合情推理
[A组 学业达标]
1．下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
解析：合情推理得出的结论不一定正确，故A错误；合情推理必须有前提有结论，故B正确；合情推理中的类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错误；合情推理得出的结论可以判定正误，故D错误．
答案：B
2．观察：(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos
x)′＝－sin
x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于
( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
解析：通过观察可归纳推理出一般结论：若f(x)为偶函数，则导函数g(x)为奇函数．故选D.
答案：D
3．已知数列：1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则该数列的第
k(k∈N
)项为( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析：由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a为公比的等比数列的第k项(ak－1)开始的连续k项的和，故该数列的第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
答案：D
4．我们知道，在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x＋2y＋3z＋3＝0的距离为( )
A．3
B．5
C.
D．3
解析：类比点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，可知在空间中，点(2,4,1)到平面x＋2y＋3x＋3＝0的距离为＝.
答案：C
5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数构成的数列5,9,14,20，…为“梯形数列”，记为数列{an}．根据“梯形”的构成，可知a624＝( )
A．166
247
B．196
248
C．196
249
D．196
250
解析：观察图形可知a1＝5，a2＝9，a3＝14，
则an－an－1＝n＋2(n≥2，n∈N
)，
由累加法得an－a1＝4＋5＋6＋…＋n＋2，
则an＝，n≥2.
故a624＝＝625×314＝196
250.
答案：D
6．观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
归此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
解析：根据已知，归纳可得结果．
答案：n(n＋1)
7．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2，五棱锥中6＋6－10＝2，立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
8.将全体正整数排成一个三角形数阵(如图所示：)
按照以上排列的规律，第n(n≥3，n∈N
)行从左向右的第3个数为________．
解析：前(n－1)行共有正整数的个数为1＋2＋…＋(n－1)＝，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即.
答案：
9．利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示．
解析：平面向量的坐标表示：若i，j分别为平面直角坐标系中x轴、y轴正半轴上的单位向量，a＝xi＋yi，则a＝(x，y)．
类比可得空间向量的坐标表示：若i，j，k分别为空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正半轴上的单位向量，b＝xi＋yj＋zk，则b＝(x，y，z)．
10．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N
，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．
解析：f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151，
由此猜想，n为任意正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是素数．
当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．
[B组 能力提升]
11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则
＝( )
A．3
B．
C．6
D．2
解析：令
＝m(m＞0)，两边平方，得3＋2＝m2，即3＋2m＝m2，解得m＝3(m＝－1舍去)．
答案：A
12．观察下列式子：
1＋＋＞1，
1＋＋＋…＋＞，
1＋＋＋…＋＞2，
……
则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为________．
解析：观察式子可得规律：
不等号的左侧是1＋＋＋…＋，共(2n＋1－1)项的和；不等号的右侧是(n∈N
)．
故猜想此类不等式的一般形式为1＋＋＋…＋＞(n∈N
)．
答案：1＋＋＋…＋＞(n∈N
)
13．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n(n∈N
)的过程：
因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，…，22－12＝2×1＋1，
以上各式相加得(n＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝＝.
类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n2＝________(n∈N
)．
解析：由(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…，23－13＝3×12＋3×1＋1，以上各式相加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，所以12＋22＋32＋…＋n2＝.
答案：
14．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin
·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.
答案：
15．根据数列{an}：2,5,9,19,37,75……的前六项找出规律，猜想a7的值．
解析：后项加前项，观察
原数列{an}
2
5
9
19
37
75
a7
后项加前项得数列{bn}
2＋5＝7
5＋9＝14
9＋19＝28
19＋37＝56
37＋75＝112
猜测b6＝224
计算1：由{bn}的前五项为7,14,28,56,112猜测可知，{bn}是首项为7、公比为2的等比数列，则b6＝112×2＝224，即a6＋a7＝224，得a7＝224－a6＝224－75＝149.
