模块综合测评
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(1＋i)16－(1－i)16＝( )
A．－256
B．256i
C．0
D．256
解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0.
答案：C
2．一质点运动的方程为s(t)＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3
B．3
C．6
D．－6
解析：t＝1时，瞬时速度
v＝s′(1)＝
(－3Δt－6)＝－6.故选D.
答案：D
3．曲线f(x)＝sin
x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为f(x)＝sin
x＋ex，所以f′(x)＝ex＋cos
x，
所以在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝1＋1＝2，
所以f(x)＝sin
x＋ex在(0,1)处的切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.故选C.
答案：C
4．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的的图形是( )
解析：观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A选项中的图形．
答案：A
5．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是纯虚数，则复数z2等于( )
A．1－2i
B．1＋2i
C．2－i
D．2＋i
解析：由z1＝2＋i得1＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1·z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.由1·
z2为纯虚数得2＋b＝0，且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
答案：A
6．已知a＜0，函数f(x)＝ax3＋ln
x，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为
( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
解析：f′(x)＝3ax2＋，所以f′(1)＝3a＋≥－12，即a＋≥－4.又a＜0，有a＋≤－4，所以a＋＝－4，故a＝－2.
答案：B
7．已知f(x)＝x2＋sin
，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解析：f(x)＝x2＋cos
x，∴f′(x)＝x－sin
x，令g(x)＝f′(x)，则g(x)为奇函数，排除B，D；由g′(x)＝－cos
x知g(x)在y轴右侧先单调递减，排除C.故选A.
答案：A
8．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三条边的距离之和为定值a，类比上述结论可得，在棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值( )
A.a
B．a
C.a
D.a
解析：正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积．设该点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由于每个面的面积均为a2，正四面体的体积为a3，则有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝a.
答案：A
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③
B．①②③
C．③
D．③④⑤
解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，若a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C.
答案：C
10．把一段长为12
cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2
B．4
cm2
C．3
cm2
D．2
cm2
解析：设一段为x
cm，则另一段为(12－x)cm(0＜x＜12)，
则S(x)＝×2×＋×2×
＝，
所以S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，
当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，
所以当x＝6时，S(x)最小．
所以S＝＝2(cm2)．故选D.
答案：D
11．若不等式2xln
x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，4]
C．(0，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：由2xln
x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln
x＋x＋，设h(x)＝2ln
x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故选B.
答案：B
12．设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围是
( )
A．[－，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(－∞，－3]∪[－，＋∞)
D．[－，]
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋5，若f(x)在[1,3]上为单调函数且单调递增，则x∈[1,3]时，x2＋2ax＋5≥0恒成立，即2a≥－，而x∈[1,3]时，x＋≥2，所以－≤－2，所以2a≥－2，a≥－，若f(x)在[1,3]上单调递减，则x∈[1,3]时，x2＋2ax＋5≤0恒成立，即2a≤－，而x∈[1,3]时，记h(x)＝x＋，hmax＝h(1)＝6，所以－≥－6，所以2a≤－6，a≤－3，所以a的取值范围是(－∞，－3)∪[－，＋∞)．故选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，则a＋bi＝________.
解析：由2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，得a＝－3，b＝2，则a＋bi＝－3＋2i.
答案：－3＋2i
14．函数f(x)＝的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
解析：由题意知所求面积为
答案：e－
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)－xf′(x)＜0，若m＝，n＝，k＝，则m，n，k的大小关系是________(用“＜”连接)．
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝.
因为当x∈(－∞，0)时，f(x)－xf′(x)＜0，
所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
而函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以g(x)在R上单调递增．
因为ln
＜＜log25，
所以g＜g()＜g(log25)，
所以n＜m＜k.
答案：n＜m＜k
16．若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sin
x；
④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tan
x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln
x.
解析：对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1,0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos
x，y′|x＝0＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝sin
x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝sin
x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝，y′|x＝0＝＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝tan
x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝tan
x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝，y′|x＝1＝1，所以l：y＝x－1是曲线C：y＝ln
x在点P(1,0)处的切线．令h(x)＝x－1－ln
x(x＞0)，可得h′(x)＝1－＝，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，当x＞1时，h′(x)＞0，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥ln
x，可知曲线C：y＝ln
x在点P(1,0)附近位于直线l的下侧，⑤错误．
答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解析：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只要a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
所以f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．
所以a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，只需a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，
f′(x)＜0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，
所以a≥3.故存在实数a的取值范围为[3，＋∞)，
使f(x)在(－1,1)上单调递减．
18．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
综上，△ABC的面积为1.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解析：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m，1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)上是减函数，在(1－m,1＋m)上是增函数．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
21．(本小题满分12分)(1)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋；
(2)类比(1)中的结论，在四面体ABCD中，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解析：(1)证明：如图(1)所示，由射影定理可知，
图(1)
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
(2)猜想：在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，且AE⊥平面BCD于E，
则＝＋＋.
图(2)
证明：如图(2)所示，
连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
又AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解析：f′(x)＝x－＋a－2＝(x＞0)．
(1)当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，
所以所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，
即4x＋2y－3＝0.
(2)①当－a＝2，即a＝－2时，
f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当－a＜2，即－2＜a＜0时，
因为0＜x＜－a或x＞2时，
f′(x)＞0；－a＜x＜2时，
f′(x)＜0，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上单调递增，
在(－a,2)上单调递减．
③当－a＞2，即a＜－2时，
因为0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，
f′(x)＜0，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减．
(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2.
由＞a知f(x2)－ax2＞f(x1)－ax1成立，
令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln
x－2x，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝x－－2≥0，
即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．
所以a≤－，故存在这样的实数a满足题意，
其范围为.
PAGE模块综合测评
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(1＋i)16－(1－i)16＝( )
A．－256
B．256i
C．0
D．256
2．一质点运动的方程为s(t)＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3
B．3
C．6
D．－6
3．曲线f(x)＝sin
x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
4．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的的图形是( )
5．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是纯虚数，则复数z2等于( )
A．1－2i
B．1＋2i
C．2－i
D．2＋i
6．已知a＜0，函数f(x)＝ax3＋ln
x，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为
( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
7．已知f(x)＝x2＋sin
，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
8．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三条边的距离之和为定值a，类比上述结论可得，在棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值( )
A.a
B．a
C.a
D.a
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③
B．①②③
C．③
D．③④⑤
10．把一段长为12
cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2
B．4
cm2
C．3
cm2
D．2
cm2
11．若不等式2xln
x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，4]
C．(0，＋∞)
D．[4，＋∞)
12．设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围是
( )
A．[－，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(－∞，－3]∪[－，＋∞)
D．[－，]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，则a＋bi＝________.
14．函数f(x)＝的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)－xf′(x)＜0，若m＝，n＝，k＝，则m，n，k的大小关系是________(用“＜”连接)．
16．若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sin
x；
④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tan
x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln
x.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
18．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
21．(本小题满分12分)(1)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋；
(2)类比(1)中的结论，在四面体ABCD中，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
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