人教版数学七年级下册 5.3.1平行线的判定和性质讲义（含解析）

平行线的判定和性质
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平行的定义、性质及判定
平行公理及推论
基本模型中平行线的证明
课堂思维碰撞
题型一：平行线的定义、性质及判定
思路导航
定
义
示例剖析
平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“”表示．
，等．
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补．
若，则；
若，则；
若，则．
平行线的判定：
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
若，则；
若，则；
若，则．
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
过直线外一点做，，则与重合．
平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．
若，则．
典例精讲
题型一
例1.下列说法正确的是（）
A.两条直线不平行则相交
B.在同一个平面内，没有公共点的两条射线必平行
C.在同一个平面内，若两条线段平行，它们不相交
D.在同一个平面内，若两条线段没有公共点，则它们平行
故选C
题点精练
1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．平行、相交或垂直
故选C
2.下列说法正确的是(　　)
A．同一平面内没有公共点的两条线段平行B．两条不相交的直线是平行线
C．同一平面内没有公共点的两条直线平行
D．同一平面内没有公共点的两条射线平行
故选C
题型二
平行线画法：
①一落：把三角板的一边落在已知直线上
②二靠：紧靠三角板的另一边放直尺
③三移：沿直尺移动三角板，使得原来落在已知直线上的那一边过已知点
④四画：沿原来落在已知直线上的那一边画直线
例2.在如图所示的各图形中，过点M画PQ∥AB.
题点精练
如图，(1)过BC上一点P画AB的平行线交AC于T；(2)过点C画MN∥AB；
4.画图：
(1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线；(2)测量∠CPE，∠EPD，∠DPF，CPF的度数．
解：如图①，CD∥AB，PQ⊥AB.（2）∠CPE＝120°，∠EPD＝60°，∠DPF＝120°，∠CPF＝60°.
例3.多选题：下列说法错误的有（
）
A：不相交的两条直线是平行线．
B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
C：三条直线、、．若，，则；同理，若，，则．
D：已知的两边与的两边平行，若，则．
E：若，，则．理由是等量代换．
F：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．
G：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．
ABCDEF
提点精练
5.下列说法正确的有（）
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为∥，∥，所以∥；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
.1个
个
个
4个
解析：1-43错，4对故选A
6.下列说法正确的是(　　)
A．两条不相交的直线叫做平行线B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内不相交的两条线段互相平行D．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
【点拨】对平行线定义的理解要抓住三个关键要素：“同一平面内”“不相交”“直线”，本题易错之处在于理解平行线定义时，容易只关注其中一个或两个要素而导致判断错误故选D
例4.如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是(　　)
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
题点精练
7.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的
条件：
.
8如图，点在的延长线上，给出下列条件：
①
；②
；③
；
④
；⑤
；
⑥
；⑦
.
能说明的条件有
.
故是②④⑤；
9．如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＝∠2，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由：因为∠1＝∠2(__________)，
所以AB∥EF(________________________________)．
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
所以AB∥CD(____________________________________
__________________________)．
所以CD∥EF(____________________________________).
第3空
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
10.【2020·金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b.理由是(　　)
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已
知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
故选B
已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1＝∠2，BE与CF平行吗？请说明理由．
解：BE∥CF.理由如下：
∵AB⊥BC，CD⊥BC(__________________)，∴∠ABC＝∠BCD＝________°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠2(______________)，∴∠EBC＝∠FCB(______________________)．
∴BE∥CF(______________________________)．
解析：已知；已知；90度；等角的余角想等；内错角想等，两直线平行.
12.在下面的括号内填上理由．
已知：如图，直线NF与直线HB，CD分别交于点E，F，直线AM与直线HB交于点A，且∠1＝∠4＝105°，∠2＝75°.试说明：AM∥NF，AB∥CD.
解：∵∠2＝∠3(__________)，∠2＝75°(已知)，∴∠3＝75°.
∵∠1＝105°(已知)，∴∠MAB＝180°－∠1＝75°.
∴∠MAB＝∠3.∴AM∥NF(_____________________________)．
∵∠3＝75°，∠4＝105°，∴∠3＋∠4＝180°.
∴AB∥CD(______________________________)．
解析：对顶角想等；内错角想等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
13.如图，∠1：∠2：∠3＝2：3：4，∠AFE＝60°，∠BDE＝120°，写出图中平行的直线，并说明理由．
解析：解：DE∥AB，EF∥BC.理由：设∠1＝2x°，则∠2＝3x°，∠3＝4x°，
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴2x°＋3x°＋4x°＝180°，解得x°＝20°.
∴∠2＝60°.∵∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠2＝60°.∴DE∥AB.∵∠BDE＝120°，
∴∠BDE＋∠2＝120°＋60°＝180°.∴EF∥BC.
14．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【点拨】利用整体思想，将∠1＋∠2＝90°看成一个整体，求得∠ABD＋∠CDB＝180°，再由同旁内角互补，两直线平行，判断AB∥CD.
