从位移、速度、力到向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列说法正确的是( )
A．向量可以比较大小
B．坐标平面上的x轴和y轴都是向量
C．向量就是有向线段
D．体积、面积和时间都不是向量
解析：对于A，向量是有方向的量，不能比较大小，故A错；对于B，x轴和y轴只有方向，没有大小，故B错；对于C，向量是可以平移的，而有向线段则不能．所以它们是有区别的，故C错；对于D，体积、面积和时间都是只有大小，没有方向的量，故D正确．
答案：D
2．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
解析：A∩B中还含有与a方向相反的向量，故B错．
答案：B
3.如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：∵四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝.
答案：D
4．四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
解析：由＝2可知||＝2||，且AB∥DC.
答案：C
5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )
A．4π
B．π
C．2π
D．3π
解析：图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环＝π(22－12)＝3π.
答案：D
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线．又因为m与，都共线，所以m＝0.
答案：0
7.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．
(1)图中与共线的向量有________；
(2)图中与相等的向量有________；
(3)图中与模相等的向量有________；
(4)图中与是________向量；(填相等或不相等)
(5)与相等吗？________.
解析：由向量相等、共线向量的定义判断．
答案：(1)， (2) (3)，，，
(4)相等 (5)不相等
8．给出下列说法：
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；②在平行四边形ABCD中，一定有＝；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的序号为________．
解析：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确．在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故②正确．若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故③正确．对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．
答案：②③
9．已知直线l：y＝x－，点A，B(x，y)是直线l上的两点．
(1)若为零向量，求x，y的值；
(2)若为单位向量，求x，y的值．
解析：(1)当为零向量时，点B与点A重合，此时x＝0，y＝－.
(2)当为单位向量时，||＝1，即A与B两点间的距离为1，
所以＝1，即x2＋2＝1，
将y＝x－代入，得2x2＝1，
所以x＝，y＝0或x＝－，y＝－.
10.在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
[B组 能力提升]
1.如图，在等腰梯形ABCD中，①与是共线向量；②＝；③＞.以上结论中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①②③均不正确．
答案：A
2.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为模的倍
D.与不共线
解析：①与相等的向量(不含)只有；
②∠DAB＝120°，在菱形ABCD中，△ABC，△ACD为等边三角形，则与的模相等的向量有，，，，，，，，共9个．
③在△ABC中，BO＝AB，AB＝DA，BD＝2OB＝AB，故的模为模的倍；④与共线．
答案：D
3.设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥③与共线；④＝.其中，所有正确表示的序号为________．
解析：由正方形ABCD，O为中心，知①②③正确，≠，与方向不同，故④错误．
答案：①②③
4．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π×22－π×12＝3π.
答案：3π
5.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，已知＝，＝，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．
解析：∵＝，∴||＝||，从而D是AB的中点．
∵＝，∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.
∴＝＝1，∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC.
又＝，即||＝||，∴BE＝BC.
∴E为BC的中点．
∴DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，∴AF＝AC，
∴DE綊AF.∴＝.
6．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan∠D＝，试判断四边形ABCD的形状．
解析：∵在四边形ABCD中，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan∠D＝，∴∠B＝∠D＝60°.
又||＝||，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列等式：①a＋0＝a；②a＋b＝b＋a；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；
⑤a＋(－b)＝a－b.其中正确的命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
2.在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
解析：在平行四边形ABCD中，
＝，＝，选项A错误．
＋≠，选项B错误；
＋＝，＋＝，选项C正确；
＋＋＝，选项D错误．
答案：C
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①②
B．①③
C．①③⑤
D．③④⑤
解析：a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，由0的性质知，①③⑤正确．
4．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且、、、满足等式＋＝＋，则四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
解析：∵－＝，－＝，
而＋＝＋，
∴－＝－，∴＝，
即AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝( )
A．1
B．2
C．3
D．2
解析：|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：B
6．化简：(＋)＋(＋)＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知||＝||＝1，且∠AOB＝60°，则|＋|＝________.
