题。花坛的高度是一个干扰性信息，花坛里所填土的体积只与所填土的高度相关，还要注意题目中一共有两个花坛。
第4题：此题是圆柱体积计算公式的逆向应用。学生可以直接列出除法算式，也可以列方程解答。
第5题：要求学生解决与圆柱形物体的体积有关的综合性实际问题。题目要求的是玉米重多少，首先要求出玉米的体积。
2.集体交流教科书P28“练习五”第6题。
师：谁来说一说，求不同的立体图形的表面积、体积时有什么相同点和不同点？
【学情预设】预设1：求圆柱的表面积就是求3个面的面积之和；求长方体的表面积是求6个面的面积之和。(教师可以追问，求表面积有没有一致的地方？引导学生理解不同的立体图形，求表面积都是求表面的面积总和。)
预设2：求圆柱的体积可以用底面积×高，求长方体的体积也可以用底面积×高。
预设3：表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位。
师：长方体(正方体)和圆柱的体积都可用“底面积×高”来计算，只是底面积的具体计算方法不同而已。如果把底面改成三角形、五边形、椭圆，能不能也用底面积×高来求体积？
【学情预设】学生会给出肯定的回答，如果有学生质疑，让其他学生说明想法。
在解决问题的基础上作进一步的提升，使学生一方面能区分表面积和体积在概念上的不同，另一方面又能理解立体图形在求表面积、体积时的一致性，培养学生的类比推理能力。
3.独立完成教科书P29“练习五”第12题。
【学情预设】预设1：先求出大圆柱的体积，再求出小圆柱的体积，用大圆柱的体积减去小圆柱的体积，求出钢管所用钢材的体积。
预设2：先求钢管的底面积，也就是圆环的面积，再用底面圆环的面积乘高。
教师引导学生重点理解第二种方法，与第6题的分析思路统一，明确求钢管的体积也可以用底面积×高，也就是底面圆环的面积×高，一起总结出公式并板书：V钢管=π(R2-r2)h。
【设计意图】从不同的角度来分析、解决问题，并相互验证。归纳出求钢管的体积的计算公式，帮助学生积累解决问题的经验，感受知识之间的联系。
三、运用知识，灵活解决综合性问题
1.采用多种思路解决问题。
(1)课件出示教科书P29“练习五”第11题。
师：想象一下1秒钟流出的水是什么形状的.求50秒流出的水的体积就是求什么？
【学情预设】预设1：1秒钟流出的水实际就是一个底面直径是1.2cm、高是20cm的圆柱，而50秒流出的水的体积就是50个这样的圆柱的体积总和。
预设2：可以把50秒流出的水想象成一个底面直径是1.2cm、高是1000cm(50×20cm)的长圆柱。
学生按照自己的想法列式解答后，集体订正，课件呈现规范解答。
(2)课件出示教科书P29“练习五”第13题。
师：说一说你是怎样理解的。
【学情预设】预设1：先求出4满杯的体积，也就是一壶茶水的体积，再平均分成6份。
预设2：也可以想象把4个满杯的水摞起来，成为一个底面积为30cm2、高为40cm的圆柱，再把这个圆柱在高的方向上平均分成6份，因此，每份圆柱的高就是cm，再用水杯的底面积乘高来解决问题。(如果学生对于这种方法理解困难，可以实物演示或画图分析，帮助学生理解。)
学生按照自己的想法列式解答后，集体订正，课件呈现规范解答。
【设计意图】从不同角度来分析问题，会有不同的解决问题的方法。在这样的练习、交流中，进一步提升学生解决问题的能力，培养学生的观察能力、想象能力以及空间观念。
2.独立完成教科书P29“练习五”第7、8题。
(1)完成后在小组内说一说解题思路。
(2)找出错例进行订正。
【学情预设】第7题：学生对“厚度为25cm”这条信息不太理解，教师可以用一个透明胶实物来演示，明确“厚度为25cm”就是月亮门(圆柱形)的高，减少的土石用量就是月亮门所占的空间，实际上就是一个底面直径为2m、高为0.25m的圆柱的体积。最后用原计划的土石用量减去减少的土石用量，得出现在的土石用量。
第8题：要先求出一个杯子的容积，再把3个杯子的容积总和与1L果汁的体积作比较。
【设计意图】让学生完成练习后在小组内交流，可以培养合作的意识，体验合作的快乐，在相互交流中进行反思，有助于学生能力的提升。
3.小组内一起完成教科书P30“练习五”第14题。
可以结合动手操作，找准数据，然后集体计算。
【学情预设】以长为轴旋转一周的体积：
3.14×102×20=6280(cm3)
以宽为轴旋转一周的体积：3.14×202×10=12560(cm3)
【设计意图】让学生在前面所学知识的基础上，发挥空间想象能力，找准以长方形不同的边为旋转轴旋转而成的圆柱的不同底面半径和高，以及它们与长方形边的长度之间的对应关系。简单地说就是，以长方形的哪条边为旋转轴旋转，这条边就是旋转后圆柱的高，另一条边就是圆柱的底面半径。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有什么新的收获呢？
板书设计
教学反思
这是一节运用圆柱体积计算公式解决实际问题的练习课。教学中应注意圆柱体积公式的灵活运用，引导学生根据已知的信息选择合适的公式进行计算。在解决实际问题的过程中，鼓励学生将现实问题转化成数学问题，并给予学生充分表达的机会。对于可一题多解的问题，引导学生从多角度思考，培养学生的逻辑思维能力。