解：AB∥CD.理由如下：因为B．E平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
15.如图，以下四个条件：
①∠1＝∠3，②∠2＝∠4，
③∠BAD＋∠D＝180°，
④∠EAD＝∠B.
其中，能够判定AB∥DC的有(　　)
A．①③
B．③④
C．①②
D．②④
【点拨】若∠1＝∠3，则AB∥DC；若∠2＝∠4，则AD∥BC；
若∠BAD＋∠D＝180°，则AB∥DC；若∠EAD＝∠B，则AD∥BC.
选A
题型三：平行线的性质
例5.．【2020·铜仁】如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝(　　)
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
故选C
例6.【2020·枣庄】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为(　　)
A．10°
B．15°
C．18°
D．
【2019·南通】如图，AB∥CD，AE平分∠CAB
交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED的度数为(　　)
A．110°
B．125°
C．135°
D．140°
解析：【点拨】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°.∵∠C＝70°，
∴∠CAB＝110°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB＝55°.又∵AB∥CD，∴∠AED＝180°－∠BAE＝180°－55°＝125°.
16.【中考·重庆B卷】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.∵GE平分∠FGD，∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
∵AB∥CD，∴∠EHB＝∠EGD＝55°.又∵∠EHB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E，
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
解：AD是∠BAC的平分线．理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD.∴∠3＝∠1，∠E＝∠2.
又∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD是∠BAC的平分线．
18.如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点O，∠FGC＝125°，求∠EFG的度数．下面提供三种思路：
(1)过点F作FH∥AB；(2)延长OF交CD于点M；(3)延长GF交AB于点K.
请你利用三种思路中的两种思路，将图形补充完整，并求∠EFG的度数．
解：利用思路(1)．过点F作FH∥AB，如图①.∵EF⊥AB，
∴∠BOF＝90°.∵FH∥AB，∴∠HFO＝∠BOF＝90°.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FGC＋∠GFH＝180°.∵∠FGC＝125°，
∴∠GFH＝55°，∴∠EFG＝∠GFH＋∠HFO＝55°＋90°＝145°.
题型四
模
型
示例剖析
若，则
若，则
若，则
若，则
例7.已知：如图,点为其内部任意一点，
求证：．
解析：过点作,
∵,（已知）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵,（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵,（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（等量代换）
例8.如图，已知，，，
求的度数．
解析：过点作．
∵且（已知）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵且（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵且（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴
【拓展】如图所示，已知直线，直线和直线、交于、两点，在、之间有一点，如果点在、之间运动，问、、之间有怎样的关系？
这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.
解析：.
关系不变.
提示：过点做直线.
例9.如图，已知，，
，求的度数．
解析：如图延长交直线于点
∵，（已知）
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（等量代换）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵，
∴
【点评】通过辅助线将相关角联系起来.
题点精练
19.【2020·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）
A．36°
B．34°C．32°
D．30°
【点拨】如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD.
∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°.∴∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°.
20.【2020·常德】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）
A．70°
B．65°
C．35°
D．5°
【点拨】如图，作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE.
∴AB∥CF∥DE.∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2.∵∠1＝30°，
∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°.∴∠BCE＝65°.
21.如图，A，B两岛位于东西方向的一条水平线上，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，求∠ACB的度数．
解：如图，过点A，C，B分别画出南北方向的方向线，由题意，得∠EAC＝50°，∠FBC＝40°.∵AE∥DC∥BF，∴∠ACD＝∠EAC＝50°，∠BCD＝∠FBC＝40°.∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋40°＝90°.
22.阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数
（1）如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
（2）如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？
解：如图①，过点E作EF∥AB.
则AB∥CD∥EF.因为AB∥EF，所以∠1＝∠B＝35°.
因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝32°.所以∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②③是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．
解：如图①，过点C作CF∥DE，则∠2＝∠D＝30°.因为∠ACD＝65°，即∠1＋∠2＝65°，所以∠1＝65°－∠2＝65°－30°＝35°.因为AB∥DE，CF∥DE，所以AB∥CF，所以∠A＝∠1＝35°.
解：如图②，过点F作FI∥GP，则∠G＋∠1＝180°.因为GP∥HQ，FI∥GP，所以HQ∥FI.所以∠2＋∠H＝180°，所以∠G＋∠1＋∠2＋∠H＝360°，即∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
23.如图，
AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，则∠BMD与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
解：∠BMD＝2∠N.理由如下：如图，过点M作ME∥AB，则∠ABM＝∠BME.
∵AB∥CD，ME∥AB，∴ME∥CD.∴∠CDM＝∠DME.∴∠ABM＋∠CDM＝∠BME＋∠DME＝∠BMD.
同理∠N＝∠ABN＋∠CDN.∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，
∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN.∴∠ABM＋∠CDM＝2∠ABN＋2∠CDN.∴∠BMD＝2∠N.
24.【2020·武汉】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN.求证：AB∥CD.
证明：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN.又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠FEB＝∠EFC.∴AB∥CD.
如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．
解：画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补，
理由如下：如图①，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC.∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.
如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．
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