解析：设＋＝，则四边形OACB为菱形，且∠AOB＝60°.∴||＝.
答案：
8．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为________．
解析：因为，，为三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3；当三个向量配成120°角时，它们的和为0.
答案：[0,3]
9．化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解析：(1)＋＋＝(＋)＋
＝0＋
＝.
(2)＋＋＋
＝(P＋)＋(＋)
＝＋
＝.
10.如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解析：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
[B组 能力提升]
1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.
答案：A
2．在?ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是________(填序号)．
①a＋b＝c；②a＋d＝b；
③b＋d＝a；④|a＋b|＝|c|.
解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．
答案：①②④
3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是________(图形)．
解析：如图所示，＋＝，＋＝，
又|＋|＝|＋|，
所以||＝||，则四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
4.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
解析：证明：＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
因为与大小相等，方向相反，所以＋＝0，故＋＝＋＋0＝＋.
5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5
km/h.
(1)若此船沿着与水流垂直的方向行驶，你知道船的实际航行速度的大小与方向吗？
(2)如果此船实际向南偏西30°方向行驶2
km，然后又向西行驶2
km，你知道此船在整个过程中的位移吗？
解析：(1)如图，用表示水流的速度，用表示船在静水中的航行速度，则船的实际航行速度是水流速度与船在静水中的速度的和速度．
根据平行四边形法则，以OA和OB为邻边作?OACB，
则＝＋，
即表示水流速度与船在静水中的速度的和速度，即船的实际航行速度．
由题意知OA⊥OB且OA＝OB，
则?OACB为正方形，
所以OC＝OA＝5，
且∠AOC＝45°.
所以船的实际航行速度的大小为5
km/h，方向与水流的方向成45°角．
(2)如图，用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知＝＋，
所以可表示两次位移的和位移．
由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
则BC＝AC＝1，AB＝，
在等腰△ACD中，AC＝CD＝2，
所以∠D＝∠DAC＝∠ACB＝30°，
所以∠BAD＝60°，AD＝2AB＝2，
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2
km.
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．给出下列各式：
(1)－＋－；
(2)－＋；
(3)＋＋－.
其中化简结果为零向量的式子的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：(1)－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；(2)－＋＝(－)＋＝＋＝0；(3)＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.
答案：D
2．下列等式不正确的是( )
A．a＋0a
B．a＋b＝b＋a
C.＋≠0
D.＝＋＋
解析：根据向量加法的三角形法则，A正确；向量加法满足交换律，B正确；因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确；根据向量加法的多边形法则，D正确．
答案：C
3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：在△ABC中，D是BC边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
答案：C
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
解析：以，为邻边作平行四边形ACDB，则||＝|＋|，||＝|－
|.因为|＋|＝|－|，所以||＝||，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB，所以AM为Rt△BAC斜边BC上的中线，因此||＝||＝2.
答案：C
5．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
答案：30°
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
解析：－－＋＋＝(－)－(－)＋＝－＋＝.
答案：
7．化简：(1)(－)＋(－)＝________.
(2)(－)＋(－)＝________.
解析：(1)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝.
(2)(－)＋(－)＝＋－(＋)＝－＝＋＝.
答案：(1) (2)
8．四边形ABCD是边长为1的正方形，则|－|＝________.
解析：|－|＝||＝＝.
答案：
9.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1)；(2)；(3)＋＋.
解析：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
10.如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.
解析：如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝－＝，
则|a－b－c|＝||＝＝8.
[B组 能力提升]
1．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
解析：因为＝－，故
当，同向共线时，||＝||－||＝3；
当，反向共线时，||＝||＋||＝13；
当，不共线时，|||－|||＜|－|＜||＋||，即3＜||＜13.
综上可得3≤||≤13.
答案：C
2．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．
①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.
答案：①④
3．在五边形ABCDE中，设＝m，＝n，＝p，DE＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
解析：因为m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝(＋)－(＋＋)
＝－＝＋.
延长AC到M，使||＝||，则CM＝，
所以＋＝＋＝.
