《二次根式的概念及性质（第二课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课继续学习二次根式的性质.在归纳性质的过程中体会从特殊到一般的研究数学问题的思路方法.共设计两道例题，涉及运用二次根式的性质进行计算等.
【课前预习任务】
复习上节课（二次根式的概念及性质（第一课时）内容.
【课上学习任务】
通过对于运算规律的探究引出猜想.
证明猜想：从特殊到一般，提升用代数语言进行推理的能力.
对比与，理解性质的含义.
通过例题体会性质的应用.
体会性质的逆向应用.
【课后作业】
1．计算：
2．利用（a≥０），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
3.一个圆柱体的高为10，体积为V．求它的底面半径r（用含V的代数式表示），
并分别求当V＝5π，10π和20π时，底面半径r的大小．
【课后作业参考答案】
1．计算：
解：
（１）；（２）；（３）；（４）；
（５）；
（６）
；（7）；
（8）.
2．
利用（a≥０），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
解：
3.一个圆柱体的高为10，体积为V．求它的底面半径r（用含V的代数式表示），
并分别求当V＝5π，10π和20π时，底面半径r的大小．
解：
当V=5π时，
当V=10π时，
当V=20π时，
3教
案
教学基本信息
课题
二次根式的概念及性质（第二课时）
学科
数学
学段：第三学段
年级
初二
教材
书名：义务教育教科书
数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013
年
12
月
教学目标及教学重点、难点
本节课继续学习二次根式的性质.在归纳性质的过程中体会从特殊到一般的研究数学问题的思路方法.共设计两道例题，涉及运用二次根式的性质进行计算等.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
规律探究
，
获得猜想
在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加与减、乘与除、乘方与开方运算之间存在着互逆的关系.互逆的运算在计算中常常呈现“相互抵消”的效果.
如：
类比猜想：==a.
通过对问题的探究获得猜想，继而通过验证猜想得到二次根式的性质，让“知识的学习”发生的更加自然.也借此引导学生，在学习的过程养成乐于思考、勇于探索的精神.
验证猜想
，
获得性质
(一)验证猜想1：
从具体例子入手，根据算术平方根定义，进行推理.
从特殊到一般，得到二次根式的性质
(二)验证猜想2：
1.从具体例子入手，根据算术平方根定义，进行推理.
从特殊到一般，得到.
2.当a<0时，通过举反例说明：不成立.
从具体例子入手，推理出当a<0时，
方法1：模仿前面的探究过程，留待课后完成.
3.根据算术平方根定义进行推理，得到
由此，得到二次根式的性质
（三）对比与
①
性质含义；②
的取值范围；③
运算结果.
体会从特殊到一般的研究数学问题的思路方法
用算术平方根的定义对猜想进行分析，培养用代数语言进行推理的能力.
体会两条性质的区别与联系.
运用性质
例1
运用性质进行计算
（1）运用进行计算:
（2）运用进行计算:
（3）若，则a的取值范围是（
）．
（A）
（B）
（C）
（D）
例2性质运用的辨析
（1）请你判断下列等式是否成立
（2）对于题目“化简并求值：，其中a＝”，甲、乙两人的解答不同.
谁的解答是正确的?为什么?
甲的解答如下：
乙的解答如下：
在对新知的运用中，加深对新知的理解.
运用不同的性质解决问题.体会知识的灵活运用，体会方法的多样性.
以辨析题的形式呈现易错点，让学生在析错的过程加深对性质的理解.并且,对于易错点的充分认识，有利于巩固正确的认知，从而规避出现同类错误.
逆用性质
1.：任意一个非负数都可以写成一个非负数的平方的形式.
2.：任意一个非负数都可以写成一个非负数的算术平方根（二次根式）的形式.
归纳
小结
1.二次根式的定义.
2.二次根式的性质.
(1)二次根式的双重非负性.
(2)=（）
(3)
梳理二次根式的概念及性质.提炼本节课知识核心.
布置
作业
1．计算：
2．利用（a≥０），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
3.一个圆柱体的高为10，体积为V．求它的底面半径r（用含V的代数式表示），
并分别求当V＝5π，10π和20π时，底面半径r的大小．
巩固对二次根式定义及性质的掌握.
4《二次根式的概念及性质（第一课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课主要学习二次根式的概念及性质.在生成概念的过程中体会类比方法的运用和作用.共设计四道例题，涉及二次根式概念辨析，确定二次根式有意义的条件,
二次根式的双重非负性的应用等.
【课前预习任务】
复习平方根、算术平方根，开方运算，以及整式、分式的相关概念.
【课上学习任务】
通过代数运算引出二次根式，体会知识之间的联系.
借助实例体会二次根式与实际问题的紧密联系.
掌握二次根式的定义.
理解二次根式的双重非负性.