计算2：由{bn}的前五项为7,14,28,56,112猜测可知，{bn}是首项为7、公比为2的等比数列，则an＋1＋an＋2＝2(an＋an＋1)，即an＋2＝an＋1＋2an，得a7＝a6＋2a5＝75＋37×2＝149.
16．若a1，a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？若能，请你至少写出两个不同类型的推广．
解析：能．类型一：
≥2，
≥2，
……
≥2.
类型二：
≥3，
≥4，
……
≥n.
类型三：
≥3，
……
≥n.
上述a1，a2，…，an∈R＋，n∈N
.
PAGE演绎推理
[A组 学业达标]
1．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是( )
A．矩形都是四边形
B．四边形的对角线都相等
C．矩形都是对角线相等的四边形
D．对角线都相等的四边形是矩形
解析：该推理是省略了大前提的演绎推理，用“三段论”形式推导一个结论是否成立时，大前提是结论成立的依据．因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形都是对角线相等的四边形．
答案：C
2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了“三段论”，但大前提错误
B．使用了“三段论”，但小前提错误
C．使用了归纳推理
D．使用了类比推理
解析：大前提是全称命题，而小前提是特称命题．因此命题的推理过程是“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式．有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误．
答案：A
3．设n∈N
，则＝( )
解析：因为所以
答案：A
4．下列推理是演绎推理的是( )
A．由a1＝1，an＋1＝，因为a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，故有an＝(n∈N
)
B．科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜艇
C．妲己惑纣王，商灭；西施迷吴王，吴灭；杨贵妃迷唐玄宗，致安史之乱，故曰：“红颜祸水也．”
D．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中，刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”
解析：A，C中的推理均是从特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；B中，科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜艇，是由特殊到特殊的推理，是类比推理，属于合情推理；D为“三段论”形式，是从一般到特殊的推理，是一个复合“三段论”，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用多次“三段论”，属于演绎推理．
答案：D
5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141
59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A．d≈
B．d≈
C．d≈
D．d≈
解析：由V＝π3，解得d＝ ，①
①代入选项A得π≈＝3.1；①代入选项B得π≈＝3；①代入选项C得π≈＝3.2；①代入选项D得π≈≈3.142
857.由于选项D中的值最接近π的真实值，故选D.
答案：D
6．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________________________________________________________________________．
解析：根据演绎推理求函数y＝的定义域时，若大前提是有意义时a≥0，小前提是有意义，可知：结论应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
7．已知在三边不等的三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，若想得到A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足的条件是a2________b2＋c2.(填“＞”“＜”“＝”)
解析：不等边△ABC中，若∠A为钝角，则由余弦定理可得cos
A＝＜0，
∴b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.
答案：＞
8．讨论函数g(x)＝－＋2x的单调性．
解析：对函数g(x)求导得g′(x)＝－x2＋2，如果f′(x)在指定区间上为正，那么f(x)在该区间上为增函数；如果f′(x)在指定区间上为负，那么f(x)在该区间上为减函数，……大前提
当x∈(－，)时，g′(x)＞0；当x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，………………………小前提
所以g(x)在(－，)上为增函数，在(－∞，－)，(，＋∞)上为减函数．……………………
9．已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明：因为三角形的中位线平行于底边，……………………大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，……………………小前提
所以EF∥BD.
……………………结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，……………………大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，……………………小前提
所以EF∥平面BCD.
……………………结论
[B组 能力提升]
10．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：我没有获奖，丙获奖了；
丙：甲、丁中有且只有一个获奖；
丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是( )
A．甲、乙
B．乙、丁
C．甲、丙
D．丙、丁
解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖．
答案：B
11．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A，D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒职一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.
答案：B
12．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为?，则实数a的取值范围为________．
解析：∵不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为?.
∴a＝0时，2＜0满足题意；
当a≠0时，即解得0＜a≤2.
综上，a的取值范围是0≤a≤2.
答案：[0,2]
13．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________．
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．
解析：(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部的格点有1个，边界上的格点有6个，S四边形DEFG＝3.故所求的S＝3，N＝1，L＝6.
