第二章
平面向量
章末检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a与b不相等，则a与b( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不可能是单位向量
D．不可能都是0
2．已知O，A，M，B为平面上的四点，且＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
3．给出下列命题：①(a·b)·c＝a·(b·c)；②a·b＝0?a⊥b；③若a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0，其中正确的是( )
A．②③
B．①②
C．①②③
D．③④
4．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则等于( )
A．(8,1)
B．(－8,1)
C．(4，－)
D．(－4，)
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
6．已知|p|＝2，|q|＝3，〈p，q〉＝，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝( )
A.
B.
C．7
D．18
7．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
8．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A.
B.
C．5
D．25
9．已知a＝(，cos
α)，b＝(，sin
α)，a∥b,0≤α≤2π，则角α等于( )
A.
B.
C.或
D.或
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，点P是BC的中点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β等于( )
A.
B.
C.
D.
11．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为( )
A．±1
B．±
C．±
D．±2
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
14．在△ABC中，D、E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且＝4.若＝x＋y，则实数x＝________，实数y＝________.
15．已知向量c＝a－()·b，则向量a和c的夹角为________．
16．已知O为△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，如果＝x＋y，其中x，y满足x＋2y＝1且xy≠0，则cos∠BAC＝________.
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)及C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求及点D的坐标．
18．(12分)已知|a|＝1，|b|＝2.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求当k为何值时，(k
a－b)⊥(a＋2b)．
19．(12分)已知平面内三点A，B，C在一条直线上，
＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若⊥，求实数m，n的值．
20．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos
θ，t)，a∥.
(1)若||＝||，求向量的坐标；
(2)求y＝cos2θ－cos
θ＋t2的最小值．
21．(13分)已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？
22．(13分)已知向量a＝(2＋sin
x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin
x－3,1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值．
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值．
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
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平面向量
章末检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a与b不相等，则a与b( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不可能是单位向量
D．不可能都是0
解析：向量不相等有三种情形：即①方向相同，模不相等．②方向不同，模相等，③方向不同，模也不相等．因此A，B，C均不正确．
答案：D
2．已知O，A，M，B为平面上的四点，且＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
解析：＝－＝λ＋(1－λ)－＝λ－λ＝λ，∵λ∈(0,1)，∴点M在线段AB上．
答案：A
3．给出下列命题：①(a·b)·c＝a·(b·c)；②a·b＝0?a⊥b；③若a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0，其中正确的是( )
A．②③
B．①②
C．①②③
D．③④
解析：数量积为数，所以①错，a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b.
答案：A
4．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则等于( )
A．(8,1)
B．(－8,1)
C．(4，－)
D．(－4，)
解析：＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，
∴＝(－4，)．
答案：D
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，
∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．
又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.
∴x＝4.
答案：C
6．已知|p|＝2，|q|＝3，〈p，q〉＝，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝( )
A.
B.
C．7
D．18
解析：∵D为BC的中点，∴＝(＋)＝(5p＋2q＋p－3q)＝3p－q.
∵|p|＝2，|q|＝3，〈p，q〉＝，
∴||2＝9p2＋q2－3p·q＝，
∴||＝.故选A.
答案：A
7．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.又∵a∥b，∴可设b＝λa，则c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.
答案：D
8．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A.
B.
C．5
D．25
解析：∵a＝(2,1)，∴|a|＝.
又∵|a＋b|＝5，|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，
∴(5)2＝()2＋|b|2＋2×10，|b|2＝25，|b|＝5.
答案：C
9．已知a＝(，cos
α)，b＝(，sin
α)，a∥b,0≤α≤2π，则角α等于( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：∵a∥b，∴sin
α＝cos
α，∴tan
α＝.
又0≤α≤2π，∴α＝或α＝.
答案：D
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，点P是BC的中点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：建立如图所示的坐标系，
B(3,0)，D(0,1)，C(1,1)．
∵P为BC中点，∴P(2，)．
∵＝α＋β，
∴(2，)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，
∴3β＝2，α＝，∴α＋β＝.
答案：D
11．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为( )
A．±1
B．±
C．±
D．±2
解析：因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，故||＝||＝||＝，因为＋＝，所以(＋)2＝2，即2＋2·＋2＝2，即4＋4cos∠AOB＝2，故∠AOB＝120°，则圆心O到直线AB的距离d＝||＝＝，即|a|＝1，即a＝±1.
