2.1.1
离散型随机变量
[A组 学业达标]
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．
答案：D
2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
解析：将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．
答案：D
3．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
解析：选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量．选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量．选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.
答案：C
4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值是( )
A．1,2，…，5
B．1,2，…，10
C．2,3，…，10
D．1,2，…，6
解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案：C
5．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为( )
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
解析：X就是检测到次品前正品的个数，X＝k表明前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品．
答案：D
6．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是________(填序号)．
①2枚都是4点；
②1枚是1点，另1枚是3点；
③2枚都是2点；
④1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点．
解析：抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1,2，…，6.
而ξ＝x＋y，
ξ＝4?或
答案：④
7．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.
答案：②
8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3.
答案：0,1,2,3
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．
解析：X的可能取值为0,1,2.
X＝0表示在两天检查中均发现了次品．
X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．
X＝2表示在两天检查中没有发现次品．
10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500
m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.
解析：(1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．
(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
[B组 能力提升]
11．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( )
A．X＝4
B．X＝5
C．X＝6
D．X≤4
解析：第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
答案：C
12．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是( )
A．25
B．10
C．7
D．6
解析：∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．
答案：C
13．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为________．
解析：由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.
答案：4
14．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时总共拨的次数为X，则随机变量X的所有可能取值的种数为________．
解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．
答案：24
15．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，写出X的所有可能取值，并说明X的值表示的随机试验的结果．
解析：X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.
(1)X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．
(2)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但回答1对1错，而乙答错1题．
(3)X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．
(4)X＝2表示：甲抢到2题均答对．
(5)X＝3表示：甲抢到3题均答对．
16．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值；
(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型．
解析：(1)
X
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得Y＝5X＋6，
而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，
所以Y对应的各值是6,11,16,21.
故Y的可能取值为6,11,16,21，显然Y为离散型随机变量．
PAGE离散型随机变量的分布列
[A组 学业达标]
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A.
B.
C．1－
D.
解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－.
答案：C
2．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：号数至少有一个奇数有两种情况，而其对立事件则全为偶数，其概率为＝，故答案为1－＝.
答案：D
3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．
答案：A
4．某射手射击所得环数X的分布列为：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28
B．0.88
C．0.79
D．0.51
解析：P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案：C
5．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，则ξ的分布列为( )
A.
ξ
0
1
2
P
B.
ξ
1
2
3
P
C.
ξ
0
1
2
P
D.
ξ
0
1
2
P
解析：ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选的3人全是男生，则P(ξ＝0)＝＝，
“ξ＝1”表示入选的3人中恰有1名女生，
则P(ξ＝1)＝＝，
“ξ＝2”表示入选的3人中有2名女生，
则P(ξ＝2)＝＝.因此ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
答案：A
6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________.
解析：设不命中的概率为p，
则命中的概率为3p，p＋3p＝1，p＝.
P(X＝1)是1次投篮中命中的概率，
即投篮命中率P(X＝1)＝.
答案：
7．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝________.
解析：根据题意，得＝，解得a＝2或a＝8.
答案：2或8
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
解析：设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：
9．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．
解析：由题知随机变量ξ
表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
10.某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10,15,25名学生代表进行调研．
(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；
(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的分布列．
解析：(1)共50名学生代表，抽取2名的基本事件总数为C＝1
225.
记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的基本事件个数为CC＋CC＋CC＝775.
根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝＝.
(2)高一、高二年级分别有10,15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
[B组 能力提升]
11．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则以为概率的事件是( )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：P(都不是一等品)＝＝，
P(恰有一件一等品)＝＝，
P(至少有一件一等品)＝1－＝，
P(至多有一件一等品)＝1－＝.
答案：D
12．从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到有奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：“X＝3”表示“前2次未抽到有奖彩票，第3次抽到有奖彩票”，故P(X＝3)＝＝＝，选D.
答案：D
13．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，若P(1≤X＜a)＝，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝，
又∵P(1≤x＜a)＝，
∴3＜a≤4.
答案：3＜a≤4
14．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤X≤x2)＝________.
解析：∵P(X≤x2)＝1－β，∴P(X＞x2)＝β.