(2)由待定系数法，可得
解得当N＝71，L＝18时，
S＝1×71＋×18－1＝79.
答案：(1)3,1,6 (2)79
14．如图，在△ABC中，若CE是∠ACB的平分线，则＝，其证明过程为：
作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F，因为CE是∠ACB的平分线，所以EG＝EH.
又＝·＝，＝＝，所以＝.
(1)把上面的结论推广到空间中：在四面体ABCD中(如图)，平面CDE是二面角A?CD?B的角平分面，类比三角形的结论，写出得到的相应空间中的结论；
(2)证明(1)中得出的结论．
解析：(1)结论：＝或＝或＝.
(2)证明：设点E到平面ACD，平面BCD的距离分别是h1，h2，则由平面CDE平分二面角A?CD?B，知h1＝h2.
又＝＝，＝＝＝，所以＝，＝.
同理可证＝，问题得证．
15．观察52－1＝24,72－1＝48,112－1＝120,132－1＝168，….
继续试验下去，你能作出什么猜想？能证明你的猜想吗？试试看．
解析：继续试验下去可得172－1＝288＝12×24,192－1＝360＝15×24,232－1＝528＝22×24，…
猜想：不小于5的质数的平方与1的差是24的倍数．
为此，我们考虑自然数除以6的剩余类，即自然数N
除以6，按余数不同，有以下6类：
6k,6k＋1,6k＋2,6k＋3,6k＋4,6k＋5(k∈N
)．
显然，其中6k,6k＋2,6k＋3,6k＋4均为合数，而6k＋5又可以表示为6k－1，因此，不小于5的质数可以用6k±1来表示．
因为(6k±1)2－1＝36k2±12k＝24k2＋12k(k±1)，
由于k与k±1为连续的自然数，其中必有一个是偶数，
所以12k(k±1)必是24的倍数，
故(6k±1)2－1必是24的倍数．猜想成立.
PAGE综合法和分析法
[A组 学业达标]
1．若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y≥－2，则( )
A．x＞0，y＞0
B．x＜0，y＜0
C．x＞0，y＜0
D．x＜0，y＞0
解析：本题主要考查不等式．
因为xy＞1，所以x，y同号．当x＜0，y＜0时，由xy＞1，得x＜，所以x＋y＜y＋，由于y＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－y＝－，即y＝－1时取等号，所以x＋y＜－2，这与x＋y≥－2矛盾，故x＜0，y＜0不成立；当x＞0，y＞0，显然满足x＋y≥－2.
答案：A
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)＋b2(1－a2)＝(a2－1)(1－b2)．故选D.
答案：D
3．A，B为△ABC的内角，A＞B是sin
A＞sin
B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查综合法．
充分性：由三角形中“大边对大角”，当A＞B时，a＞b；又因为a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，所以sin
A＞sin
B，故充分性成立；
必要性：由正弦定理可知，＝，当sin
A＞sin
B时，a＞b，所以A＞B，故必要性成立．
综上A＞B是sin
A＞sin
B的充分必要条件．
答案：C
4．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则( )
A．1＜ab＜
B．ab＜1＜
C．ab＜＜1
D.＜ab＜1
解析：∵ab≤2，a≠b，a＋b＝2，∴ab＜1，
∴
＞＞1，∴＞1，∴ab＜1＜.
答案：B
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值
B．恒等于零
C．恒为正值
D．无法确定正负
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，则函数f(x)在R上单调递减，若x1＋x2＞0，则x1＞－x2，∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，
∴f(x1)＋f(x2)＜0.故选A.
答案：A
6．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
解析：b＝－＜c＝－?＋＜＋?(＋)2＜(＋)2?9＋2＜9＋2?14＜18，成立，故b＜c.又a－c＝2－＝－＞0，∴a＞c.综上知，a＞c＞b.