所以向量为所求作的向量，如图所示．
4．如图，已知点O是△ABC的外心，H为垂心，BD为外接圆的直径．求证：
(1)＝；
(2)＝＋＋.
证明：(1)由题意，可得AH⊥BC，DC⊥BC，所以AH∥DC.
又DA⊥AB，CH⊥AB，所以DA∥CH，所以四边形AHCD为平行四边形．所以＝.
(2)在△OAH中，＝＋，而＝，所以＝＋.
又在△ODC中，＝＋，而＝，
所以＝＋.
所以＝＋＋.
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A．2a
B．－2a
C.a
D．－a
解析：由题意知，3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
答案：B
2．点C在线段AB上，且＝，则＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：依题意，可得AC＝，又和方向相反，所以＝－.
答案：C
3．已知＝－2a＋2b，＝3a－3b，＝a－b，则直线AD与BC( )
A．平行
B．相交
C．重合
D．平行或重合
解析：因为＝－，所以∥，又和有公共的端点B，所以A，B，C三点共线．因为＝3，又与有公共的端点C，所以B，C，D三点共线．所以A，B，C，D四点共线，所以直线AD与BC重合．故选C项．
答案：C
4．在△ABC中，＝a，＝b，且＝2，则等于( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：在△ABC中，＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案：A
5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：＋＝(＋)＋(＋)
＝(＋)＝.
答案：A
6．若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝5，则a＝______b.
解析：∵b与a方向相反，且|a|＝3，|b|＝5.∴a＝－b.
答案：－
7．化简：(4a＋b)－3(b－a)＝________.
解析：(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋b－3b＋3a＝5a－b.
答案：5a－b
8．若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则a＝________b.
解析：＝，b与a反向，∴a＝－b.
答案：－
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
证明：设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与公共点为C.
∴C，M，N三点共线．
10.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解析：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ(0≤λ≤1)，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
[B组 能力提升]
1．设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行
B．同向平行
C．一定不平行
D．不能判断两个向量的关系
解析：＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A.
答案：A
2．已知向量a，b不共线，且＝λa＋b，＝a＋μb，则点A、B、C三点共线应满足( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
解析：∵A、B、C三点共线，∴＝m，
∴λa＋b＝m(a＋μb)，
∴(λ－m)a＋(1－mμ)b＝0，∵a，b不共线，
∴，解得λμ＝1.
答案：D
3．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD是
________形．
解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯
4．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则实数λ＝________.
解析：由＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝.
答案：
5．已知向量a，b不共线．
(1)实数x，y满足等式3x
a＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2x
b，求出x，y的值；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
解析：(1)∵a，b为不共线向量，要使等式3x
a＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2x
b成立，则有解得
(2)
①×4＋②×3得y＝4a＋3b，③
再将③代入①中，得x＝3a＋2b.
∴
6．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？
解析：假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线．则有实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2
得
所以λ＝－2μ.故存在这样的λ，μ，使d与c共线．
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为( )
A．6
B.
C．－6
D．－
解析：由a，b共线，得a＝λb(λ为实数)，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2.
∵e1，e2不共线，
∴x＝3λ，2＝λy，且λ≠0，
∴xy＝3λ·＝6.
答案：A
2.如图所示，已知正六边形ABCDEF，且＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b)
B.(b－a)
C．a＋b
D.(a＋b)
解析：连接AD(图略)，则＝＋＝a＋b，
∴＝＝(a＋b)．
答案：D
3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3.∴m＝3.
答案：B
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则( )
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线
D．A，C，D三点共线
解析：因为＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，
所以＝＋＝a＋5b，所以＝，所以与共线，所以A，B，D三点共线．故选A.
答案：A
5．已知||＝2，||＝，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，过点C作CM∥OB，CN∥OA，则＝＋，设||＝x，则||＝2x，
＝2x·＋x·＝x
＋x·，
所以m＝x，n＝，所以＝＝.