∵P(X≥x1)＝1－α，∴P(X＜x1)＝α.∴P(x1≤X1≤x2)＝1－P(X＜x1)－P(X＞x2)＝1－α－β.
答案：1－α－β
15．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
0＜x≤1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
x＞2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
解析：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为：
X1
1
2
3
P
X2的分布列为：
X2
1.8
2.9
P
PAGE离散型随机变量的分布列
[A组 学业达标]
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,3，则a的值为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：由分布列的性质，得
a＝1，∴a＝.
答案：C
2．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围是( )
A．x≤1
B．1≤x≤2
C．1＜x≤2
D．1≤x＜2
解析：∵P(η＜x)＝0.8＝P(x＝－2)＋P(x＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)
∴1＜x≤2.故选C.
答案：C
3．若随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由分布列中概率之和为1得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝1得a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.故选D.
答案：D
4．已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的是( )
A．P(X＜2)＝0.7
B．P(X≥2)＝0.6
C．P(X≥3)＝0.3
D．P(X≤1)＝0.2
解析：由随机变量分布列的性质得，
0．1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，
∴a＝0.1，
P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故A错误．
P(X≥2)＝1－P(X＜2)＝1－0.3＝0.7，故B错误．
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C正确．
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D错误．故选C.
答案：C
5．一袋中装5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A.
ξ
1
2
3
P
B.
ξ
1
2
3
4
P
C.
ξ
1
2
3
P
D.
ξ
1
2
3
P
解析：随机变量ξ的可能值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
答案：C
6．设随机变量ξ等可能取值1,2,3,4，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n的值为________．
解析：由已知条件，知P(ξ＝i)＝(i＝1,2，…，n)，
所以P(ξ＜4)＝×3＝0.3，得n＝10.
答案：10
7．设离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，则P＝________.
解析：P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
答案：
8．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是________．
解析：设取出的白球个数为离散型随机变量X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝＝.故至少有2个白球的概率为.
答案：
9．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
解析：由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)．
则P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P
10.设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝|X－2|，求P(Y＝2)的值．
解析：由分布列的性质，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
[B组 能力提升]
11．若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为( )
X
－1
1
P
4a－1
3a2＋a
A.
B．－2
C.或－2
D.
解析：由分布列的性质，得
解得a＝.
答案：A
12．有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝那么P(0)的值是( )
A．0
B．1
C.
D.
解析：由题意得P(1)＝P(0)，P(2)＝P(0)，P(3)＝P(0)，P(4)＝P(0)，P(5)＝P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝P(0)＝P(0)，所以P(0)＝.
答案：C
13．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
解析：设二级品有k个，
则一级品有2k个，三级品有个，
总数为个，
∴分布列为：
ξ
1
2
3
P
∴P＝P(ξ＝1)＝.
答案：
14．将3个不同的小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________．
解析：由题意知X＝1,2,3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
答案：
X
1
2
3
P
15.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
解析：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
4
9
P
16.将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列．
解析：第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5.
则P(X＝－5)＝，P(X＝－4)＝＝，…，
P(X＝5)＝.
故X的分布列为：
X
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
P
PAGE条件概率
[A组 学业达标]
1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝＝＝.
答案：D
2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可知，n(B)＝C22＝12，
n(AB)＝A＝6.
∴P(A|B)＝＝＝.
答案：C
3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，得所求概率为＝0.8.
答案：A
4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意事件A包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A发生的条件下，事件B包含的基本事件是(1,3)，(3,1)共2个，所以P(B|A)＝.
答案：C
5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.
答案：B
6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X，则X≤6的概率为________．
解析：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“X≤6”，
则P(A)＝＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.
答案：
7．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活动25岁的概率是________．
解析：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
而所求概率为P(B|A)，由于B?A，故P(AB)＝P(B)，
于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
答案：0.5
8．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.
(1)求白球的个数；
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解析：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个．
则P(A)＝1－＝，解得x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.
9．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
解析：抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝＝.
由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4＞8,4＋6＝6＋4＝5＋5＞8,5＋6＝6＋5＞8,6＋6＞8.
所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，
所以P(B)＝＝.
事件AB的基本事件数为6.
故P(AB)＝＝.
由条件概率公式得：
(1)P(B|A)＝＝＝.
(2)P(A|B)＝＝＝.