答案：a＞c＞b
7．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x
ln
x求导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时f′(x)＝－ln
x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________．(选填“综合法”或“分析法”)
解析：根据综合法的定义，综合法是指在推理的过程中，一环扣一环，始终是从已知推导出结论，最后得出所要证明的结论成立；分析法是指在推理的过程中，从结论入手，探索结论成立的充分条件，所以证明方法是应用了综合法．
答案：综合法
8.如图，在直四棱柱A1B1C1D1?ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)
解析：∵四棱柱A1B1C1D1?ABCD是直四棱柱，
∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，
则B1D1⊥平面A1ACC1，
∴B1D1⊥AC，
又由B1D1∥BD，则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1.
答案：BD⊥AC(答案不唯一)
9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：因为A、B、C成等差数列，所以有2B＝A＋C，因为A＋B＋C＝π，所以有2B＝π－B，解得B＝.因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac，由余弦定理可知：b2＝a2＋c2－2accos
B＝ac，因此(a－c)2＝0，解得a＝c，因为B＝，所以△ABC为等边三角形．
10．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.(要求用两种方法证明)
证明：法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)·＝≥0，所以＋≥＋.
法二：(分析法)要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b
，即证(a－b)(－)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
[B组 能力提升]
11．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
解析：设f(x)＝，其导数f′(x)＝，当1－ln
x＞0，即0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单增；当1－ln
x＜0，即x＞e时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单减；
因为5＞4＞3＞e，所以f(5)＜f(4)＜f(3)，即c＜b＜a.故选B.
答案：B
12．命题“若x＞y，则(x－y)(x3＋y3)＝(x2－y2)(x2－xy＋y2)”的证明过程：要证明(x－y)(x3＋y3)＝(x2－y2)(x2－xy＋y2)，即证(x－y)(x3＋y3)＝(x－y)(x＋y)(x2－xy＋y2)．因为x＞y，即证x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)，
即证x3＋y3＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3，
即证x3＋y3＝x3＋y3，
则上述证明过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．演绎法
解析：分析法是执果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…结合证明过程，证明过程应用了分析法．
答案：A
13．如果a＋b＞a＞b，则a，b应满足的条件是________．
解析：因为a＋b＞a＋b移向得a＋b－a－b＞0?(a＋b－2)(＋)＞0，即要满足(－)2(＋)＞0，可以看出式子左边是大于等于0的，故要排除等于0的情况．因为a，b求平方根，则必有a≥0，b≥0，若a＝b则有(－)2(＋)＝0矛盾，故a≠b.
答案：a≥0，b≥0，且a≠b
14．设a＞0，b＞0，则lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：(1＋a)(1＋b)－(1＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以lg(1＋a)(1＋b)≥lg(1＋)2，即[lg(a＋1)＋lg(1＋b)]≥lg(1＋)．
答案：≤
15．设a，b，c∈R，求证：＋＋≤1.
证明：要证原不等式成立，
只需证＋≤，
只需证≤，
即证(b＋c＋2bc＋abc＋bc2)(1＋a＋ab)≤(1＋ab)(1＋b＋bc)(1＋c＋ac)，
即证2abc≤1＋a2b2c2，即证(abc－1)2≥0.
显然此不等式成立，故原不等式得证．
16．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解析：(1)设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两根，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－2，则·＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上，设圆心E(x0，y0)，则x0＝＝－，由|EA|＝|EC|得2＋y＝2＋(y0－1)2，化简得y0＝＝－，所以圆E的方程为2＋2＝2＋2.
令x＝0得y1＝1，y2＝－2，所以过A，B，C三点的圆在
轴上截得的弦长为1－(－2)＝3，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
PAGE反证法
[A组 学业达标]
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是：
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
其中正确的为( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③④
解析：本题直接考查反证法的定义．
答案：D
2．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为( )
A．①②③
B．③①②
C．①③②
D．②③①
解析：根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序为③①②.