答案：A
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，向量λa＋b与向量c共线，∴＝，解得λ＝2.
答案：2
14．在△ABC中，D、E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且＝4.若＝x＋y，则实数x＝________，实数y＝________.
解析：由三角形图形知(图略)，＝(＋)＝(2＋4)＝＋2，
∴x＝2，y＝1.
答案：2 1
15．已知向量c＝a－()·b，则向量a和c的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ.由c＝a－()b，
得c＝a－()b＝a－()b.
∴a·c＝a2－()b·a＝a2－()·|a||b|cos
θ
＝a2－|a|2＝0.∴a与c的夹角为.
答案：
16．已知O为△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，如果＝x＋y，其中x，y满足x＋2y＝1且xy≠0，则cos∠BAC＝________.
解析：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
则AD＝AB，AE＝AC，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝2＝2，
·＝(＋)·＝·＋·＝2＝.
∵＝x＋y，
∴·＝x2＋y·＝4x＋6ycos∠BAC＝2，
·＝x·＋y2＝9y＋6xcos∠BAC＝.
∵x＋2y＝1且xy≠0，
∴x＝－，y＝，cos∠BAC＝.
答案：
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)及C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求及点D的坐标．
解析：设D(x，y)，如图．
又∵A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，
∴＝(x－2，y－1)，
＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵⊥，∴·＝0，
∴－6(x－2)－3(y－1)＝0，①
又∵B，D，C三点共线，
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0.②
解①②得
∴D(，)，∴＝(－2，－1)＝(－，)．
18．(12分)已知|a|＝1，|b|＝2.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求当k为何值时，(k
a－b)⊥(a＋2b)．
解析：(1)a·b＝±|a||b|＝±2.
(2)a·b＝|a|·|b|cos
60°＝1，
|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝7，
∴|a＋b|＝.
(3)若a－b与a垂直，则(a－b)·a＝0
∴a·b＝|a|2＝1.
使得(k
a－b)⊥(a＋2b)，只要(k
a－b)·(a＋2b)＝0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，
∴k＝3.
19．(12分)已知平面内三点A，B，C在一条直线上，
＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若⊥，求实数m，n的值．
解析：因为A，B，C三点共线，所以与共线．
设＝λ(λ∈R)，
又＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
所以＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2,1－m)，
所以(7，－1－m)＝λ(n＋2,1－m)，
故有得mn＋n－5m＋9＝0.①
又因为⊥，所以·＝－2n＋m＝0.②
①②联立得或
所以m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
20．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos
θ，t)，a∥.
(1)若||＝||，求向量的坐标；
(2)求y＝cos2θ－cos
θ＋t2的最小值．
解析：(1)∵＝(cos
θ－1，t)，a∥，
∴2t－cos
θ＋1＝0，
∴cos
θ－1＝2t.①
∵||＝||，
∴(cos
θ－1)2＋t2＝5.②
由①②，得t2＝1，∴t＝±1.
当t＝1时，cos
θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos
θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos
θ＋
＝cos2θ－cos
θ＋
＝(cos2θ－cos
θ)＋＝(cos
θ－)2－，
∴当cos
θ＝时，ymin＝－.
21．(13分)已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？
解析：由题意知，原题可转化为在△ABC内求一点P，使得AP2＋BP2＋CP2最小．
设＝a，＝b，＝t，
则＝－＝t－a，＝－＝t－b
2＋2＋2＝t2＋(t－a)2＋(t－b)2
＝3(t－)2＋(a2＋b2)－a·b
＝t＝
即P为△ABC的重心时，AP2＋BP2＋CP2最小．
所以当蚂蚁爬到这个三角形区域的重心位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小．
22．(13分)已知向量a＝(2＋sin
x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin
x－3,1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值．
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值．
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵b＋c＝(sin
x－1，－1)，a∥(b＋c)，
∴－(2＋sin
x)＝sin
x－1，即sin
x＝－.
又x∈[－，]，∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sin
x,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin
x)－2＝2sin
x＋2.
∵x∈R，∴－1≤sin
x≤1，
∴0≤f(x)≤4，∴f(x)的最小值为0.
(3)∵a＋d＝(3＋sin
x,1＋k)，b＋c＝(sin
x－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sin
x)(sin
x－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin2x＋2sin
x－4＝(sin
x＋1)2－5，
由sin
x∈[－1,1]，得k∈[－5，－1]，
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
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