[B组 能力提升]
10．将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为P(A|B)＝，
P(AB)＝＝＝，
P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝.
所以P(A|B)＝＝＝.
答案：A
11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)．而P(AB)＝＝，P(B)＝＝.∴P(A|B)＝＝.
答案：D
12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．
解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
所以P(B|A)＝＝.
答案：
13．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．
解析：设第一支取好晶体管为事件A，第二支取好晶体管为事件B，则
P(A)＝＝，
P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝，
则P(B|A)＝＝.
答案：
14．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为
n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是
P(AB)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
15．三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．
解析：设事件A＝{任取的三个数中有a22}，
事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C＝28，n(A)＝2，故P(|A)＝＝＝，则P(B|A)＝1－P(|A)＝1－＝.
即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为.
PAGE事件的相互独立性
[A组 学业达标]
1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2
B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2
D．1－(1－p1)(1－p2)
解析：恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决，甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
答案：B
2．下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”
D．A表示“一个灯泡能用1
000小时”，B表示“一个灯泡能用2
000小时”
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．
答案：A
3．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A、事件B，则P＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.
答案：B
5．甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中恰有一人答对的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：第一种：甲答对，乙答错，此时概率为×＝；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为×＝.综上，两人中恰有一人答对的概率为＋＝.
答案：A
6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
解析：加工出来的零件的正品率是××(1－)＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
答案：
8.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为________．
解析：设P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7，则P()＝0.1，P()＝0.2，P()＝0.3，故该系统的可靠性为1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：0.994
9．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件BC＋AC＋AB，
故概率为P＝××＋××＋××＝.
10．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
[B组 能力提升]
11.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：按A→B→C→A的顺序的概率为××＝，按A→C→B→A的顺序的概率为××＝，故跳三次之后停在A叶上的概率为P＝＋＝.
答案：A
12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P()P()[1－P(AB)]＝××＝，∴灯亮的概率为1－＝.
答案：C
13．国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
解析：设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P(
)＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝.
答案：
14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：①P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝×＋×＋×＝，①不正确，⑤不正确；②P(B|A1)＝＝，正确；③事件B与事件A1有关系，故不正确；④A1，A2，A3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．
答案：②④
15．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
解析：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
(1)法一：该选手被淘汰的概率：
P＝P(1∪A12∪A1A23∪A1A2A34)
＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)法一：P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
法二：P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.
16．某示范性高中的校长推荐甲，乙，丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A，B，C是相互独立事件，事件
与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P(
)＝1－××＝.
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P(
)＝××＝，
P(ξ＝40)＝P(A
)＋P(B
)＋P(
C)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，.
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝××＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
30
40
50
60
P
PAGE独立重复试验与二项分布
[A组 学业达标]
1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C2×＝.
答案：B
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )
A．C2×
B．C2×
C.2×
D.2×
解析：P(X＝3)＝2×.
答案：C
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1]
B．(0,0.4]
C．(0,0.6]
D．[0.6,1]
解析：由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.
答案：A
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C2××＝.
答案：A
5．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以η～B，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－4－C3＝.
答案：B
6．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.
解析：当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k＝20C，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．
答案：10
7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，
所求概率P＝C42＋C51＋C60＝.
答案：
8．下列说法正确的是________．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
9．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.用X表示乙投篮3次的进球数，求随机变量X的分布列．
解析：随机变量X的可能值为0,1,2,3，则P(X＝k)＝Ck×3－k(k＝0,1,2,3)．X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
10.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率．
(2)用X表示该地的5位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的分布列．
解析：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，由已知得X～B(5,0.2)，
所以P(X＝k)＝C0.2k0.85－k(k＝0,1,2,3,4,5)，分布列如表：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.85
0.84
C0.22×0.83
C0.23×0.82
C0.24×0.81
0.25
[B组 能力提升]
11．若随机变量X～B，则P(X＝2)＝( )
A.2×3
B.2×3
C．C2×3
D．C2×3
解析：∵随机变量X～B
，
∴P(X＝2)＝C2×3.
答案：D
12．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝.