答案：B
3．用反证法证明命题：“已知a、b∈N
，如果ab可被5整除，那么a、b中至少一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a、b都能被5整除
B．a、b都不能被5整除
C．a、b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：本题主要考查命题的否定与间接证明．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．命题：“a、b中至少一个能被5整除”的否定是：“a、b都不能被5整除．故答案为a、b都不能被5整除．
答案：B
4．(1)已知p2＋q2＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A．(1)的假设正确，(2)的假设错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设错误，(2)的假设正确
D．(1)与(2)的假设都错误
解析：(1)用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p＋q≤2的假命题应为p＋q＞2.故(1)错误；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，根据反证法的定义，可假设|x1|≥1，故(2)正确；所以C选项是正确的．
答案：C
5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都在于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2，即三式相加得a＋＋b＋＋c＋＜6.
由基本不等式知a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案：C
6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．
解析：“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．
答案：x＝a或x＝b
7．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件可以判断偷珠宝的人是________．
解析：假设是甲偷了珠宝，则甲“我没有偷”为假，丁“我没有偷”为真，丙“丁是小偷”为假，乙“丙是小偷”为假，符合题目条件“四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝”，故假设正确．
答案：甲
8．求证方程sin
x＋c＝x只有唯一解．
证明：假设方程至少有x1，x2(x1≠x2)两个解．
则
①－②得sin
x1－sin
x2＝x1－x2，
2cos
sin
＝x1－x2，
∴·＝.③
又由x1≠x2，可知＜，
≤1，
∴＜，④
③与④矛盾．
∴sin
x＋c＝x只有唯一解．
[B组 能力提升]
9．若下列关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0(a为常数)，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是( )
A.
B.∪[－1，＋∞)
C．(－2,0)
D.∪[0，＋∞)
解析：不妨假设三个方程都没有实数根，则有，解得－＜a＜－1，
故三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a≤－或a≥－1，所以B选项是正确的．
答案：B
10．学生的语文，数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”，若学生甲的语文，数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙的成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多人数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：当有4名学生时，他们的语文成绩肯定有两个人相同，设为甲、乙两位同学，当这两位同学的数学成绩不同时，假设甲同学成绩高于乙同学成绩，则甲同学成绩比乙同学成绩好，不符合题意；当这两位同学的数学成绩相同时，不符合题目要求．所以学生人数不能多于3个．当有3名同学时，可以找出符合题意的情况，如下：甲同学语文成绩优秀，数学成绩不合格；乙同学语文成绩合格，数学成绩合格；丙同学语文成绩不合格，数学成绩优秀，所以满足条件的最多有3个学生．
答案：B
11．若a，b，c，d都是有理数，，都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为________．
解析：假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，于是b＋m＋＝b＋，所以m＋＝，两边平方整理得＝.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a＝b，从而c＝d.
答案：a＝b，c＝d
12．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.
求证：|f(x1)－f(x2)|＜.那么他的反设应该是________．
解析：根据反证法证明的步骤，
首先反设，反设是否定原命题的结论．
故答案为?x1，x2∈[0,1]，当f(x1)－f(x2)＜|x1－x2|时，有|f(x1)－f(x2)|≥.
答案：?x1，x2∈[0,1]，当f(x1)－f(x2)＜|x1－x2|时，有|f(x1)－f(x2)|≥
13．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．
证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2?α，B1B2?α，即a?α，b?α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．因此A1B1与A2B2也是异面直线.
PAGE推理与证明
2.3
数学归纳法
[A组 学业达标]
1.
设f(k)＝＋＋＋…＋(k∈N
)，则f(k＋1)可表示为( )
A．f(k)＋
B．f(k)＋＋
C．f(k)＋－
D．f(k)－＋
解析：∵f(k)＝＋＋＋…＋(k∈N
)，
∴f(k＋1)＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋＋…＋＋－＝f(k)＋－.所以C选项正确．
答案：C
2．用数学归纳法证明“n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N
”
时，
从n＝k到n＝k＋1等式左边应增减的式子是( )
A．＋8k
B．＋(3k＋1)
C．＋(3k－1)
D．＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)
解析：当n＝k(k∈N)时，等式成立．即k＋(k＋1)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2①
当n＝k＋1时，
要证明成立的等式是：
(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝[2(k＋1)－1]2②
比较①、②的左边，
从n＝k到n＝k＋1,
增减的式子是：(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝8k，应选A.
