章末测试卷(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某次数学考试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四人谈论成绩情况．甲说：“我们四个人的分数都不一样，但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和”，乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，丙说：“我的分数不是最高的”，丁说：“我的分数不是最低的”，则四人中成绩最高的是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：∵乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，丙说：“我的分数不是最高的”，∴成绩最高的只能是甲或丁中的一个人，∵甲和乙两人的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和，丙、丁两人中一人分数比乙高，一人分数比乙低，∴丁的成绩比甲的成绩高，∴四人中成绩最高的是丁．
答案：D
2．通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中，________”．( )
A．长方体的体积最大，最大值为2R3
B．正方体的体积最大，最大值为3R3
C．长方体的体积最大，最大值为R3
D．正方体的体积最大，最大值为R3
解析：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，一般为：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；故由：“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大”，类比到空间可得的结论是：“半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，最大值为R3.”
答案：D
3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．π是无限不循环小数，无限不循环小数是无理数，所以π是无理数
B．π是无限不循环小数，π是无理数，所以无限不循环小数是无理数
C．无限不循环小数是无理数，π是无理数，所以π是无限不循环小数
D．无限不循环小数是无理数，π是无限不循环小数，所以π是无理数
解析：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于C，小前提和结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，符合演绎推理三段论形式且推理正确；故选D.
答案：D
4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6
613用算筹表示就是，则3log38
771用算筹可表示为( )
中国古代的算筹数码
解析：3log38
771＝8
771，∴3log38
771用算筹可表示为.
答案：C
5．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：
因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－，
因为x＞0，所以ex＞1,0＜＜1，
所以ex－＞0，即f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．以上都不是
解析：题中命题的证明方法是由所给的条件，利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论，故此题的证明方法属于综合法，所以A选项是正确的．
答案：A
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等比类比到等差，则积变为和，由等差数列的性质有，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，∴a1＋a2＋…＋a9＝2×9.故选D.
答案：D
7．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2
B．3
C．5
D．6
解析：当n＝1时，21＝12＋1，当n＝2时，22<22＋1，当n＝3时，23<32＋1，当n＝4时，24<42＋1，只有当n≥5时，2n＞n2＋1.所以选C.
答案：C
8．定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数．例如，若n＝1
234
321，则称n为一回文数；但若n＝1
234
567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是
( )
A．187×16
B．1112
C．45×42
D．2
304×21
解析：在A中，187×16＝2
992，是回文数；在B中，1112＝12
321，是回文数；在C中，45×42＝1
890，不是回文数；在D中，2
304×21＝48
384，是回文数．所以C选项是正确的．
答案：C
9．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y＝t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为( )
A．4
B．
C．5
D.
解析：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S＝＝；所以B选项是正确的．
答案：B
10．设x＞0，由不等式x＋＞2，x＋≥3，x＋≥4，…，类比推广到x＋＞n＋1，则a＝( )
A．nn
B．n2
C．2n
D．n
解析：由已知中不等式：x＋＞2，x＋≥3，x＋≥4，…，类比推广到x＋≥n＋1，
…
归纳可得：不等式左边第一项为x.第二项为，右边为n＋1，故第n个不等式为：x＋≥n＋1，故a＝nn，所以A选项是正确的．
答案：A
11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：本题主要考查三角函数和反证法思想．
因为三角形内角均小于π，所以其正弦值均大于0.所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角均为锐角，即△A1B1C1为锐角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，由，
可得，将三式相加得A2＋B2＋C2＝－(A1＋B1＋C1)＝，与三角形内角和为π相矛盾．所以△A2B2C2不是锐角三角形．假设△A2B2C2是直角三角形，不妨设B2＝，由sin
B2＝cos
B1＝1，可知，不存在B1∈满足上式，所以△A2B2C2也不是直角三角形．所以可得△A2B2C2为钝角三角形．故本题正确答案为D.
答案：D
12．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则
(ihi)＝.类此以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则
(iHi)＝( )
A.
B．
C.
D.
解析：根据三棱锥的体积公式V＝SH，得：S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即S1H1＋2S2H2＋3S3H3＋4S4H4＝3V，
∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝，
即
(iHi)＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．补充下列证明过程：要证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，即证________，即证________，因为a，b，c为实数，上式显然成立．故命题结论成立．
解析：要证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，即证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即证(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，因为a，b，c为实数，上式显然成立．故命题结论成立．
答案：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0
14．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积P＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)为偶数．
证明：假设P为奇数，则________均为奇数．①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
②与③矛盾，故P为偶数．
解析：由假设P为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，
这与0为偶数矛盾．
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 奇数 0
15．我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，A，B处应分别填写________.
八卦
…
…
二进制
000
001
010
011
…
A
…
十进制
0
1
2
3
…
B
…
解析：由八卦图，可得A处是110，
110(2)＝0＋1×2＋1×22＝2＋4＝6.
答案：110,6
16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：b2
018是数列{an}中的第________项．
解析：由题可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为an＝，写出其若干项有：
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，
故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14.b6＝a15.