答案：A
13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球4次的概率为C42；
③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是________．
解析：①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；
②每次任取一球，取到红球次数X～B，
所以P(X＝4)＝C42，故②正确；
③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝，故③错；
④每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－3＝，故④正确．
答案：①②④
14．张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．
解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－4＝.
答案：
15．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
解析：(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝2＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
16.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率．
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
解析：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，知X＝0,1,2,3,4，设Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，则
P(A0)＝C×0×4＝，
P(A1)＝C××3＝，
P(A2)＝C×2×2＝，
P(A3)＝C×3×＝，
P(A4)＝C×4×0＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
PAGE离散型随机变量的均值
[A组 学业达标]
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
解析：∵E(X)＝16，∴40p＝16，
∴p＝0.4.故选D.
答案：D
2．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于( )
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2
B．0.1
C．－0.2
D．－0.4
解析：由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.
又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，
解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：C
3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是( )
A．0.2
B．0.8
C．1
D．0
解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
答案：B
4．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p)
B．np
C．n
D．p(1－p)
解析：依题意知，用电单位个数X～B(n，p)，
∴E(X)＝np.
答案：B
5．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( )
A．2
B.
C.
D.
解析：由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：D
6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．
解析：X的可能取值为3,2,1,0.
P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(X＝0)＝0.43＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
答案：2.376
7．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，
则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.
答案：48
8．设随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
2
P
1－
则ξ的数学期望的最小值是________．
解析：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝2－p，
又因为1＞≥0,1≥1－≥0，所以0≤p≤.
所以当p＝时，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－＝.
答案：
9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池．
解析：(1)由题意知，X取值为1,2,3.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
10．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定有人先胜三局比赛结束，则求比赛局数X的均值．
解析：由题意可知，X的所有可能取值是3,4,5.
P(X＝3)＝C×3＋C×3＝，
P(X＝4)＝C×2××＋C2××＝，
P(X＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝.
所以X的分布列为：
X
3
4
5
P
从而，E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
[B组 能力提升]
11．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数为X，则E(2X＋1)等于( )
A.
B.
C．3
D.
解析：由题可知，X服从二项分布，即X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.
答案：D
12．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．2
解析：设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为X，则X取值0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，解得x＝3.
答案：A
13．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析：由题意可知，不发芽的种子数记为Y服从二项分布，即Y～B(1
000,0.1)，
所以E(Y)＝1
000×0.1＝100，所以X的数学期望E(X)＝2×E(Y)＝200.
答案：200
14．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，
所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
答案：706
15．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的概率．
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．
解析：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，因此X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望是
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
16．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得－1分，若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和均值E(X)．
解析：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)根据题意，知全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的可能取值为0，－1,1，因此
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列为：
X
0
－1
1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
PAGE离散型随机变量的方差
[A组 学业达标]
1．下面说法中正确的是( )
A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差D(ξ)反映了取值的概率的平均值
解析：由E(ξ)与D(ξ)的意义知选C.
答案：C
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于( )
A．6
B．9
C．3
D．4
解析：由题意得E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.
答案：A
3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知有解得n＝8，p＝0.2.
答案：A
4．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D(X)等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：X取0,1,2，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，所以E(X)＝，D(X)＝.
答案：A
5．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p在(0,1)内增大时，( )
A．D(ξ)减小
B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大
D．D(ξ)先增大后减小
解析：由分布列可知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，所以方差D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝－p2＋p＋，所以D(ξ)是关于p的二次函数，开口向下，所以D(ξ)先增大后减小．
答案：D
6．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.
解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.
答案：1
7．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
解析：∵＝8，
∴＝＝2＝16.
答案：16
8．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.
解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
答案：0.4 0.1 0.5
9．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，求D(ξ)的值．
解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率．
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差．
解析：(1)P＝×＋×＝.
(2)P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝.P(ξ＝2)＝×＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，所以＝.
[B组 能力提升]
11．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7
B．1.7和0.09
C．0.3和0.7
D．1.7和0.21
解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.
答案：D
12．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于( )
A．0
B．1
C．4
D．2
解析：由分布列的性质，得a＋＝1，a＝.
∵E(X)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.
∴n＝2时，D(X)取最小值0.
答案：A
13．已知某随机变量X的分布列如表(p，q∈R)：
X
1
－1
P
p
q
且X的数学期望E(X)＝，那么X的方差D(X)＝________.