答案：A
3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≤n时，从n＝k到n＝k＋1不等式左边增添的项数是( )
A．k
B．2k－1
C．2k
D．2k＋1
解析：当n＝k时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k－1项；当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k＋1－1项，所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k.
答案：C
4．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝，依次计算a2，a3，a4可猜得an的表达式为( )
A.
B．
C.
D.
解析：∵数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝，a4＝，…，由于分子均为2，分母是一个以1为首项，以6为公差的等差数列，故可推断an＝，所以B选项是正确的．
答案：B
5．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1(n∈N)能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．
解析：根据数学归纳法的证明方法，化简34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1为34n＋2＋52n＋1的倍数加常数(n∈N)的形式即可.34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34(34k＋2＋52k＋1)－56·52k＋1.
答案：34(34k＋2＋52k＋1)－56·52k＋1
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝________.
解析：a1＝1＝，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝，…，故猜想an＝.
答案：
7．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
证明：(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N
)时命题成立，
即f(k)＝k(k－3)．
那么当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加(k－1)条，则f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥4，n∈N
都成立．
8．用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N
)．
证明：①当n＝1时，x2－y2＝(x－y)(x＋y)能被x＋y整除，结论显然成立．
②假设当n＝k时结论成立，即x2k－y2k能被x＋y整除．
则当n＝k＋1时，
x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－y2y2k
＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋(x2－y2)y2k
∴x2(k＋1)－y2(k＋1)也能被x＋y整除．
故当n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知，对于任意的n∈N
，x2n－y2n能被x＋y整除．
[B组 能力提升]
9．下列代数式(其中k∈N
)能被9整除的是( )
A．6＋6·7k
B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1)
D．3(2＋7k)
解析：(1)当k＝1时，A答案值为49，B答案值为3，C答案值为102，显然只有D答案3(2＋7k)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N
)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N
都成立．所以D选项是正确的．
答案：D
10．用数学归纳法证明“＋＋…＋＞－”的第二步：假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时应推证的目标不等式是________．
解析：假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式为＋＋…＋＋＞－.
答案：＋＋…＋＋＞－
11．已知函数f0(x)＝(a≠0，ac－bd≠0)．设fn(x)为fn－1(x)(n∈N
)的导函数．
(1)求f1(x)，f2(x)；
(2)猜想fn(x)的表达式，并证明你的结论．
解析：(1)f1(x)＝f′0(x)＝′＝，
f2(x)＝f′1(x)＝′＝.
(2)猜想fn(x)＝，
n∈N
.
证明：①当n＝1时，由(1)知结论成立；
②假设当n＝k，k∈N
时结论成立，
即有fk(x)＝.
当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝f′k(x)＝′
＝(－1)k－1·ak－1·(bc－ad)·k！[(ax＋b)－(k＋1)]′
＝，
所以当n＝k＋1时结论成立．
由①②得，fn(x)＝，
n∈N
.
12．已知数列{an}，{bn}满足：a1＝，2an＋1－an＝6·2n，bn＝an－2n＋1(n∈N
)．
(1)证明数列{bn}为等比数列．并求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N
都有≤，求实数m的最小值．
解析：(1)证明：由已知得2(an＋1－2n＋2)＝an－2n＋1，
∵bn＝an－2n＋1，∴2bn＋1＝bn，
∵a1＝，∴b1＝，
∴{bn}为等比数列．
所以bn＝n，
进而an＝2n＋1＋n.
(2)＝＝
＋1＝4·2n＋1，
则m≥(4·2n＋1)＝4＋对任意的n∈N
成立．
∵数列是递减数列，
∴max＝，∴m的最小值为.
PAGE
