教
案
教学基本信息
课题
二次根式的乘法
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：《数学（八上）》
出版社：人民教育出版社
出版日期2013年9月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要学习二次根式的乘法法则，会进行二次根式的乘法运算和化简。经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，归纳出二次根式的乘法法则，并通过对法则的正用、逆用，加强对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算。教学中重点关注符号意识和运算能力的培养。三道例题。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习
引入
复习旧知，铺垫新知
二次根式的定义
二次根式的性质
（二）计算观察，发现规律
【活动1】创设情境，归纳法则
问题1：
一个面积是3的正方形，它的边长是
，
一个面积是5的正方形，它的边长是
；
若以这两个正方形的边长去构造一个长方形，则它的面积是多少？
不论是解决实际问题的需要，还是实数运算的需要，我们都有必要来研究二次根式的运算。
问题2：
计算下列各式，并观察，你能发现什么规律？
（1），;
（2），;
（3），;.
发现：每组的两个式子，不但保持了运算结果的相等，还保持了运算形式的相同。
问题3：你能再举几个例子验证一下吗？
（对于不方便口算的数字，还可以用计算器）
明确二次根式性质可以用于简化式子结构
从实际问题出发，引入二次根式的乘法运算.感受问题研究的必要性.
从具体例子出发，学生逐步抽象出二次根式的乘法运算规律.
新课
通过计算和举例，我们发现每小题的两个式子计算结果相等，结算过程形式相同.
于是，归纳得到“二次根式的乘法法则”：
一般地，二次根式的乘法法则是：
引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的乘法法则.另外，对法则的合理性没有给出一般的说明，是出于考虑到学生的年龄特征和知识水平的原因.
例题
（三）运用法则，加强理解
【活动2】正用法则，初步理解
利用二次根式的乘法法则可以对两个无理数进行具体运算，我们来看例1.
例1.计算
（1）;
解：
（2）.
解：
分析解题过程，及涉及知识点，并生成解法程序.通过对（2）的求解，我们发现，在进行两个二次根式的乘法运算时，先运用“二次根式的乘法法则”将其转化为一个根式，再用
“分数的乘法法则”和“二次根式的性质”将运算结果简化，是一种依据所给式子的结构特点进行运算的好方法。
【活动3】逆用法则，深化理解
问题：将“二次根式的乘法法则”从右往左看，写出得到的结论.
于是，得到
我们把这条性质叫做“积的算术平方根性质”.
发现：利用它，可以将一个二次根式转化成两个二次根式相乘的形式，也可以将积的算术平方根转化成算术平方根的积.
例2.化简
（1）;
（2）;
解：（1）
（2）
分析解题过程，及涉及知识点，并生成解法程序.
逆用二次根式的乘法法则，即积的算术平方根性质可以对二次根式进行化简.在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后将能开得尽方的因数或因式开出来.并且，我们还将积的算术平方根性质推广，得到：
完成（2）变式练习.
解：（2）变式
此处要注意结果的书写,先写系数后写二次根式.
并提出：只要我们将被开方式的因式，写成了完全平方式的形式，就可以直接移出根号。
【活动4】综合运用，加强理解
例3.计算
（1）;
此题解法不唯一：
解1：
解2：
解3：
二次根式的乘法运算，是一个综合运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根性质的过程.
（2）;
解1：
这样，我们将二次根式的乘法法则拓展，得到：
解2：
对比此题的两种解法，得到一般求解程序:
（3）.
这是一道加星号的题目，不妨尝试完成：
解1：
解2：
（3）变式.
学生通过正用法则进行具体运算，初步理解二次根式的乘法法则.感受运用法则可以对结果简化，为后面学习二次根式的化简作铺垫.
明确积的算术平方根性质和二次根式乘法法则是“逆变形”.
通过将法则逆用，加强对乘法法则的理解;引导学生从多角度理解结论,对于学生逆向思维的养成有帮助.
另外，学生对化简二次根式的基本要求也有所认识，加深了对二次根式的乘法法则的理解，增强了灵活应用代数运算法则解决问题的意识，对于提高运算能力有帮助.
学生通过灵活正用或逆用法则进行二次根式的运算，加强了对二次根式的乘法法则的理解，也体会到了解决问题方法的多样性.
总结
（四）梳理关系，总结收获
问题：经历了本节课的研究过程，总结一下我们的收获.
法则和性质：
我们首先从具体例子入手，归纳得到二次根式的乘法法则，并通过“逆变形”，得到“积的算术平方根的性质”，并应用它进行二次根式的化简。在解决问题的过程中，我们还将二次根式的乘法法则进行了推广和拓展。
2.解法程序：
其次，二次根式的乘法运算，是一个综合运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根性质的过程，在化简的过程中还会用到二次根式的性质和分数的乘法法则等知识，以及有目的的分解因数和分解因式。求解过程中，我们需要根据所给算式的结构，灵活选择方法，依理运算.
通过课堂小结，学生完成对本节课研究过程的梳理，其中既有对思路和步骤的总结，又有对研究问题方法和策略的反思，期待在此基础上有新的发现和认识.《二次根式的乘法》学习任务单
【学习目标】
本节课主要学习二次根式的乘法法则，会进行二次根式的乘法运算和化简。经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，归纳出二次根式的乘法法则，并通过对法则的正用、逆用，加强对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算。教学中重点关注符号意识和运算能力的培养。三道例题。
【课前预习任务】
什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？
阅读教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
尝试用文字语言描述规律，用符号语言写出规律，并将你写出的规律和教材中的对比、理解.
【课上学习任务】
你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？
你能说明乘法法则逆用的意义吗？
运算律可以运用到二次根式的乘法运算中吗？
我们对二次根式的乘法法则做了哪些拓展和推广？
一般对二次根式的化简结果有何要求？
都有哪些化简二次根式的方法？依据是什么？具体如何选择？
【课后作业】
【课后作业参考答案】
计算：
（1）
;(2)
;(3)
;(4)
.
化简：
（1）
;(2)
;(3)
;(4)
.
3.
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