通过例题体会知识的应用.
【课后作业】
１．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）； （２）；
（３）；
（４）．
2．
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）； （２）； （３）;（４）.
3．（１）已知是整数，求自然数n所有可能的值；
（２）已知是整数，求正整数n的最小值．
【课后作业参考答案】
１．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）； （２）；
（３）；
（４）．
解：
2．
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）； （２）； （３）;（４）.
解：
3．（１）已知是整数，求自然数n所有可能的值；
（２）已知是整数，求正整数n的最小值．
解：
2教
案
教学基本信息
课题
二次根式的概念及性质（第一课时）
学科
数学
学段：第三学段
年级
初二
教材
书名：义务教育教科书
数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013
年
12
月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要学习二次根式的概念及性质.在生成概念的过程中体会类比方法的运用和作用.共设计四道例题，涉及二次根式概念辨析，确定二次根式有意义的条件,
二次根式的双重非负性的应用等.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入概念
从代数运算看“式”的概念产生，体会知识之间的联系.
单项式是由数与字母的乘法运算来定义的.而多项式是几个单项式的和.分式是由整式的除法运算来定义的.数或字母做开方运算得到的式子是什么呢？
（二）在实际问题中体会应用
1.电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中R是地球半径，R≈6400km．
2.
汽车刹车时的速度v与汽车刹车后滑行的距离S之间存在关系其中，g是常数9.8，μ是摩擦系数.在解决交通肇事问题时，可以通过测量刹车后车轮滑过的距离，来计算车辆行驶的速度.
3.爱因斯坦的相对论，是家喻户晓的关于时空和引力的理论.根据爱因斯坦的相对论，地球上的1秒钟，宇宙飞船内只经过秒，其中v是宇宙飞船的速度，c指光速.
4.
推导一元二次方程求根公式，利用勾股定理表示直角三角形的边长…
建立知识之间的联系，通过“温故”促进“知新”.
类比已学过的式的相关概念下定义的方法，尝试给二次根式下定义.
体会无论是数学内部发展的需要，还是生产生活，科学研究中的实际需求，对于二次根式的学习都是非常必要的.
抽象概念
1.在例子中出现的，都是二次根式.你能说出二次根式具体对应的是哪种代数运算吗？
2.类比分式的定义给出二次根式的定义.
3.由二次根式的定义中，为什么要求“a≥0”，引出二次根式的双重非负性.
4.在对式的运算的梳理的基础上，给出代数式定义.
在学习新知的过程中，体现知识生长的脉络.在与旧知建立联系的基础上，逐渐拓展.有利于对知识形成“整体”的认识和感知.
典型
例题
例1根据二次根式定义进行判断
(1)下列式子一定是二次根式的是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
总结：求使代数式有意义的字母取值范围的条件：
二次根式型：被开方数大于或等于0；
分式型：分母不等于0；
零指数幂型：底数不等于0；
复合型：由分式、根式、零指数幂组成的复合型代数式．
例2二次根式双重非负性的应用
（1）当x取何值时，的值最小，最小值是多少？
（2）若，则a+b-c=
.
总结：
1.二次根式的最小值是0.
2.梳理常见的具有非负性的式子.
例3二次根式双重非负性作为隐含条件的应用
（1）若是正整数，则n的最大整数值是
.
（2）已知a满足，则
.
例4二次根式双重非负性作为隐含条件的应用
已知：a、b为等腰三角形的两边长，且满足等式.求这个等腰三角形的周长.
巩固对二次根式定义的理解.
根据二次根式中的被开放数是非负数来确定字母的取值范围.
一颗星题目最为基础；二颗星题目被开方数的形式比一颗星题目更为复杂；三颗星、四颗星题目更为综合.
题目难度的设置上层层递进，激发学生参与的热情.
题目的选择上既体现巩固新知，又起到温习旧知的作用.
联系旧知，进一步理解二次根式的非负性.
体会二次根式的双重非负性作为隐含条件，在解决问题的过程中所发挥的作用.
在解决综合问题的过程中，体现对思考问题全面性的培养.
提升
练习
1.下列式子中是二次根式的有( )
①；②；③(m＞2)；④；
⑤；
2.在下列式子：①；②(x－3)0；③中，x不可以取3的是( )
A．只有①
B．只有②
C．①和②
D．①和③
巩固本节课核心内容的理解和掌握.
归纳
小结
1.二次根式的定义.
2.二次根式的双重非负性．
梳理本节课所学内容，提炼本节课知识核心.
布置
作业
１．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）； （２）；
（３）；
（４）．
2．
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）； （２）； （３）;（４）.
3．（１）已知是整数，求自然数n所有可能的值；
（２）已知是整数，求正整数n的最小值．
巩固对二次根式定义及二次根式的双重非负性的掌握.
1