答案：B
6．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
答案：b＋a
7．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
解析：∵a、b是两个不共线的向量，且起点相同，
又a，b，t(a＋b)三向量的终点在一直线上，
∴t(a＋b)＝λa＋μ·b
即解得t＝
答案：
8．如图所示，已知＝，用，表示＝________.
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
答案：－＋
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析：∵a，b不共线，∴可设c＝x
a＋y
b，
则x
a＋y
b＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，
∴
解得∴c＝a－2b.
10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AD＝4，BC＝6，AB＝2，设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为b0，以a0，b0为基底表示下列向量：，，，，.
解析：因为||＝6且与同向的单位向量为a0，
所以＝6a0，同理＝2b0，
则＝－＝6a0－2b0.
又∥，且||＝4，
所以＝4a0，＝＋＝2b0＋4a0，
＝－＝(2b0＋4a0)－6a0＝2b0－2a0.
注意到AD∥BC，所以OA∶OC＝AD∶BC＝2∶3，
所以＝－＝－(6a0－2b0)＝－a0＋b0.
[B组 能力提升]
1．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则( )
A．点P在△ABC外部
B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上
D．点P在线段AC上
解析：∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
即＋＋＋＝0，∴＋＋＝0，
∴2＝，∴点P在线段AC上．
答案：D
2．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：如图，CD平分∠ACB，由角平分线定理得＝＝＝2，所以＝2＝，所以＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案：B
3.如图，平面内有三个向量、、，其中∠BOA为120°，∠AOC为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
解析：如图，以OC为对角线作?OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，则存在λ、μ，使＝λ，＝μ.
∵∠AOB为120°，∠AOC为30°，
∴∠NOC＝90°，∠OCN＝∠MOC＝30°.
在Rt△NOC中，||＝2，||＝||＝＝4，
||＝||sin
30°＝2.∴＝4，＝2.
∴λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.
答案：6
4．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是______；当x＝－时，y的取值范围是______．
解析：由题意，设＝λ(λ＞0)，＝a·＋b·(a＞0,0＜b＜1)，所以＝a·λ＋b·＝aλ(－)＋b·＝－aλ·＋(aλ＋b)·.由－aλ＜0，得x∈(－∞，0)，又＝x＋y，则有0＜x＋y＜1，当x＝－时，有0＜－＋y＜1，解得y∈(，)．
答案：(－∞，0) (，)
5．如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，求x2＋9y2的最小值．
解析：根据题意，得＝＝x＋y.
因为M，B，C三点共线，所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0＜y＜)，所以x2＋9y2＝(－y)2＋9y2＝10y2－y＋＝10(y－)2＋(0＜y＜)．
所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值，为.
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(3,7)
D．(－3，－7)
解析：＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案：B
2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝( )
A．－a＋b
B.a－b
C．－a－b
D．－a＋b
解析：设c＝xa＋yb，即(－1,2)＝(x，x)＋(y，－y)＝(x＋y，x－y)，
∴解得：
答案：B
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A．(2，)
B．(2，－)
C．(3,2)
D．(1,3)
解析：设点D(m，n)，则由题意，得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故，解得，即点D(2，)，故选A.
答案：A
4．已知向量a＝(8，x)，b＝(x,1)，x＞0，若a－2b与2a＋b共线，则x的值为( )
A．4
B.
C.
D.
解析：由题意a－2b＝(8，x)－2(x,1)＝(8－2x，x－2)，2a＋b＝2(8，x)＋(x,1)＝(16＋x，x＋1)，
∵a－2b与2a＋b共线，
∴＝，
即(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)(x－2)，
解得x＝4.
答案：A
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1)
B．(－1,1)
C．(－4,6)
D．(4，－6)
解析：由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝3(－2,4)－2(1，－3)＝(－8,18)，
4a＋(3b－2a)＝－c，所以(4，－12)＋(－8,18)＝－c，所以c＝(4，－6)．
答案：D
6．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同．
解析：因为a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x·x－1·4＝0，即x2＝4，所以x＝±2.当x＝－2时，a与b方向相反；当x＝2时，a与b共线且方向相同．
答案：2
7．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴＝(1,2)，＝(－1,3)，
＝2(1,2)＝(2,4)，
＝3(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)
8．若点A(－2,3)，B(3，－2)，C(，b)三点共线，则实数b的值为________．
解析：∵A、B、C三点共线，
∴向量与共线，＝(5，－5)，
＝(，－2－b)，∴＝，即5(－2－b)＝－5×，得b＝.
