江西省南昌市新建第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案

新建一中2020—2021学年度第一学期期末考试
高二数学（理）试卷
命题人： 审题人： 总分值：150分 考试时间：120分钟
温馨提示：此次考试卷面分为5分
说明：1. 书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分??????
2. 书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5）?分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2. “”是“不等式在R上恒成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
3. 用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设（ ）
A.或 B.或
C.或 D.且
4. 由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列求导运算中错误的是(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数的图象如图，则下列结论正确的是(　　)
A. a，c分别是极大值点和极小值点
B. b，c分别是极大值点和极小值点
C. f(x)在区间(a，c)上是增函数
D. f(x)在区间(b，c)上是减函数
8. 已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)在的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 定义在的函数，对任意，恒有，，，则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.无法确定
11. 已知斜率为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，是线段的中点，是的焦点，的面积等于3，则( )
A. B. C. D.
12. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知函数的导函数为，且满足关系式,则的值等于_______.
14. 已知满足为其导函数，且导函数的图象如图所示，则的解集是_________.
15. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为_________.
16. 设是椭圆的一个焦点，是椭圆上的点，圆与线段交于,两点，若,三等分线段，则椭圆的离心率为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
18.（11分+1分）已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
19.（11分+1分）已知过点的直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线C交于A，B两点，且，求实数的值.
20.（11分+1分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
21.（11分+1分）已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
22.（11分+1分）设函数
（1）若方程在上有两个实数解，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
新建一中2020—2021学年度第一学期期末考试
高二数学（理）试卷答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B D B C A C B D A B C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.
解：(1)由已知得,则所以切线斜率，
又切点坐标为，所以切线方程为，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为.
(2)由已知得，设切点为,则，即，得或，所以切线方程为或
18.
解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.
由（1）知，在取得极大值，在取得极小值
函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围
19.
解　(1)消去参数t，可得直线l的普通方程为x＝y＋m，即x－y－m＝0.
因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.
可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2－2x＋y2＝0.
(2)把代入x2－2x＋y2＝0，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0.
由Δ>0，得－1设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝m2－2m.
因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2，所以m2－2m＝±2，
解得m＝1±.
因为－120.
解：（1）
当时，则在上恒成立，所以在上单调递增。
当时，由，得, 由，得
所以在上单调递减，在上单调递增。
由题意知在上恒成立，即恒成立
令，则
当时，则；当时，则。
所以在上单调递减，在上单调递增。
则在时取得极小值，也是最小值
所以实数的取值范围为
21.
解(1)因为，所以，将点代入，得，
所以椭圆的方程为.
存在点满足条件.
设，直线方程为，，,则
联立，消去，得
，且，
由三点共线，得，所以，
所以解得.
22.解：（1）由，定义域为，
，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
.
∴ 当时，方程有两解.
（2）∵ .
∴ 要证：只需证，
只需证：.
设，
则.
由（1）知在单调递减，
又，
∴ ，
即是减函数，而.
∴ ，故原不等式成立.