解析：根据题意可得解得p＝，q＝，故X的方差D(X)＝2×＋2×＝.
答案：
14．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
解析：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
PAGE正态分布
[A组 学业达标]
1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A．P1＝P2
B．P1＜P2
C．P1＞P2
D．不确定
解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
答案：A
2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.
答案：A
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
解析：P(3＜ξ＜6)＝[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.
答案：B
4．随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，若P(2＜ξ＜3)＝a，则P(ξ＜－1)＋P(1＜ξ＜2)＝( )
A.
B.－a
C．a＋0.003a
D.＋a
解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，所以正态曲线关于x＝1对称，因为P(2＜ξ＜3)＝a，所以P(－1＜ξ＜0)＝a，P(1＜ξ＜2)＝P(0＜ξ＜1)，P(ξ＜－1)＋P(1＜ξ＜2)＝－a.
答案：B
5．已知X～N(0,1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )
A．0.954
B．0.046
C．0.977
D．0.023
解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x＝0，
所以P(X＜－2)＝0.5－P(－2≤X≤2)＝0.5－＝0.022
8.故选D.
答案：D
6．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________.
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝μ＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4.
P(10≤ξ≤11)＝0.2，∵P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
7．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________.
解析：因为ξ～N(μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x＝μ对称，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，从而μ＝＝2，即μ的值为2.
答案：2
8．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)＝________.
解析：由图可以看出P(550＜ξ＜600)＝P(400＜ξ＜450)＝0.3.
答案：0.3
9．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72＜X≤88)＝0.682
6.
(1)求参数μ，σ的值．
(2)求P(64＜X≤72)．
解析：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72＜x≤88)＝0.682
6.
结合P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，可知σ＝8.
(2)因为P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(64＜X≤96)＝0.954
4.
又因为P(X≤64)＝P(X＞96)，所以P(X≤64)＝(1－0.954
4)＝×0.045
5＝0.022
8.
所以P(X＞64)＝0.977
2.
又P(X≤72)＝[1－P(72＜X≤88)]＝×(1－0.682
6)＝0.158
7，所以P(X＞72)＝0.841
3，P(64＜X≤72)＝P(X＞64)－P(X＞72)＝0.135
9.
10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2
000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
解析：因为ξ～N(90,100)，
所以μ＝90，σ＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954
4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是0.954
4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682
6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682
6.一共有2
000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2
000×0.682
6≈1
365(人)．
[B组 能力提升]
11．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于( )
A．1
B．2
C．4
D．不能确定
解析：因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P(ξ＞4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
答案：C
12．已知随机变量X服从正态分布即X～N(μ，σ2)，且P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682
6，若随机变量X～N(5,1)，则P(X＞6)≈( )
A．0.341
3
B．0.317
4
C．0.158
7
D．0.158
6
解析：由题设P(4＜X≤6)≈0.682
6，所以由正态分布的对称性可得P(X≥6)＝[1－P(4＜X≤6)]≈(1－0.682
6)≈0.158
7.
答案：C
13.在如图所示的正方形中随机投掷10
000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954
4.
解析：X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682
6，
所以P(0≤X≤1)＝×0.682
6＝0.341
3，
故S≈0.341
3，所以落在阴影部分中点的个数x的估计值为＝，所以x＝10
000×0.341
3≈3
413.
答案：3
413
14．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X～N(100，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120分的学生约有________人．
解析：因为成绩X～N(100，a2)，所以其正态曲线关于直线x＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：×600＝120(人)．
答案：120
15．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？
解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N(8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3＜ξ≤8＋3)＝P(5＜ξ≤11)≈0.682
6.
所以P(ξ≤5)＝[1－P(5＜ξ≤11)]
≈(1－0.682
6)＝0.158
7.
所以P(ξ＞5)≈1－0.158
7＝0.841
3.
对于第二套方案ξ～N(3,22)，则μ＝3，σ＝2.
于是P(3－2＜ξ≤3＋2)＝P(1＜ξ≤5)≈0.682
6，
所以P(ξ＞5)＝[1－P(1＜ξ≤5)]
≈(1－0.682
6)＝0.158
7.
所以应选择第一套方案．
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