答案：
9．已知O是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，试求实数k为何值时，A，B，C三点共线．
解析：＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)．
又A，B，C三点共线，所以∥，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t.求：
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：(1)＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－；
若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－；
若点P在第二象限，则需
解得－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，需＝，
于是无解，
故四边形OABP不能成为平行四边形．
[B组 能力提升]
1．已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)}
B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴，解得，∴a＝(－2，－2)，故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案：C
2．已知＝e1＋2e2，＝(3－x)e1＋(4－y)e2，其中e1，e2的方向分别与x，y轴的正方向相同，且为单位向量．若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．2x－y－2＝0
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．x－2y＋2＝0
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，又与共线，
则有4－y－2(3－x)＝0，即2x－y－2＝0.
答案：A
3．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x、y，使得a＝(x，y)；
②若x1，y1，x2，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a≠0，且a＝(x，y)，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点的坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确结论的序号)．
解析：只有①正确；x1＝x2，y1≠y2或x1≠x2，y1＝y2时也有(x1，y1)≠(x2，y2)，所以②不正确；a的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标不一定是向量坐标，④不正确．
答案：①
5．设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sin
α)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，求的取值范围．
解析：由a＝2b，知，
∴.
又cos2α＋2sin
α＝－sin2α＋2sin
α＋1＝－(sin
α－1)2＋2，
∴－2≤cos2α＋2sin
α≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
∴≤m≤2.∵＝＝2－，
∴－6≤2－≤1，
∴的取值范围为[－6,1]．
6．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c的坐标；
(2)求满足a＝m
b＋n
c的实数m，n；
解析：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a＝m
b＋n
c，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A．72
B．－72
C．36
D．－36
解析：∵a·b＝|a||b|cos
60°＝12，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝36－12－96＝－72.
答案：B
2．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝( )
A．1
B．4
C．2
D．5
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5.
答案：D
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设向量a与b的夹角为θ.
∵a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝，∴θ＝.
答案：B
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2
B．4
C．6
D．12
解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos
60°－6|b|2＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.
又|a|≥0，∴|a|＝6.
答案：C
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D．π
解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0.设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，又|a|＝|b|，所以3(|b|)2－|b|2cos
θ－2|b|2＝0.因为|b|≠0，所以上式可变形为－cos
θ－2＝0，解得cos
θ＝.因为0≤θ≤π，所以θ＝.故选A.
答案：A
6．设向量a，b满足|a＋b|＝3，|a－b|＝1，a与b夹角为θ，则＋＝( )
A.
B.
C.
D．3
解析：∵|a＋b|＝3，∴a2＋2a·b＋b2＝9 ①.
又|a－b|＝1，
∴a2－2a·b＋b2＝1 ②.
由①②得a·b＝2，a2＋b2＝5，
∴＋＝＋＝＝.故选B.
答案：B
7．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则|2e1－e2|＝________.
解析：|2e1－e2|＝＝
＝＝.
答案：
8．已知△ABC，O为△ABC所在平面上任一点，且·＝·＝·，试判断点O为△ABC的________心．
解析：∵·＝·?·－·＝0?·(－)＝·＝0，
∴⊥，即BO⊥AC.
同理，AO⊥BC，CO⊥AB.∴点O为△ABC的垂心．
答案：垂
9．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
解析：(1)|a＋b|＝＝
＝
＝.
(2)由a·(a－b)＝0，得a2＝a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝.∴θ＝.
10．已知|a|＝，|b|＝3，a与b的夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角时λ的取值范围．
解析：设a＋λb与λa＋b的夹角为θ.