从而由上述规律可猜想：b2k＝a5k＝，
b2k－1＝a5k－1＝(k为正整数)，
故b2
018＝b2×1
009＝a5
045，
即b2
018是数列{an}中的第5
045项．
答案：5
045
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b＞0，则lg≥；
(2)求证＋＞2＋2.
证明：(1)当a，b＞0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg
ab＝.
(2)要证＋＞2＋2，
只要证(＋)2＞(2＋2)2，
即2＞，
这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)给出四个等式：
1＝1，
1－4＝－(1＋2)，
1－4＋9＝1＋2＋3，
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，
……
(1)写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N
)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
解析：(1)第5行，1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，
第6行，1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)．
第n行等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(1＋2＋3＋…＋n)．
(2)证明：当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，等式成立．
假设n＝k(k∈N
)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N
等式均成立．
19．(本小题满分12分)求证：不论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．
证明：假设存在非零实数x，y，使得等式＋＝总成立．
则有＝，(x＋y)2＝xy，x2＋xy＋y2＝0.
因为x，y是非零实数，所以x2＋xy＋y2＝2＋＞0，这与x2＋xy＋y2＝0矛盾．
所以，不论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．
20．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan
＝；
(2)求x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解析：(1)证明：根据两角和的正切公式得
tan
＝＝＝，
即tan
＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)具有性质：若M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM·kPN是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解析：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM·kPN是与点P的位置无关的定值，证明如下：
设M(m，n)，则N(－m，－n)，
且－＝1(a＞0，b＞0)．
又设点P(x，y)，则kPM＝，kPN＝，
所以kPM·kPN＝.
①
将y2＝b2代入①，可得kPM·kPN＝＝＝(定值)．
22．(本小题满分12分)设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，(n∈N
)．
(1)试求a1，a2，a3；
(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明．
解析：(1)∵Sn＝，
∴n＝1时，S1＝，∴a1＝±1，
∵a1＞0，∴a1＝1，
n＝2时，S2＝，∴1＋a2＝，
∵a2＞0，∴a2＝－1，
n＝3时，
S3＝，∴＋a3＝，
∵a3＞0，∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N
)
下面用数学归纳法证明：
①n＝1时，a1＝1，满足an＝－；
②假设当n＝k(k≥1)时，结论成立，
即ak＝－，
则当n＝k＋1时，
有ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
∴ak＋1－＝－ak－＝－＋－－＝－2.
解方程得ak＋1＝－，
即当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，猜想成立．
PAGE章末测试卷(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某次数学考试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四人谈论成绩情况．甲说：“我们四个人的分数都不一样，但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和”，乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，丙说：“我的分数不是最高的”，丁说：“我的分数不是最低的”，则四人中成绩最高的是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中，________”．( )
A．长方体的体积最大，最大值为2R3
B．正方体的体积最大，最大值为3R3
C．长方体的体积最大，最大值为R3
D．正方体的体积最大，最大值为R3
3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．π是无限不循环小数，无限不循环小数是无理数，所以π是无理数
B．π是无限不循环小数，π是无理数，所以无限不循环小数是无理数
C．无限不循环小数是无理数，π是无理数，所以π是无限不循环小数
D．无限不循环小数是无理数，π是无限不循环小数，所以π是无理数
4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6
613用算筹表示就是，则3log38
771用算筹可表示为( )
中国古代的算筹数码
5．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：
因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－，
因为x＞0，所以ex＞1,0＜＜1，
所以ex－＞0，即f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．以上都不是
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
7．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2
B．3
C．5
D．6
8．定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数．例如，若n＝1
234
321，则称n为一回文数；但若n＝1
234
567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是
( )
A．187×16
B．1112
C．45×42
D．2
304×21
9．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y＝t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为( )
A．4
B．
C．5
D.
10．设x＞0，由不等式x＋＞2，x＋≥3，x＋≥4，…，类比推广到x＋＞n＋1，则a＝( )
A．nn
B．n2
C．2n
D．n
11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
12．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则
(ihi)＝.类此以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则
(iHi)＝( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．补充下列证明过程：要证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，即证________，即证________，因为a，b，c为实数，上式显然成立．故命题结论成立．
14．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积P＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)为偶数．
证明：假设P为奇数，则________均为奇数．①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
②与③矛盾，故P为偶数．
15．我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，A，B处应分别填写________.
八卦
…
…
二进制
000
001
010
011
…
A
…
十进制
0
1
2
3
…
B
…
16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：b2
018是数列{an}中的第________项．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b＞0，则lg≥；
(2)求证＋＞2＋2.
18．(本小题满分12分)给出四个等式：
1＝1，
1－4＝－(1＋2)，
1－4＋9＝1＋2＋3，
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，
……
(1)写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N
)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
19．(本小题满分12分)求证：不论x，y取任何非零实数，等式＋＝总不成立．
20．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan
＝；
(2)求x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)具有性质：若M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM·kPN是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
22．(本小题满分12分)设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，(n∈N
)．
(1)试求a1，a2，a3；
(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明．
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