则cos
θ＝＞0，即(a＋λb)·(λa＋b)＞0，展开得，λ
a2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0.
∵|a|＝，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|cos
45°＝3，
∴2λ＋3(λ2＋1)＋9λ＞0，即3λ2＋11λ＋3＞0.
∴λ＜或λ＞.
另外θ＝0°时，λ＝1.故λ≠1，
∴λ∈(－∞，)∪(，1)∪(1，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：由题意可知，·(＋)＝·2＝·＝－2＝－()2＝－.
答案：A
2．若O为平面内任一点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)
＝2－2＝0，∴||＝||.
答案：A
3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.
又|a－b|2＝4|a|2，∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2
∴|b|2＝3|a|2
∴|b|＝|a|
∴cos
θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________．
解析：由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，
即a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4xcos
θ＋x2≥4＋4cos
θ＋1，
即x2＋4cos
θx－1－4cos
θ≥0.
因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
所以Δ＝(4cos
θ)2＋4(1＋4cos
θ)≤0，
即(2cos
θ＋1)2≤0，
所以2cos
θ＋1＝0，cos
θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
5．设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－k
a＋t
b垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－k
a＋t
b)＝0，
－k
a2－k(t－3)a·b＋t
a·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－，
即函数k＝f(t)的最小值为－.
6．已知非零向量，和满足(＋)·＝0，且＝，试判断△ABC的形状．
解析：∵，分别表示与，同向的单位向量，
∴以，为邻边的平行四边形为菱形．
∴表示向量＋的有向线段在角A平分线上．
∴由(＋)·＝0知角A的平分线垂直于BC，
∴△ABC为等腰三角形．
又＝cos
C＝，
∴C＝，从而可知，A＝，
所以，△ABC为等腰直角三角形．
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则有( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．(a－b)⊥b
D．a∥b
解析：a－b＝(，－)，(a－b)·b＝×－×＝0，
∴(a－b)⊥b.
答案：C
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设a，b的夹角为θ，
即cos
θ＝＝.
∵0°≤θ≤180°.∴θ＝.
答案：B
3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4，所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，|2a＋b|＝2.
答案：B
4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(－1,3)，直线l2的一个方向向量为b＝(1，k)，且l2过点(0,5)，l1⊥l2，则l2的直线方程为( )
A．x－3y＋15＝0
B．x－3y＋5＝0
C．x＋3y－5＝0
D．x－3y－15＝0
解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b.∵a＝(－1,3)，b＝(1，k)，
∴(－1)×1＋3k＝0.∴k＝.
∴直线l2的斜率k＝.∵直线l2过点(0,5)，
∴由直线的点斜式方程，得y－5＝(x－0)，
即x－3y＋15＝0.
答案：A
5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第二象限内，∠AOC＝，且||＝2，若＝λ＋μ，则λ，μ的值是( )
A.，1
B．1，
C．－1，
D．－，1
解析：因为∠AOC＝，所以∠BOC＝－＝.因为O＝λ＋μ＝(λ，μ)，所以·＝(λ，μ)·(1,0)＝||·||cos，即λ＝2×(－)＝－，·＝(λ，μ)·(0,1)＝||||cos
，即μ＝2×＝1.所以λ＝－，μ＝1，故选D.
答案：D
6．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，
∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.
答案：
7.如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：·＝[(＋)]·＝[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3.
答案：3
8．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
解析：设a＝(x，y)．∵b＝(2，－1)，
∴a＋b＝(x＋2，y－1)
∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，∴y＝1.
又∵|a＋b|＝1，即＝1，
∴x＝－1，或x＝－3.
∴a＝(－1,1)或(－3,1)
答案：(－1,1)或(－3,1)
9．在四边形ABCD中，已知∥，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)求用x表示y的关系式；
(2)若⊥，求实数x，y的值．
解析：(1)根据向量加法运算，＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
因为∥，所以x(y－2)－y(x＋4)＝0，整理得－2x－4y＝0，
所以用x表示y，得到y＝－x.
(2)根据向量加法运算，＝＋＝(6＋x,1＋y)，
＝＋＝(x－2，y－3)．因为⊥，所以(6＋x)(x－2)＋(1＋y)(y－3)＝0.结合第(1)问中得到的结论y＝－x，
得到方程组
解得或
10．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
解析：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，
则由＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
得即∴C点坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为.
[B组 能力提升]
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于( )
A．(2,1)
B．(1,0)
C.
D．(0，－1)
解析：设c＝(x，y)，∵a＝(1，－1)，b＝(1,2)，
∴c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)．
∵(c＋b)⊥a，
∴(x＋1)×1＋(y＋2)×(－1)＝0，即x－y－1＝0.①
∵(c－a)∥b，
∴(x－1)×2－(y＋1)×1＝0.即2x－y－3＝0.②
由①②得x＝2，y＝1，∴c＝(2,1)．
答案：A
2．已知a，b均为单位向量，且a·b＝0，若|c－4a|＋|c－3b|＝5，则|c＋a|的取值范围是( )
A．[3，]
B．[3,5]
C．[3,4]
D．[4,5]
解析：∵a，b均为单位向量，且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得＋＝5，即点C(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5，∴点C的轨迹是线段AB.又|c＋a|＝，表示点M(－1,0)与线段AB上的点之间的距离，
∴其最小值是点M(－1,0)到直线AB：3x＋4y－12＝0的距离，
∴|c＋a|min＝＝3.又最大值为|MA|＝5，
∴|c＋a|的取值范围是[3,5]．故选B.
答案：B
3．若M(2,0)，N(0,2)，且点P满足＝，O为坐标原点，则·＝________.
解析：设P(x，y)，由＝，得(x－2，y)＝(－2,2)＝(－1,1)，所以
所以所以·＝(2,0)·(1,1)＝2.
答案：2
4．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，则q＝________.
解析：设q＝(x，y)，则p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，∴解得
∴q＝(－2,1)．
答案：(－2,1)
5．已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且a，b满足关系|ka＋b|＝|a－kb|(k为正实数)．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)；
(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角θ.
(注：对任意x∈R，有sin2α＋cos2α＝1)
解析：(1)证明：∵a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，
∴|a|2＝cos2
α＋sin2
α＝1，|b|2＝cos2
β＋sin2
β＝1.
∵(a＋b)·(a－b)＝a2－
b2＝|a|2－|
b|2＝1－1＝0，
∴(a＋b)⊥(a－
b)．
(2)∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
又∵a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，
∴k2＋2ka·b＋1＝3－6ka·b＋3k2.
∴a·b＝，故f(k)＝(k＞0)．
(3)∵f(k)＝＝(k＞0)，
由g(x)＝x＋在[0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，得g(k)＝k＋在k＝1时取最小值，且g(1)＝1＋1＝2.
∴f(k)的最小值等于，此时a·b＝，|a|＝1，|b|＝1，
∴cos
θ＝＝＝.
又∵0°≤θ
≤180°，∴a与b的夹角θ＝60°.
PAGE第二章
平面向量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是( )
A．3x－2y＋6＝0
B．3x＋2y＋6＝0
C．2x＋3y＋6＝0
D．2x－3y＋6＝0
解析：由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.
答案：B
2．共点力F1＝(lg
2，lg
2)，F2＝(lg
5，lg
2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg
5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg
2
B．lg
5
C．1
D．2
解析：F1与F2的合力F＝(lg
2＋lg
5,2lg
2)＝(1,2lg
2)，
又s＝(2lg
5,1)，∴W＝F·s＝2lg
5＋2lg
2＝2.
答案：D
3．设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
A.
B.
C．2
D．3
解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，则(＋)＋(2＋2)＝2＋4＝0，∴＝－2，即O，D，E三点共线．∴S△OCD＝2S△OCE，∴S△AOC＝2S△BOC.
答案：C
4．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：∵＋＝0，∴＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵·＝0，∴⊥.∴平行四边形的对角线垂直．
∴四边形为菱形．
答案：D
5．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则等于( )
A．(－1,2)
B．(1，－2)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
解析：设D(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(x－3，y－2)，＝(－6，－3)．
因为⊥，∥.
所以
解得所以＝(－1,2)．
答案：A
6．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3
＝(x，y)，满足F1＋F2＋F3＝0，若F1与F2的合力为F，则合力F与力F1夹角的余弦值为________．
解析：因为F1＋F2＋F3＝0，F1＋F2＝F，所以F＝－F3，因为F3的坐标为(－5,1)，所以F＝－F3＝(5，－1)，设合力F与力F1的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
答案：
7．已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，则点B(2,3)到直线l的距离是________．
解析：由题意，知直线l的斜率k＝－.又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(2,3)到直线l的距离d＝＝.
答案：
8．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
解析：＝－＝(3,6)＝，又·＝0，
∴ABCD为矩形．∴||＝，||＝，
∴S＝30
答案：30
9．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移到点B(7,0)．(其中i，j是x轴，y轴正方向上的单位向量)
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
解析：(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴WF1＝F1·＝－13－15＝－28(J)，
WF2＝F2·＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，
∴WF＝F·＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．
10.已知平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
解析：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
[B组 能力提升]
1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则等于( )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈(0，)
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈(0，)
解析：如图，因为四边形ABCD是菱形，
所以有＝＋.
又因为点P在AC上(不包括端点)，
所以与共线，且＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
答案：A
2．已知在Rt△ABC中，斜边BC上有异于端点的E，F两点，边AB，AC(AB＜AC)的长为函数f(x)＝x2－2(1＋)x＋4的两个零点，若EF＝1，则·的取值范围为( )
A．[－，0)
B．[，9]
C．[，9)
D．[，＋∞)
解析：因为边AB，AC(AB＜AC)的长为函数f(x)＝x2－2(1＋)x＋4的两个零点，所以AB＝2，AC＝2，所以BC＝＝4.以A为坐标原点，，的方向分别为x轴正方向、y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0，2)．
不妨设E在F上方，＝λ(0＜λ＜)，
则＝(λ＋)，
则F(2－2λ，2λ)，E(－2λ，2λ＋)．
所以·＝(－2λ，2λ＋)·(2－2λ，2λ)＝(－2λ)(2－2λ)＋2λ(2λ＋)＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝16(λ－)2＋∈[，9)，故选C.
答案：C
3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．
解析：∵－3＋2＝0，
∴(－)－2(－)＝0，∴＝2.
∴||＝2||.∴＝2.
答案：2
4.如图，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF.
(1)求证：CD⊥EF；
(2)当OD＝OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程．
解析：(1)证明：根据题意＝(2,0)，＝(0,2)，
设＝(a，a)，
则＝(2－a,0)，＝(0，a)，＝(2－a，a)，
＝－＝(a，a－2)，
因为·＝(a，a－2)·(2－a，a)＝2a－a2＋a2－2a＝0，
所以⊥，因此CD⊥EF.
(2)当OD＝OC时，DE＝OE＝，
所以F(2，)，E(，0)，即＝(2－，)，
所以可设直线方程为x－(2－)y＋m＝0，
又直线经过点C(0,2)．
所以直线的方程为x－(－1)y＋2(－1)＝0.
5．已知长方形ABCD，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，P为AB上一点．
(1)利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°；
(2)若∠PED＝45°，求证：P、D、C、E四点共圆．
解析：(1)如图建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)．设P(0，y)，则＝(1,3)，＝(－1，y)．
∴||＝，||＝，
·＝3y－1，
将它们代入cos
45°＝，
解得y＝－(舍去)或y＝2，
∴点P为靠近点A的AB的三等分点时，∠PED＝45°.
(2)证明：当∠PED＝45°时，由(1)知P(0,2)，
∴＝(2,1)，＝(－1,2)，
∴·＝0.
∴∠DPE＝90°.又∠DCE＝90°，
∴P、D、C、E四点共圆．
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